Cálculo de determinantes y matrices invertibles, Apuntes de Matemáticas

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PROBLEMAS RESUELTOS DE

ALGEBRA LINEAL

INSTITUTO POLIT

ECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE C

OMPUTO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS B

ASICAS

FLORENCIO GUZM

AN AGUILAR

Problema 1.1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

i)

2 x + y − 2 z = 10

− 6 x − 4 y − 4 z = − 2

5 x + 4y + 3z = 4

ii)

x 1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 4

2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 = 3

5 x 1 + 7x 2 + 4x 3 + x 4 = 5

iii)

x + y − 2 z + 4w = 5

2 x + 2y − 3 z + w = 3

3 x + 3y − 4 z − 2 w = 1

Soluci´on:

i)

2 x + y − 2 z = 10

− 6 x − 4 y − 4 z = − 2

5 x + 4y + 3z = 4

(R 2 + 3R 1 → R 2 )

(2R 3 − 5 R 1 → R 3 )

2 x + y − 2 z = 10

−y − 10 z = 28

3 y + 16z = − 42

(R 3 + 3R 2 → R 3 )

2 x + y − 2 z = 10

−y − 10 z = 28

− 14 z = 42

(R 1 / 2 → R 1 )

(−R 2 → R 2 )

(−R 3 / 14 → R 3 )

x + y/ 2 − z = 5

y + 10z = − 28

z = − 3

(R 1 + R 3 → R 1 )

(R 2 − 10 R 3 → R 2 )

x + y/2 = 2

y = 2

z = − 3

(R 1 − R 2 / 2 → R 1 )

x = 1

y = 2

z = − 3

soluci´on ´unica

ii)

x 1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 4

2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 = 3

5 x 1 + 7x 2 + 4x 3 + x 4 = 5

(R 2 − 2 R 1 → R 2 )

(R 3 − 5 R 1 → R 3 )

x 1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 4

x 2 + 7x 3 − 7 x 4 = − 5

2 x 2 + 14x 3 − 14 x 4 = − 15

(R 3 − 2 R 2 → R 3 )

x 1 + x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 4

x 2 + 7x 3 − 7 x 4 = − 5

0 = 5

sin soluci´on

iii)

x + y − 2 z + 4w = 5

2 x + 2y − 3 z + w = 3

3 x + 3y − 4 z − 2 w = 1

(R 2 − 2 R 1 → R 2 )

(R 3 − 3 R 1 → R 3 )

x + y − 2 z + 4w = 5

z − 7 w = − 7

2 z − 14 w = − 14

(R 3 − 2 R 2 → R 3 )

x + y − 2 z + 4w = 5

z − 7 w = − 7

0 = 0

R 1 ⇒ x = 5 − y + 2z − 4 w

R 2 ⇒ z = 7w − 7

y = α ∈ R

w = β ∈ R

par´ametros libres ⇒

x = 5 − α + 10β − 14

y = α

z = 7β − 7

w = β

soluciones infinitas

Problema 1.3: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogeneos.

i)

x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 0

3 x 1 − x 3 + 5x 4 = 0

4 x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 9x 4 = 0

x 1 + 7x 4 = 0

ii)

−x + 6w = 0

2 y − z + 13w = 0

2 x − z + 11w = 0

2 x + 2y − 2 z + 24w = 0

Soluci´on:

i)

x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 0

3 x 1 − x 3 + 5x 4 = 0

4 x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 9x 4 = 0

x 1 + 7x 4 = 0

(R 2 − 3 R 1 → R 2 )

(R 3 − 4 R 1 → R 3 )

(R 4 − R 1 → R 4 )

x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 0

− 6 x 2 + 2x 3 − 7 x 4 = 0

− 6 x 2 + 10x 3 − 7 x 4 = 0

− 2 x 2 + x 3 + 3x 4 = 0

(R 3 − R 2 → R 3 )

(3R 4 − R 2 → R 4 )

x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 0

− 6 x 2 + 2x 3 − 7 x 4 = 0

8 x 3 = 0

− 7 x 3 + 16x 4 = 0

(R 3 / 8 ↔ R 3 )

x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 0

− 6 x 2 + 2x 3 − 7 x 4 = 0

x 3 = 0

− 7 x 3 + 16x 4 = 0

(R 1 + R 3 → R 1 )

(R 2 − 2 R 3 → R 2 )

(R 4 + 7R 3 → R 4 )

x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 0

− 6 x 2 − 7 x 4 = 0

x 3 = 0

16 x 4 = 0

(R 4 / 16 → R 4 )

x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 0

− 6 x 2 − 7 x 4 = 0

x 3 = 0

x 4 = 0

(R 1 − 4 R 4 → R 1 )

(R 2 + 7R 4 → R 2 )

x 1 + 2x 2 = 0

− 6 x 2 = 0

x 3 = 0

x 4 = 0

(−R 2 / 6 → R 2 )

x 1 + 2x 2 = 0

x 2 = 0

x 3 = 0

x 4 = 0

(R 1 − 2 R 4 → R 2 )

x 1 = 0

x 2 = 0

x 3 = 0

x 4 = 0

soluci´on ´unica

ii)

−x + 6w = 0

2 y − z + 13w = 0

2 x − z + 11w = 0

2 x + 2y − 2 z + 24w = 0

(R 3 − 2 R 1 → R 3 )

(R 4 − 2 R 1 → R 4 )

−x + 6w = 0

2 y − z + 13w = 0

−z − w = 0

2 y − 2 z + 12w = 0

(R 4 − R 2 → R 4 )

−x + 6w = 0

2 y − z + 13w = 0

−z − w = 0

−z − w = 0

(R 2 − R 3 → R 2 )

(R 4 − R 3 → R 4 )

−x + 6w = 0

2 y + 14w = 0

−z − w = 0

0 = 0

R 1 ⇒ x = 6w

R 2 ⇒ y = − 7 w

R 3 ⇒ z = −w

w = α ∈ R par´ametro libre ⇒

x = 6α

y = − 7 α

z = −α

w = α

soluciones infinitas

Problema 1.4: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando la matriz aumentada.

i)

x 1 + 2x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 + 4x 5 = 1

2 x 1 + 5x 2 − 8 x 3 − x 4 + 6x 5 = 4

x 1 + 4x 2 − 7 x 3 − 5 x 4 + 2x 5 = 8

ii)

x + 2y − z = 3

x + 3y + z = 5

3 x + 8y + 4z = 17

Soluci´on:

i)

(R 2 − 2 R 1 → R 2 )

(R 3 − R 1 → R 3 )

(R 1 − 2 R 2 → R 1 )

(R 3 − 2 R 2 → R 3 )

(−R 3 / 9 → R 3 )

(R 1 + 8R 3 → R 1 )

(R 2 − 3 R 3 → R 2 )

R 1 ⇒ x 1 = − 17 / 3 − x 3 − 56 / 9 x 5

R 2 ⇒ x 2 = 3 + 2x 3 + 12/ 9 x 5

R 3 ⇒ x 4 = − 1 /3 + 2/ 9 x 5

x 3 = α ∈ R

x 5 = β ∈ R

par´ametros libres ⇒

x 1 = − 17 / 3 − α − 56 / 9 β

x 2 = 3 + 2α + 12/ 9 β

x 3 = α

x 4 = − 1 /3 + 2/ 9 β

x 5 = β

soluciones infinitas

ii)

(R 2 − R 1 → R 2 )

(R 3 − 3 R 1 → R 3 )

(R 1 + 2R 2 → R 1 )

(R 3 + 2R 2 → R 3 )

R 3 / 3 → R 3 )

(R 1 + 5R 3 → R 1 )

(R 2 + 2R 3 → R 2 )

x = 17/ 3

y = − 2 / 3

z = 4/ 3

soluci´on ´unica

Problema 1.6: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos usando la matriz aumentada.

i)

x + 2y − 3 z + 4t = 2

2 x + 5y − 2 z + t = 1

5 x + 12y − 7 z + 6t = 7

ii)

2 x + 4y − z = 0

x + y − z = 0

3 x + 2y + 2z = 0

Soluci´on:

i)

(R 2 − 2 R 1 → R 2 )

(R 3 − 5 R 1 → R 3 )

(R 1 − 2 R 2 → R 1 )

(R 3 − 2 R 2 → R 3 )

El sistema no tiene soluci´on.

ii)

 R

1 ↔^ R 2

(R 2 − 2 R 1 → R 2 )

(R 3 − 3 R 1 → R 3 )

(R 2 / 2 → R 2 )

(R 1 − R 2 → R 1 )

(R 3 + R 2 → R 3 )

(2R 3 / 11 → R 3 )

(R 1 + R 3 / 2 → R 1 )

(R 2 − R 3 / 2 → R 2 )

x = 0

y = 0

z = 0

soluci´on ´unica

Problema 1.7: Encuentre el determinante de cada una de las siguientes matrices, usando el desarrollo en cofactores.

i) A =

 (^) ii) B =

Soluci´on:

i) Desarrollamos en cofactores con respecto de la fila uno, esto es,

|A| =

ii) Desarrollamos en cofactores con respecto de la fila dos, esto es,

|B| =

[

]

[

]

[

]

= (3) [(−2)(−21) + (4)(−7)] + [(−2)(−7) + (2)(−2)] + (2) [(5)(0) − (1)(28) + (4)(14)]

Problema 1.9: Encuentre el determinante de las siguientes matrices, usando ´unicamente las propiedades de los

determinantes.

A =

1 a b + c

1 b c + a

1 c a + b

 B =

a

2 1 a^1 a 2 2 a 2 1

a

2 3 a^3

Soluci´on:

|A| =

1 a b + c

1 b c + a

1 c a + b

c 3 + c 2 → c 3 |A| =

1 a b + c + a

1 b c + a + b

1 c a + b + c

1 a (a + b + c) · 1

1 b (a + b + c) · 1

1 c (a + b + c) · 1

Columna 3 multiplicada por un factor com´un ⇒ |A| =(a + b + c) ·

1 a 1

1 b 1

1 c 1

Determinante con 2 columnas iguales ⇒ |A| =(a + b + c) · (0) = 0

|B| =

a

2 1 a^1 a 2 2 a 2 1

a

2 3 a^3

f 2 − f 1 → f 2

f 3 − f 1 → f 3

|B| =

a

2 1 a 1 1

a

2 2 −^ a

2 1 a^2 −^ a^1 a 2 3 − a 2 1 a 3 − a 1 0

a 2 1 a 1 1

(a 2 + a 1 )(a 2 − a 1 ) a 2 − a 1 0

(a 3 + a 1 )(a 3 − a 1 ) a 3 − a 1 0

|B| =

a

2 1 a^1 (a 2 + a 1 )(a 2 − a 1 ) (a 2 − a 1 ) · 1 (a 2 − a 1 ) · 0

(a 3 + a 1 )(a 3 − a 1 ) (a 3 − a 1 ) · 1 (a 3 − a 1 ) · 0

Filas 2 y 3 multiplicadas por un factor com´un ⇒ |B| =(a 2 − a 1 ) · (a 3 − a 1 ) ·

a

2 1 a 1 1

(a 2 + a 1 ) 1 0

(a 3 + a 1 ) 1 0

f 3 − f 2 → f 3 |B| =(a 2 − a 1 ) · (a 3 − a 1 ) ·

a 2 1 a 1 1

(a 2 + a 1 ) 1 0

(a 3 − a 2 ) 0 0

f 1 ↔ f 3 |B| =(a 2 − a 1 ) · (a 3 − a 1 ) · (−1) ·

(a 3 − a 2 ) 0 0

(a 2 + a 1 ) 1 0

a

2 1 a^1

Determinante de una matriz triangular

⇒ |B| =(a 2 − a 1 ) · (a 3 − a 1 ) · (−1) · [(a 3 − a 2 )] = (a 2 − a 1 ) · (a 3 − a 1 ) · (a 2 − a 3 )

Problema 1.10: Considere el valor del siguiente determinante

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

en base a este resultado, encuentre el valor de

i)

− 3 a 11 − 3 a 12 − 3 a 13

2 a 31 2 a 32 2 a 33

5 a 21 5 a 22 5 a 23

ii)

2 a 11 − 3 a 21 2 a 12 − 3 a 22 2 a 13 − 3 a 23

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

iii)

− 3 a 12 2 a 13 − a 11 a 12 + 3a 13

− 3 a 22 2 a 23 − a 21 a 22 + 3a 23

− 3 a 32 2 a 33 − a 31 a 32 + 3a 33

Soluci´on:

i)

− 3 a 11 − 3 a 12 − 3 a 13

2 a 31 2 a 32 2 a 33

5 a 21 5 a 22 5 a 23

a 11 a 12 a 13

2 a 31 2 a 32 2 a 33

5 a 21 5 a 22 5 a 23

a 11 a 12 a 13

a 31 a 32 a 33

5 a 21 5 a 22 5 a 23

a 11 a 12 a 13

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

ii)

2 a 11 − 3 a 21 2 a 12 − 3 a 22 2 a 13 − 3 a 23

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

2 a 11 2 a 12 2 a 13

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

3 a 21 3 a 22 3 a 23

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

a 11 a 12 a 13

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

a 21 a 22 a 23

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

iii)

− 3 a 12 2 a 13 − a 11 a 12 + 3a 13

− 3 a 22 2 a 23 − a 21 a 22 + 3a 23

− 3 a 32 2 a 33 − a 31 a 32 + 3a 33

− 3 a 12 2 a 13 a 12 + 3a 13

− 3 a 22 2 a 23 a 22 + 3a 23

− 3 a 32 2 a 33 a 32 + 3a 33

− 3 a 12 a 11 a 12 + 3a 13

− 3 a 22 a 21 a 22 + 3a 23

− 3 a 32 a 31 a 32 + 3a 33

− 3 a 12 2 a 13 a 12

− 3 a 22 2 a 23 a 22

− 3 a 32 2 a 33 a 32

− 3 a 12 2 a 13 3 a 13

− 3 a 22 2 a 23 3 a 23

− 3 a 32 2 a 33 3 a 33

− 3 a 12 a 11 a 12

− 3 a 22 a 21 a 22

− 3 a 32 a 31 a 32

− 3 a 12 a 11 3 a 13

− 3 a 22 a 21 3 a 23

− 3 a 32 a 31 3 a 33

a 12 a 13 a 12

a 22 a 23 a 22

a 32 a 33 a 32

a 12 a 13 a 13

a 22 a 23 a 23

a 32 a 33 a 33

a 12 a 11 a 12

a 22 a 21 a 22

a 32 a 31 a 32

a 12 a 11 a 13

a 22 a 21 a 23

a 32 a 31 a 33

= (−6) · [0] + (−18) · [0] − (−3) [0] − (−9) [−8] = − 72

b) Escribimos ahora la matriz aumentada del sistema y la transfromamos a su forma escalonada reducida

c 0 a

b a 0

0 c b

b

c

a

 (^) (cR 2 −^ bR 1 →^ R 2 )

c 0 a

0 ac −ab

0 c b

b

c 2 − b 2

a

(aR 3 − R 2 → R 3 )

c 0 a

0 ac −ab

0 0 2 ab

b

c

2 − b

2

a

2 − c

2

• b

2

(2R 2 + R 3 → R 2 )

c 0 a

0 2ac 0

0 0 2 ab

b

a

2

• c

2 − b

2

a 2 − c 2

• b 2

(2bR 1 − R 3 → R 1 )

2 bc 0 0

0 2 ac 0

0 0 2 ab

b 2 − a 2

• c 2

a

2

• c

2 − b

2

a 2 − c 2

• b 2

(R 1 / 2 bc → R 1 )

(R 2 / 2 ac → R 2 )

(R 3 / 2 ab → R 3 )

b 2 − a 2

• c 2 / 2 bc

a

2

• c

2 − b

2 / 2 ac

a 2 − c 2

• b 2 / 2 ab

de donde obtenemos los siguientes resultados

R 1 ⇒ cos α =

b 2

• c 2 − a 2

2 bc

⇒ a

2 = b

2

• c

2 − 2 bc cos α

R 2 ⇒ cos β =

a

2

• c

2 − b

2

2 ac

⇒ b

2 = a

2

• c

2 − 2 ac cos β

R 3 ⇒ cos γ =

a 2

• b 2 − c 2

2 ab

⇒ c

2 = a

2

• b

2 − 2 ab cos γ

Cada una de estas ecuaciones es la ley de los cosenos.

Problema 1.12: Determine la inversa de la matriz A, donde

A =

a) Usando el m´etodo de Gauss-Jordan.

b) Usando la matriz adjunta.

Soluci´on: Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, entonces A tiene inversa, calculemos su determinate.

Primero hagamoslo desarrollando en cofactores, es claro que el desarrollo se realiza considerando la fila o columna

que tenga el mayor n´umero de coeficientes iguales a cero, entonces

|A| =

Ahora usemos las propiedades de los determinantes, esto es,

|A| =

(R 2 → R 2 − R 1 ) |A| =

(R 3 → R 3 + R 2 ) |A| =

(R 4 → R 4 + R 3 ) |A| =

Como se trata de un determinante de una matriz triangular, entonces el valor del determinante es igual al producto

de su diagonal, as´ı,

|A| = (−1)(−1)(−1)(1) = − 1

Como el determinante de la matriz A, es distinto de cero, esto quiere decir que la matriz A, tiene inversa o es

invertible.

b) Ahora usemos la matriz adjunta para detrminar la inversa de la matriz A. Tenemos que

A

− 1

adj (A)

|A|

Para obtener la adjunta de la matriz A, necesitamos calcular sus cofactores que se obtiene con la relacion Aij =

i+j |Mij |, entonces tenemos;

A 11 =

= 1, A 12 = −

= 0, A 13 =

A 14 = −

= 1, A 21 = −

= 0, A 22 =

A 23 = −

= − 1 , A 24 =

= − 1 , A 31 =

A 32 = −

= − 1 , A 33 =

= − 1 , A 34 = −

A 41 = −

= − 2 , A 42 =

= − 1 , A 43 = −

A 44 =

Donde la adjunta de la matriz A esta dada por

adj(A) =

A 11 A 21 A 31 A 41

A 12 A 22 A 32 A 42

A 13 A 23 A 33 A 43

A 14 A 24 A 34 A 44

por lo tanto la inversa es

A

− 1

adj (A)

|A|

Problema 1.13: Considere la siguiente matriz A, para que valores del par´ametro k, la matriz es invertible (tiene

inversa)

A =

k + 3 − 1 1

5 k − 3 1

6 − 6 k + 4

Soluci´on: Una matriz tiene inversa o es invertible si su determinante es distinto de cero, entonces calculemos su

determinante

|A| =

k + 3 − 1 1

5 k − 3 1

6 − 6 k + 4

C 1 → C 1 + C 2 |A| =

k + 2 − 1 1

k + 2 k − 3 1

0 − 6 k + 4

= (k + 2)

1 k − 3 1

0 − 6 k + 4

C 2 → C 2 + C 3 |A| = (k + 2)

1 k − 2 1

0 k − 2 k + 4

= (k + 2) (k − 2)

0 1 k + 4

R 2 → R 2 − R 1 |A| = (k + 2) (k − 2)

0 1 k + 4

R 3 → R 3 − R 2 |A| = (k + 2) (k − 2)

0 0 k + 4

C 3 → C 3 − C 1 |A| = (k + 2) (k − 2)

0 0 k + 4

= (k + 2) (k − 2)(k + 4)

Necesitamos que

|A| = (k + 2) (k − 2)(k + 4) 6 = 0

Entonces la matriz A tiene inversa o es invertible cuando

k 6 = − 2

k 6 = 2

k 6 = − 4

Problema 1.15: Encuentre la forma general de las matrices A ∈ M 22 tales que conmuten con la matriz B, esto

es, AB = BA donde

B =

Soluci´on: Como A ∈ M 22 , significa que A es de la forma A =

a b

c d

, luego entonces tenemos los productos

AB =

a b

c d

2 a + b −a + b

2 c + d −c + d

BA =

a b

c d

2 a − c 2 b − d

a + c b + d

requerimos que las matrices conmuten, esto es

AB = BA ⇒

2 a + b −a + b

2 c + d −c + d

2 a − c 2 b − d

a + c b + d

de donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 a + b = 2a − c

−a + b = 2b − d

2 c + d = a + c

−c + d = b + d

b + c = 0

−a − b + d = 0

−a + c + d = 0

−b − c = 0

cuya matriz aumentada es

 (R 1 ↔^ R 2 )

 ((−1)R 1 →^ R 1 )

(R 3 + R 1 → R 3 )

R 2 ⇒ b = −c

R 1 ⇒ a = −b + d

c = α ∈ R

d = β ∈ R

a = α + β

b = −α

c = α

d = β

donde α y β son par´ametros libres.

Por lo tanto, las matrices que buscamos son de la forma

A =

α + β −α

α β

las cuales conmutan con la matriz B para todo valor de α y β.

Este resultado incluye a las matrices cero e identidad, las cuales conmutan con cualquier matriz

α = 0

β = 0

⇒ A =

y

α = 0

β = 1

⇒ A =

Problema 1.16: Muestre que si A es una matriz de tama˜no n × n, entonces el determinante de su adjunta es igual

aldeterminate de A elevado a la (n − 1), esto es

|adj(A)| = (|A|)

n− 1

Soluci´on: Conocemos la relaci´on para obtener la matriz inversa, dada por

A

− 1

adj (A)

|A|

de aqu´ı tenemos que

A

− 1 · A =

adj (A)

|A|

· A ⇒ In =

|A|

adj(A) · A

donde In es la matriz identidad de tama˜no n × n, como el determinate es un escalar puede pasar multiplicado del

lado izquierdo de la igualdad

|A| · In = adj(A) · A

obteneindo el determinate a ambos lados resulta

||A| · In| = |adj(A) · A| = |adj(A)| · |A|

para el determinate izquierdo

||A| · In| =

|A| 0 · · · 0

0 |A| · · · 0

0 0 · · · |A|

= |A|

n

entonces

|A|

n = |adj(A)| · |A| ⇒ |adj(A)| =

|A|

n

|A|

por lo tanto

|adj(A)| = (|A|)

n− 1