Matemàtiques II. Full 1. Estimadors puntuals. Solucions.
1) La secreció diària mitjana de fel en un individu sa és de 0.6 l/dia, amb una desviació típica
de 0.45. Prenem una mostra aleatòria de 50 individus (suposadament) sans i mesuram la seva
secreció de fel un dia concret.
Quina és la probabilitat que la mitjana d’aquestes secrecions de fel sigui superior a 0.75 l? Si
això és el que passàs, quines conclusions en podríem treure?
Pel T.C.L., la mitjana mostral Xen aquest cas segueix aproximadament una llei N(0.6,0.45/√50) =
N(0.6,0.06364). Per tant
P(X > 0.75) = PX−0.6
0.06364 >0.75 −0.6
0.06364
=P(Z > 2.357) = 1 −FZ(2.357) ≈1−FZ(2.36) = 1 −0.9909 = 0.0091
Amb R:
> 1-pnorm(0.75,0.6,0.06364) #sense tipificar
[1] 0.009211421
> 1-pnorm((0.75-0.6)/0.06364) #tipificant
[1] 0.009211421
En tot cas, és molt improbable. Per tant, si és el que ha passat, “ho podem prendre com a
evidència que els individus no estaven sans” (aviat somiareu aquesta frase).
2) S’ha pres una mostra de 16 tortugues recent nascudes, amb la finalitat d’estimar el temps
mitjà que empren per per anar des de l’ou a la mar. Suposem que la distribució d’aquests temps
en la població segueix una llei normal amb mitjana 87 minuts i desviació típica 22.
1) Quin és l’error estàndard de la mitjana mostral dels temps de desplaçament?
Serà 22/√16 = 5.5.
2) Quina és la probabilitat que la mitjana mostral sigui inferior a 100 minuts?
La mostra és petita, però la població de partida és normal. Per tant, la mitjana mostral
Xen aquest cas segueix una llei N(87,22/√16) = N(87,5.5). Per tant
P(X < 100) = PX−87
5.5<100 −87
5.5=P(Z < 2.3636) ≈FZ(2.36) = 0.9909
Amb R:
> pnorm(100,87,5.5) #sense tipificar
[1] 0.9909517
> pnorm((100-87)/5.5) #tipificant
[1] 0.9909517
3) Suposem que prenem una segona mostra, ara de 15 tortugues, independent de l’anterior.
Sense calcular cap probabilitat, digau si la probabilitat que la mitjana mostral sigui inferior a 100
minuts serà major, menor o igual per a aquesta segona mostra que per a la primera. No podeu
fer cap càlcul: heu de raonar la vostra resposta.
Com que el denominador de l’error estàndard és √n, l’error estàndard quan prenem 15 tor-
tugues, diguem-ne e, serà més gran que quan en prenem 16, que era 5.5; en canvi, l’esperança
de la mitjana mostral no depèn de la mida de la mostra, i serà la mateixa, 87. Aleshores,
amb la mostra de 16 tortugues teníem que
P(X16 <100) = PZ < 100 −87
5.5,
1
