Función Cuadrática Resumen, Resúmenes de Matemáticas

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República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación. E.T.C “Dr. Ambrosio Perera”. Barquisimeto-Estado-Lara. Moisés Suarez # 5to Informática

FUNCIÓN

CUADRÁTICA

INDICE

INTRODUCCIÓN…………………………………………………….pág

DEFINICIÓN………………………………………………………….…

pág 4

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

CUADRÁTICA……………………………………………………………...

.pág 5

RESUMEN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA…………….…..pág

EJEMPLO

1…………………………………………………………………..pág 12

EJEMPLO

2…………………………………………………………………..pág 14

BIBLIOGRÁFIA………………………………………………………………

…pág 16

Definición Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: Donde ( a , b y c ) son números reales cualesquiera y( a ) distinto de cero. **f(x) = ax 2

• bx + c**

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de ( a ) es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. Representación gráfica de una función cuadrática Si pudiésemos representar en una gráfica todos los puntos [a, b (x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan. Estas características o elementos son:  Orientación o concavidad (ramas o brazos)  Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en F(x) = 2x2 − 3x – 5 Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en F(x) = −3x2 + 2x + 3 NOTA: Cuanto mayor sea (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática son los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos: F (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos: ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula: Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:  Que corte al eje X en dos puntos distintos.  Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x).  Que no corte al eje X. Punto de corte en el eje de las ordenadas (Eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Veamos: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola: Vértice Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas:

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría Y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, Según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante).

RESUMEN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Toda función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Dada la función: De la figura, calcularemos su derivada primera: Esta derivada valdrá cero: Cuando: Esto es: Esta función presenta un extremo relativo para

Veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda: Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la función es cóncava, y el extremo relativo que presente para: Es un mínimo. El valor de la derivada segunda de una función de segundo grado es el coeficiente de Por lo que a la vista de la ecuación, podíamos adelantar que sería mínimo sin calcular la derivada segunda. EJEMPLO 2

Para, la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de , es negativo es un máximo. Si realizamos el estudio de signo de la derivada primera, nos da que en pasa de ser positivo a negativo, o sea la función cambia de ser creciente a decreciente, por lo que confirmamos que es un máximo. De otra forma; se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa.

 http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ funcion_cuadratica.html  http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/ indice.htm  http://es.wikipedia.org/wiki/Función_cuadrática BIBLI OGRA FÍA