¡Descarga Variables Aleatorias Continuas: Concepto, Propiedades y Cálculo de Probabilidades - Prof. y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Variables aleatòries contínues
1 / 60
Variables aleatòries contínues
Una variable aleatòria X : Ω → R és contínua quan la seva funció de distribució FX : R → [ 0 , 1 ] és contínua
Observau que, en aquest cas, FX (x−) = FX (x) i per tant
P(X = x) = FX (x) − FX (x−) = 0 per a tot x ∈ R
A les v.a. contínues:
- (^) P(X = x) = 0 per a tot x, i per tant probabilitat 0 no significa impossible
- P(X < a) = P(X 6 a), P(X > a) = P(X > a), etc.
2 / 60
Exemple
Suposem que volem escollir de manera “equiprobable” un nombre a l’atzar dins l’interval ] 0 , 1 [. Sigui X la v.a. que ens dóna aquest nombre.
Per a cada 0 < x < 1, tenim que
P(X 6 x) =
longitud casos favorables longitud casos possibles
x − 0 1 − 0
= x
Per tant, la funció de distribució és
FX (x) =
0 si x 6 0 x si 0 < x < 1 1 si x > 1
Densitat
Una funció f : R → R és una funció de densitat (o densitat) quan satisfà les dues condicions següents:
- f (x) > 0 per a tot x ∈ R
−∞
f (t) dt = 1
Una funció de densitat pot tenir punts de discontinuïtat
Variables aleatòries contínues
Tota v.a. X amb funció de distribució
FX (x) =
∫ (^) x
−∞
fX (t) dt per a tot x ∈ R
per a qualque densitat fX , és contínua
Direm llavors que fX és la funció de densitat de X
A partir d’ara, només considerarem v.a. contínues que tenen funció de densitat
5 / 60
Propietats
Si X és una v.a. contínua amb funció de distribució FX i densitat fX :
- (^) FX és contínua
- (^) El domini de X és DX := {x | fX (x) > 0 }
- (^) Si A és un interval (de qualsevol tipus) amb extrems a < b, aleshores P(X ∈ A) =
∫ (^) b a fX^ (x)^ dx Per exemple
P(a < X 6 b) = P(X ∈]a, b]) =
∫ (^) b
a
fX (x) dx
P(a 6 X ) = P(X ∈ [a, ∞[) =
a
fX (x) dx
6 / 60
Exemple
La v.a. que ens dóna un nombre escollit a l’atzar dins ] 0 , 1 [ té distribució
FX (x) =
0 si x 6 0 x si 0 < x < 1 1 si x > 1
La seva densitat és
fX (x) =
1 si 0 < x < 1 0 si x 6 0 o x > 1
perquè
FX (x) =
∫ (^) x
−∞
fX (t) dt
Exemple
En efecte:
FX (x) =
∫ (^) x
−∞
0 dt = 0
FX (x) =
−∞
0 dt +
∫ (^) x
0
1 dt = 0 +
[
t
]x 0
= x
FX (x) =
−∞
0 dt +
0
1 dt +
∫ (^) x
1
0 dt = 0 + 1 + 0 = 1
Exercici
fX (x) =
2 x^2 + 13 si 0 < x < 1 0 si x 6 0 o x > 1
Distribució?
FX (x) =
∫ (^) x
−∞
fX (t) dt =
−∞
0 dt +
∫ (^) x
0
2 t^2 +
dt
[
t^3 3
t
]x 0
x^3 3
x =
2 x^3 + x 3
11 / 60
Exercici
fX (x) =
2 x^2 + 13 si 0 < x < 1 0 si x 6 0 o x > 1 Distribució?
FX (x) =
∫ (^) x
−∞
fX (t) dt
−∞
0 dt +
0
2 t^2 +
dt +
∫ (^) x
1
0 dt
= 0 + 1 + 0 = 1
11 / 60
Exercici
fX (x) =
2 x^2 +
si 0 < x < 1 0 si x 6 0 o x > 1
12 / 60
Exercici
FX (x) =
0 si x 6 0 2 x^3 + x 3
si 0 6 x 6 1 1 si x > 1
-2 -1 0 1 2
Distribució
x
F
13 / 60
Exercici
FX (x) =
0 si x 6 0 2 x^3 + x 3
si 0 6 x 6 1 1 si x > 1
P( 0. 2 6 X 6 1. 2 )?
P(X = 0. 2 )?
14 / 60
Esperança d’una v.a. contínua
Sigui X una v.a. contínua amb densitat fX L’esperança (mitjana, valor esperat) de X és
E (X ) =
−∞
x · fX (x) dx
Si el domini DX de X és un interval amb extrems a < b,
E (X ) =
∫ (^) b
a
x · fX (x) dx
Sovint també indicarem E (X ) amb μ E (X ) “és” (quasi segurament) el límit de la mitjana dels valors de X si efectuam l’experiment n vegades i fem n → ∞
15 / 60
Exemple
Considerem la v.a. X amb funció de densitat:
fX (x) =
2 x^2 + 13 si 0 < x < 1 0 si x 6 0 o x > 1
El seu valor esperat és
E (X ) =
0
x
2 x^2 +
dx =
0
2 x^3 +
x
dx
[
x^4 4
x^2 2
] 1
0
Esperança d’una funció d’una v.a.
Sigui X una v.a. contínua amb densitat fX i sigui g : DX → R una funció contínua. L’ esperança de la v.a. g (X ) és
E (g (X )) =
−∞
g (x)fX (x)dx
Si el domini DX de X és un interval amb extrems a < b, aleshores E (g (X )) =
∫ (^) b
a
g (x)fX (x)dx
Distribució uniforme
Una v.a. contínua X té distribució uniforme sobre l’interval real ]a, b[ (a < b), i ho indicarem amb U(a, b), si la seva funció de densitat és
fX (x) =
b − a
si a < x < b
0 si x 6 a o x > b
Una variable U(a, b) modela el triar un element dins ]a, b[ de manera equiprobable
Amb R, és unif
22 / 60
Distribució uniforme
U( 1 , 5 ) : fX (x) =
si 1 < x < 5
0 si x 6 1 o x > 5
23 / 60
Distribució uniforme
Integrant, la funció de distribució surt:
FX (x) =
0 si x 6 a x − a b − a
si a < x < b 1 si b 6 x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
0.^ 0.^
0.^ 0.^
Distribució de U(1,5)
24 / 60
Resum de propietats
Sigui X una v.a. U(a, b).
- Domini: DX =]a, b[
- Densitat: fX (x) =
b − a
si a < x < b 0 si x 6 a o x > b
0 si x 6 a x − a b − a
si a 6 x 6 b 1 si b 6 x
- (^) Esperança: E (X ) = a + b 2
- Variància: Var (X ) =
(b − a)^2 12 25 / 60
Esperança i variància
Sigui X una v.a. U(a, b)
E (X ) =
−∞
x · fX (x) dx =
∫ (^) b
a
x
b − a
dx
[ (^) x 2 2 (b − a)
]b a
b + a 2
E (X 2 ) =
−∞
x^2 · fX (x) dx =
∫ (^) b
a
x^2
b − a
dx
[ (^) x 3 3 (b − a)
]b a
b^3 − a^3 3 (b − a)
b^2 + ab + a^2 3
Var (X ) = E (X 2 ) − (E (X ))^2 =
b^2 + ab + a^2 3
b + a 2
(b − a)^2 12 26 / 60
Distribució normal
Una v.a. X segueix una llei normal o gaussiana de paràmetres μ i σ, i ho indicarem amb N(μ, σ), quan té funció de densitat
fX (x) =
2 πσ
e−(x−μ)
(^2) /( 2 σ (^2) ) per a tot x ∈ R
Quan μ = 0 i σ = 1, direm que la v.a. normal és estàndard, i la indicarem usualment Z
fZ (x) =
2 π
e−x
(^2) / 2 per a tot x ∈ R
Amb R, és norm
27 / 60
Distribució normal
La gràfica de fX és la coneguda campana de Gauss
-4 -2 0 2 4
Densitat N(0,1)
dnorm(x, 0, 1)
28 / 60
Distribució normal
La distribució normal és una de les més importants en estadística, perquè aproxima molt bé molts fenòmens naturals:
- Alçades, intel.ligència,...
- Notes, encerts, errors de mesura,... A més,
- (^) Moltes variables aleatòries consistents en prendre una mostra de N elements i calcular qualque cosa (per exemple, la mitjana) tenen distribució aproximadament normal quan N és gran, encara que la distribució dels elements individuals no ho sigui
29 / 60
Distribució normal
Augmentar la μ desplaça a la dreta el màxim, i amb ell tota la corba
μ 1 μ 2
N(μ 1 , σ ) N(μ 2 , σ )
μ 1 < μ 2
34 / 60
Distribució normal
Augmentar la σ aplata la corba: en augmentar la variància, els valors s’allunyen més del valor mitjà
μ
N(μ, σ 1 )
N(μ, σ 2 )
σ 1 < σ 2
35 / 60
Distribució normal
L’efecte combinat
μ 1 μ 2
N( μ 1 , σ 1 ) N(μ 2 , σ 2 )
μ 1 < μ 2 , σ 1 < σ 2
Estandardització d’una v.a. normal
Teorema
Si X és una v.a. N(μ, σ), aleshores Z =
X − μ σ
és N( 0 , 1 ).
Les probabilitats d’una normal estàndard Z determinen les de qualsevol X de tipus N(μ, σ):
P(X 6 x) = P
(X − μ σ
x − μ σ
= P
Z 6
x − μ σ
P(y 6 X 6 x) = P
(y − μ
σ
X − μ σ
x − μ σ
= P
(y − μ σ
6 Z 6
x − μ σ
Càlcul de probabilitats
FZ no té expressió coneguda. La podeu calcular amb R (pnorm) o altres programes (hi ha Apps per iPhone o Android), o, a mà, amb taules. Les taules per calcular FZ són al fitxer tablasnormal.pdf a Campus Extens.
FZ ( 0. 75 ) = 0. 7734 , FZ ( 1. 02 ) = 0. 8461 , FZ ( 0. 06 ) =
FZ (− 0. 75 ) = 1 − FZ ( 0. 75 ) = 0. 2266 , FZ (− 0. 88 ) = 38 / 60
Càlcul de probabilitats
FZ (− 0. 75 ) = 0. 2266 , FZ (− 0. 88 ) = 0. 1894
39 / 60
Càlcul de probabilitats
P( 0. 25 < Z < 0. 75 ) = P(Z < 0. 75 ) − P(Z < 0. 25 )
P(− 0. 3 < Z < 0. 3 ) =
Càlcul de quantils
Les taules també es poden emprar per “calcular” quantils (amb R, qnorm). Si volem saber el valor de z tal que P(Z 6 z) = q, cercam a la taula l’entrada q (o el més proper) i miram a quin z correspon.
Quin és el valor z tal que P(Z 6 z) = 0 .7357? z = 0. 63
Distribució exponencial
Una v.a. contínua X té distribució exponencial de paràmetre λ, i ho indicarem amb Exp(λ), si la seva funció de densitat és
fX (x) =
0 si x 6 0
λe−λx^ si x > 0
És densitat: ∫ (^) ∞
0
λe−λt^ dt = lim x→∞
[
− e−λt
]x
0
= lim x→∞ −e−λx^ + 1 = 1
Amb R és exp
46 / 60
Distribució exponencial
La distribució exponencial és l’equivalent continu de la distribució geomètrica discreta Si X és una v.a. que mesura el temps entre dues ocurrències d’un determinat esdeveniment, i el temps que pugui trigar l’esdeveniment a passar a partir d’ara és independent del que duguem esperant fins ara, aleshores X és exponencial.
- (^) Temps que tarda una partícula radioactiva a desintegrar-se
- Temps que espera un malalt a la cua del servei d’urgències
47 / 60
Distribució exponencial
Teorema
Si tenim un procés de Poisson de paràmetre λ per unitat de temps, el temps que passa entre dos esdeveniments consecutius és una v.a. Exp(λ)
Sabem que la v.a. Xt que dóna el nombre d’esdeveniments en l’interval de temps ] 0 , t] és Po(λt)
Considerem la v.a. T que dóna el temps transcorregut entre dos esdeveniments consecutius
P(T > t) = P(0 esdeveniments en l’interval ] 0 , t])
= P(Xt = 0 ) =
(λt)^0 0!
e−λt^ = e−λt
Distribució exponencial
Per tant
FT (t) =
0 si t 6 0 P(T 6 t) = 1 − P(T > t) = 1 − e−λt^ si t > 0
Derivant
fT (t) = F (^) T′ (t) =
0 si t 6 0 λe−λt^ si t > 0
És Exp(λ)
Resum de propietats
Sigui X una v.a. Exp(λ).
- Domini: DX =] 0 , ∞[
- Densitat: fX (x) =
0 si x 6 0 λe−λx^ si x > 0
- (^) Distribució: FX (x) =
0 si x 6 0 1 − e−λx^ si x > 0
λ
- (^) Variància: Var (X ) =
λ^2
50 / 60
Propietat de la manca de memòria
Teorema
Si és X una v.a. Exp(λ), aleshores
P(X > s + t|X > s) = P(X > t) per a tots s, t > 0
La probabilitat que, a partir d’un cert moment, calgui més de t perquè passi l’esdeveniment que mira X , no depèn del temps que duguem esperant.
51 / 60
Exemple
Suposem que en un determinat organisme el nombre de cèl.lules que es divideixen en un interval de temps és un procés de Poisson, i que de mitjana es divideix una cèl.lula cada 2 minuts.
Si Xt és el nombre de cèl.lules que es divideixen en t minuts, Xt és Po(λt), amb λ el nombre mitjà de cèl.lules que es divideixen en un minut: λ = 12.
Sigui T el temps entre dues divisions cel.lulars consecutives. Pel que hem vist, T és Exp(^12 ).
Exemple
Acabam d’observar una divisió cel.lular. Quina és la probabilitat que hàgim d’esperar més de 5 minuts fins la propera? Acabam d’observar una divisió cel.lular. Quina és la probabilitat que hàgim d’esperar entre 5 i 10 minuts fins la propera? Quin és el valor esperat i la desviació típica del temps que transcorre entre dues divisions successives?
Aproximació d’una binomial per una
normal
Si X és una v.a. B(n, p) amb n gran i p que no estigui prop de 0 o 1, i Z és una v.a. normal estàndard:
P(X 6 k) ≈ P
Z 6
k + 0. 5 − np √ npq
P(X > k) ≈ P
k − 0. 5 − np √ npq
6 Z
P(a 6 X 6 b) ≈ P
a − 0. 5 − np √ npq
6 Z 6
b + 0. 5 − np √ npq
58 / 60
Exemple
Llençam 100 vegades una moneda amb probabilitat de cara 12. Probabilitat de treure entre 40 i 49 cares?
X =nombre de cares en 100 llançaments d’una moneda X és B( 100 , 0. 5 ) Demanen P( 40 6 X 6 49 )
pbinom(49,100,0.5)-pbinom(39,100,0.5) [1] 0.
59 / 60
Exemple
I si no tenim R? Podem emprar la taula de N( 0 , 1 ):
X ∼ B( 100 , 0. 5 ) ⇒ E (X ) = np = 50 , σX =
npq = 5
Z =
X − 50
∼ N( 0 , 1 )
P( 40 6 X 6 49 )
≈ P
6 Z 6
= P(− 2. 1 6 Z 6 − 0. 1 )
= FZ (− 0. 1 ) − FZ (− 2. 1 )
= 1 − FZ ( 0. 1 ) − 1 + FZ ( 2. 1 )
= FZ ( 2. 1 ) − FZ ( 0. 1 ) = 0. 9821 − 0. 5398 = 0. 4423
60 / 60
