¡Descarga Análisis de la población de cervos: crecimiento y evolución - Prof. Massanet Massanet y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Nom: Grup:
Matem`atiques I. Graus de Biologia i Bioqu´ımica. Control 1 de Problemes. Curs 17-18.
(Heu de comen¸car a contestar en aquest full, que s’haura d’entregar. No entregar aquest full suposa un 0 del control. Contestar una pregunta d’aquesta versi´o amb la resposta correcta a una pregunta d’una altra versi´o tamb´e suposara un 0 del control.)
- El c´ervol de Virg´ınia, Odocoileus virginianus, ´es una esp
ecie de c´ervol de mida mitjana nadiu del continent america. Existeix una sobrepoblaci´o severa d’aquests animals a la part est dels Estats Units que est`a provocant alteracions en els patrons de regeneraci´o forestal i reduint la diversitat vegetal de l’ecosistema. En la poblaci´o de Bloomington, Indiana, la poblaci´o d’aquests c´ervols s’ha quintuplicat de l’any 1990 al 2010.
a) Suposant que la poblaci´o de c´ervols de Virg´ınia a Bloomington ha augmentat un percentatge constant anual p, trobau el valor de p arrodonit a dues xifres decimals. Aquest valor arrodonit de p ´es el que haureu de fer servir en els apartats seg¨uents. (0.75 punts)
Diguem xn al n´umero de c´ervols a Bloomington passats n anys des de 1990. Ens diuen que aquesta poblaci´o augmenta un percentatge anual constant p. Aix´ı obtenim la seg¨uent equaci´o malthusiana
xn+1 = xn + p 100
xn =
p 100
xn
la soluci´o de la qual ´es
xn =
p 100
)n · x 0.
Per altra banda, ens diuen que la poblaci´o s’ha quintuplicat de l’any 1990 al 2010. Aixo significa que x 20 = 5x 0. Empero, a partir de la soluci´o de l’equaci´o malthusiana s’obt´e que
x 20 =
p 100
· x 0.
Igualant ambdues expressions i simplificant el x 0 (´es diferent de 0), podem obtenir el valor de p. Vegem-ho: ( 1 + 100 p
· x 0 = 5x 0 ( 1 + 100 p
1 + 100 p = 20
p = 100 · ( 20
Per tant, la poblaci´o de c´ervols ha augmentat aproximadament un 8.38% anualment.
b) Si no es controla la poblaci´o i es mant´e el percentatge de creixement, quants de c´ervols hi haur`a a l’any 2020 si a l’any 2010 hi havia 300 c´ervols? (0.25 punts)
Ens diuen que x 20 = 300. D’aqu´ı podem obtenir el valor de x 0 ja que
300 = x 20 =
· x 0.
Concretament, x 0 ≈ 60. Ens demanen el valor de x 30. Emprant la soluci´o de l’equaci´o malthusiana, obtenim
x 30 =
Aix´ı doncs, a l’any 2020 tendr´ıem aproximadament 670 c´ervols (el 671 encara no s’ha format).
Emper`o, a l’any 2010 es va constituir la Deer Task Force amb l’objectiu de controlar la sobrepoblaci´o. Aquesta brigada ca¸ca una quantitat fixa A de c´ervols cada any a partir de l’any seg¨uent. El percentatge de creixement natural dels c´ervols segueix essent el mateix. Diguem yn al nombre de c´ervols que hi ha Bloomington passats n anys des de 2010 (suposam per fixar idees que comptam els c´ervols immediatament despr´es d’haver ca¸cat la quantitat fixa A).
c) Donau una equaci´o malthusiana que satisfaci la successi´o (yn)n. Explicau breument com l’heu obtinguda. Qu`e val yn, per a cada n ≥ 0? (1 punt)
La poblaci´o de c´ervols passats n + 1 anys ser`a igual a la poblaci´o de c´ervols passats n anys m´es el 8.38% de creixement natural menys la quantitat fixa A de c´ervols que es cacen. Aix´ı doncs,
yn+1 = yn +
· yn − A = 1. 0838 · yn − A.
La soluci´o a aquesta equaci´o malthusiana amb immigraci´o constant tenint en compte que y 0 = 300 ´es
yn = 1. 0838 n^ ·
−A
−A
= 1. 0838 n^ ·
300 · 0. 0838 − A
A
d) Estudiau el creixement i decreixement de la successi´o (yn)n en funci´o d’A. Existeix algun valor d’A pel qual la successi´o roman constant? (1 punt)
Com que (1. 0838 n)n ´es creixent, la successi´o ser`a creixent si 300 · 00 .. 08380838 −A> 0, decreixent si 300 · 00 .. 08380838 −A< 0 i constant si 300 · 00 .. 08380838 −A= 0. Aleshores anem a resoldre la inequaci´o.
300 · 0. 0838 −A
- 0838 ≥^0 300 · 0. 0838 − A ≥ 0 A ≤ 25. 14.
Com que nom´es es pot ca¸car un nombre natural de c´ervols, aixo implica que la successi´o sera creixent si A ≤ 25, ser`a decreixent si A ≥ 26 i no pot ser constant en cap cas.
e) Quin ´es el nombre m´ınim de c´ervols que s’ha de ca¸car cada any per a que a l’any 2020 hi hagi com a m`axim 100 c´ervols? (1 punt)
Ens demanen trobar el valor m´ınim d’A tal que y 10 ≤ 100. Vegem-ho:
- 083810 · 300 · 00 .. 08380838 −A+ (^0). 0838 A ≤ 100
- 083810 · 300 · 0. 0838 − 1. 083810 · A + A ≤ 100 · 0. 0838 (1 − 1. 083810 ) · A ≤ 100 · 0. 0838 − 1. 083810 · 300 · 0. 0838 A ≥ 100 ·^0.^0838 −^1.^0838
(^10) · 300 · 0. 0838 1 − 1. 083810 A ≥ 38. 7
Per tant, com a m´ınim s’haurien de ca¸car 39 c´ervols anualment.
- Els Klingon s´on una ra¸ca de guerrers humanoides originaris del planeta Qo’noS. Amb l’objectiu de conquerir un nou planeta per ampliar el seu imperi, han alliberat en l’aigua del planeta Xindus una subst`ancia que redueix la taxa de reposici´o entre etapes evolutives dels Xindi. Els Xindi es divideixen en Xindis insectoides, Xindis reptilians i Xindis primats. Cada translaci´o del planeta Xindus al voltant de l’enana roja X-05R4J, es produeixen canvis evolutius en els Xindi. Despr´es de l’atac Klingon, els canvis responen a les seg¨uents regles:
- El 75% dels Xindis insectoides passen a ser Xindis reptilians. La resta de Xindis insectoides moren.
- El 50% de Xindis reptilians passen a ser Xindis primats. La resta de Xindis reptilians moren.
- El 50% de Xindis primats sobreviu i segueixen sent Xindis primats.
- Abans de qualsevol mort o canvi de tipus de Xindi, de mitjana, cada Xindi insectoide d´ona lloc a 0.25 Xindis insectoides; cada Xindi reptili`a d´ona lloc a 0.5 Xindis insectoides i cada Xindi primat d´ona lloc a 0.5 Xindis insectoides.
Diguem (in)n, (rn)n i (pn)n als nombres de Xindis insectoides, reptilians i primats, respectivament, que hi haur`a passats n translacions del planeta Xindus despr´es de l’atac Klingon. En aquell moment hi havia 1000 Xindis insectoides, 500 Xindis reptilians i 100 Xindis primats.
a) Trobau la matriu quadrada M d’ordre 3 tal que
in+ rn+ pn+
= M ·
in rn pn
(^) per a tot n ≥ 0.
Explicau breument com l’heu obtinguda. (1.5 punts)
L’evoluci´o del sistema ´es la seg¨uent:
- El nombre de Xindis insectoides a la translaci´o n+1 que correspon a in+1 ser
a 0.25 per cada Xindi insectoide de la translaci´o n m´es 0.5 per cada Xindi reptilia de la translaci´o n m´es 0.5 per cada Xindi primat de la translaci´o n. Aix´ı, in+1 = 0. 25 in + 0. 5 rn + 0. 5 pn. - El nombre de Xindis reptilians a la translaci´o n+1 que correspon a rn+1 ser`a 0.75 per cada Xindi insectoide de la translaci´o n. Aix´ı, rn+1 = 0. 75 in.
- El nombre de Xindis primats a la translaci´o n + 1 que correspon a pn+1 ser
a 0.5 per cada Xindi reptilia de la translaci´o n m´es 0.5 per cada Xindi primat de la translaci´o n. Aix´ı, pn+1 = 0. 5 rn + 0. 5 pn.
Aix´ı, el sistema queda com segueix:
in+1 = 0. 25 in +0. 5 rn +0. 5 pn rn+1 = 0. 75 in pn+1 = 0. 5 rn +0. 5 pn
Finalment, determinem les successions.
in rn pn
n ·
n ·
− 1 ·
n ·
n ·
3600 · (− 0 .25)n
6400 + 3600 · (− 0 .25)n 4800 − 10800 · (− 0 .25)n 4800 + 7200 · (− 0 .25)n
En resum, in = 101 · (6400 + 3600 · (− 0 .25)n), rn = 101 · (4800 − 10800 · (− 0 .25)n), pn = 101 · (4800 + 7200 · (− 0 .25)n).
c) Calculau la successi´o (xn)n on xn ´es el nombre total de Xindis passades n translacions. Aconseguiran els Klingon extingir totalment la poblaci´o de Xindis? (1 punt)
Ens demanen calcular la suma de les tres poblacions de Xindis:
xn = in +rn +pn =
·(6400+3600·(− 0 .25)n^ +4800− 10800 ·(− 0 .25)n^ +4800+7200·(− 0 .25)n) =
Aquest resultat ´es l`ogic! Cada Xindi d´ona lloc a la mateixa quantitat de Xindis (entre les tres etapes evolutives), per tant, la poblaci´o de Xindis roman sempre constant i no s’extingeixen.
d) Quin percentatge, si ´es que existeix, de Xindis insectoides tendir`a a haver en la poblaci´o de Xindus? (1 punt)
Ens demanen el lim n→∞
in xn
. Calculem-lo:
lim n→∞
in xn
= lim n→∞
1 10 ·^ (6400 + 3600^ ·^ (−^0 .25)
n) 1600
Tendir`a a haver un 40% de Xindis insectoides.
Nom: Grup:
Matem`atiques I. Graus de Biologia i Bioqu´ımica. Control 1 de Problemes. Curs 17-18.
(Heu de comen¸car a contestar en aquest full, que s’haura d’entregar. No entregar aquest full suposa un 0 del control. Contestar una pregunta d’aquesta versi´o amb la resposta correcta a una pregunta d’una altra versi´o tamb´e suposara un 0 del control.)
- El c´ervol de Virg´ınia, Odocoileus virginianus, ´es una esp
ecie de c´ervol de mida mitjana nadiu del continent america. Existeix una sobrepoblaci´o severa d’aquests animals a la part est dels Estats Units que est`a provocant alteracions en els patrons de regeneraci´o forestal i reduint la diversitat vegetal de l’ecosistema. En la poblaci´o de Bloomington, Indiana, la poblaci´o d’aquests c´ervols s’ha triplicat de l’any 1990 al 2010.
a) Suposant que la poblaci´o de c´ervols de Virg´ınia a Bloomington ha augmentat un percentatge constant anual p, trobau el valor de p arrodonit a dues xifres decimals. Aquest valor arrodonit de p ´es el que haureu de fer servir en els apartats seg¨uents. (0.75 punts)
Diguem xn al n´umero de c´ervols a Bloomington passats n anys des de 1990. Ens diuen que aquesta poblaci´o augmenta un percentatge anual constant p. Aix´ı obtenim la seg¨uent equaci´o malthusiana
xn+1 = xn + p 100
xn =
p 100
xn
la soluci´o de la qual ´es
xn =
p 100
)n · x 0.
Per altra banda, ens diuen que la poblaci´o s’ha triplicat de l’any 1990 al 2010. Aixo significa que x 20 = 3x 0. Empero, a partir de la soluci´o de l’equaci´o malthusiana s’obt´e que
x 20 =
p 100
· x 0.
Igualant ambdues expressions i simplificant el x 0 (´es diferent de 0), podem obtenir el valor de p. Vegem-ho: ( 1 + 100 p
· x 0 = 3x 0 ( 1 + 100 p
1 + 100 p = 20
p = 100 · ( 20
Per tant, la poblaci´o de c´ervols ha augmentat aproximadament un 5.65% anualment.
b) Si no es controla la poblaci´o i es mant´e el percentatge de creixement, quants de c´ervols hi haur`a a l’any 2030 si a l’any 2010 hi havia 400 c´ervols? (0.25 punts)
Ens diuen que x 20 = 400. D’aqu´ı podem obtenir el valor de x 0 ja que
400 = x 20 =
· x 0.
Concretament, x 0 ≈ 133. Ens demanen el valor de x 40. Emprant la soluci´o de l’equaci´o malthusiana, obtenim
x 40 =
Aix´ı doncs, a l’any 2030 tendr´ıem aproximadament 1198 c´ervols (el 1199 encara no s’ha format).
Emper`o, a l’any 2010 es va constituir la Deer Task Force amb l’objectiu de controlar la sobrepoblaci´o. Aquesta brigada ca¸ca una quantitat fixa A de c´ervols cada any a partir de l’any seg¨uent. El percentatge de creixement natural dels c´ervols segueix essent el mateix. Diguem yn al nombre de c´ervols que hi ha Bloomington passats n anys des de 2010 (suposam per fixar idees que comptam els c´ervols immediatament despr´es d’haver ca¸cat la quantitat fixa A).
c) Donau una equaci´o malthusiana que satisfaci la successi´o (yn)n. Explicau breument com l’heu obtinguda. Qu`e val yn, per a cada n ≥ 0? (1 punt)
La poblaci´o de c´ervols passats n + 1 anys ser`a igual a la poblaci´o de c´ervols passats n anys m´es el 5.65% de creixement natural menys la quantitat fixa A de c´ervols que es cacen. Aix´ı doncs,
yn+1 = yn +
· yn − A = 1. 0565 · yn − A.
La soluci´o a aquesta equaci´o malthusiana amb immigraci´o constant tenint en compte que y 0 = 400 ´es
yn = 1. 0565 n^ ·
−A
−A
= 1. 0565 n^ ·
400 · 0. 0565 − A
A
i la matriu M que es demana ´es
M =
b) Determinau les successions (in)n, (rn)n i (pn)n a partir de les condicions inicials donades. (2.5 punts) La soluci´o del sistema matricial de l’apartat anterior ´es
in rn pn
n ·
i 0 r 0 p 0
n ·
Per calcular la pot`encia de la matriu M , anem a diagonalitzar la matriu. En primer lloc, hem de determinar els valors propis. Calculem el polinomi caracter´ıstic.
|M − λ · I 3 | =
- 35 − λ 0. 45 0. 45
- 65 −λ 0 0 0. 55 0. 55 − λ
= −λ^3 + 0. 9 λ^2 + 0. 1 λ = 0
Les arrels s´on 0, 1 i − 0 .1. Com que la matriu M ´es d’ordre 3 i t´e 3 valores propis diferents, la matriu diagonalitza. Determinem ara les matrius P i D de manera que M es pugui expressar com M = P · D · P −^1. Per una banda tenim que
D =
Per trobar la matriu P , hem de trobar un vector propi per cada valor propi. Comencem per λ = 0. Hem de resoldre el sistema seg¨uent: (^)
- 35 x +0. 45 y +0. 45 z = 0
- 65 x = 0
- 55 y +0. 55 z = 0
De la 2a equaci´o treim que x = 0 i de la 3a, concloem que z = −y. Aix´ı, els vectors propis de valor propi 0 s´on de la forma (0, y, −y)t^ amb y 6 = 0. Considerarem el vector propi (0, 1 , −1)t.
Seguim amb λ = 1. Hem de resoldre el sistema seg¨uent:
- 35 x +0. 45 y +0. 45 z = x
- 65 x = y
- 55 y +0. 55 z = z
− 0. 65 x +0. 45 y +0. 45 z = 0
- 65 x −y = 0
- 55 y − 0. 45 z = 0
De la 2a equaci´o treim que y = 0. 65 x i de la 3a, z = 119 y = 143180 x. Aix´ı, els vectors propis de valor propi 1 s´on de la forma (x, 0. 65 x, 143180 x)t^ amb x 6 = 0. Considerarem el vector propi (180, 117 , 143)t.
Acabem amb λ = − 0 .1. Hem de resoldre el sistema seg¨uent:
- 35 x +0. 45 y +0. 45 z = − 0. 1 x
- 65 x = − 0. 1 y
- 55 y +0. 55 z = − 0. 1 z
- 45 x +0. 45 y +0. 45 z = 0
- 65 x +0. 1 y = 0
- 55 y +0. 65 z = 0
De la 2a equaci´o treim que y = − 6. 5 x i de la 3a, concloem que z = − 1113 y = 5. 5 x. Aix´ı, els vectors propis de valor propi − 0 .1 s´on de la forma (x, − 6. 5 x, 5. 5 x)t^ amb x 6 = 0. Considerarem el vector propi (2, − 13 , 11)t.
Aix´ı doncs, obtenim la seg¨uent matriu P
P =
i per tant,
M =
− 1
M n^ =
n ·
− 1 .
Finalment, determinem les successions.
in rn pn
n ·
n ·
− 1 ·
n ·
n ·
179000 · (− 0 .1)n
522000 + 358000 · (− 0 .1)n 339300 − 2327000 · (− 0 .1)n 414700 + 1969000 · (− 0 .1)n
En resum, in = 8801 · (522000 + 358000 · (− 0 .1)n), rn = 8801 · (339300 − 2327000 · (− 0 .1)n), pn = 8801 · (414700 + 1969000 · (− 0 .1)n).
c) Calculau la successi´o (xn)n on xn ´es el nombre total de Xindis passades n translacions. Aconseguiran els Klingon extingir totalment la poblaci´o de Xindis? (1 punt)
Ens demanen calcular la suma de les tres poblacions de Xindis:
xn = in+rn+pn =
·(522000+358000·(− 0 .1)n+339300− 2327000 ·(− 0 .1)n+414700+1969000·(− 0 .1)n) =
Aquest resultat ´es l`ogic! Cada Xindi d´ona lloc a la mateixa quantitat de Xindis (entre les tres etapes evolutives), per tant, la poblaci´o de Xindis roman sempre constant i no s’extingeixen.
d) Quin percentatge, si ´es que existeix, de Xindis primats tendir`a a haver en la poblaci´o de Xindus? (1 punt)
Ens demanen el lim n→∞
pn xn
. Calculem-lo:
lim n→∞
pn xn
= lim n→∞
1 880 ·^ (414700 + 1969000^ ·^ (−^0 .1)
n) 1450
Tendir`a a haver un 32.5% de Xindis primats.
