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3. 6 F u n c i o n e s c u a d r á t i c a s 213
Si , entonces la gráfica de es una parábola con vértice en el origen , un eje vertical, que abre hacia arriba si o hacia abajo si (vea, por ejemplo, las figuras 4 y 5 de la Sección 3.5). En esta sección demostramos que la gráfica de una ecuación de la forma
se puede obtener por desplazamientos vertical y/u horizontal de la gráfica de y por tanto también es una parábola. Una aplicación importan- te de estas ecuaciones es describir la trayectoria o recorrido, de un objeto cerca de la superficie de la Tierra cuando la única fuerza que actúa sobre el objeto es la atracción gravitacional. Para ilustrar, si un “jardinero” de un equipo de beisbol lanza una pelota hacia el cuadro, como se ilustra en la fi- gura 1 y si la resistencia del aire y otras fuerzas externas son insignificantes, entonces la trayectoria de la pelota es una parábola. Si se introducen ejes de coordenadas apropiados, entonces la trayectoria coincide con la gráfica de la ecuación para alguna a , b y c. A la función determinada por esta ecuación se le denomina función cuadrática.
y ax^2 bx c
y ax^2
y ax^2 bx c
a 0
0, 0 a 0
3.6^ a^ ^0^ y^ ^ ax^2
Funciones cuadráticas
Figura 1
Definición de función cuadrática
Una función f es función cuadrática si
donde a, b, y c son números reales con a 0.
f x ax^2 bx c ,
Figura 2 y
x
3,^ t
(2, 2)
(0, 0)^ 1,^ q
y q x^2
Figura 3 y
x
y q x^2 4
Si en la definición precedente, entonces , y la grá- fica es una parábola con vértice en el origen. Si y , entonces
y, de nuestra discusión de desplazamientos verticales de la sección 3.5, la grá- fica es una parábola con vértice en el punto sobre el eje y. El siguiente ejemplo contiene ilustraciones específicas.
E J E M P L O 1 Trazar la gráfica de una función cuadrática Trace la gráfica de f si (a) (b)
S O L U C I Ó N (a) Como f es par, la gráfica de f es decir, de es simétrica con res- pecto al eje y. Es semejante en forma pero más ancha que la parábola , trazada en la figura 5 de la sección 3.5. Varios puntos sobre la gráfica son , , y. Localizando los puntos y usando simetría, obtene- mos el trazo de la figura 2. (b) Para hallar la gráfica de , desplazamos la gráfica de y ^12 x^2 hacia arriba una distancia 4, obteniendo el trazo de la figura 3.
y ^12 x^2 4
3,^ 9 1,^ 2,^ ^2 2 1 2 ^
y x^2
^ y^ ^12 x^2
f x ^12 x^2 f x ^12 x^2 4
0, c
f x ax^2 c ,
b 0 c 0
b c 0 f x ax^2
L
Si y , entonces, al completar el cuadrado, pode- mos cambiar la forma a
para algunos números reales h y k. Esta técnica se ilustra en el ejemplo si- guiente.
E J E M P L O 2 Expresar una función cuadrática como Si , exprese en la forma.
S O L U C I Ó N 1 Antes de completar el cuadrado, es esencial que factorice- mos el coeficiente de de los dos primeros términos de , como sigue: enunciado factorizar 3 de Ahora completamos el cuadrado para la expresión dentro de los pa- réntesis al sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x , es decir, o sea 16. No obstante, si sumamos 16 a la expresión dentro de los paréntesis, entonces, debido al factor 3, estamos en realidad sumando 48 a. Por lo tanto, debemos compensar al restar 48: enunciado complete el cuadrado para ecuación equivalente La última expresión tiene la forma con , , y
S O L U C I Ó N 2 Empezamos por dividir ambos lados entre el coeficiente de. enunciado
divida entre 3
ecuación equivalente
multiplique por 3 L
Si , entonces, al completar el cuadrado como en el ejemplo 2, vemos que la gráfica de f es la misma que la gráfica de una ecua- ción de la forma
La gráfica de esta ecuación se puede obtener de la gráfica de que se ve en la figura 4(a) por medio de un desplazamiento horizontal y uno vertical, como sigue. Primero, como en la figura 4(b), obtenemos la gráfica de y a x h ^2
y ax^2
y a x h ^2 k.
f x ax^2 bx c
f x 3 x 4 ^2 2
x 4 ^2
x^2 8 x 16
f x 3
x^2 8 x
f x 3 x^2 24 x 50
x^2
a x h ^2 k a 3 h 4 k 2
3 x 4 ^2 2
3 x^2 8 x 16 50 48 x^2 8 x
f x 3 x^2 8 x 50
f x
^82 ^2
x^2 8 x
3 x^2 8 x 50 3 x^2 24 x
f x 3 x^2 24 x 50
x^2 f x
f x 3 x^2 24 x 50 f x a x h ^2 k
f x a x h ^2 k
f x a x h ^2 k
f x ax^2 bx c b 0
214 C A P Í T U L O 3 F U N C I O N E S Y G R Á F I C A S
sume y reste 16, el número que
completa el cuadrado para x^2 8 x
2 16 l
S O L U C I Ó N enunciado factorice 2 de complete el cuadrado para ecuación equivalente La última ecuación tiene la forma de la ecuación estándar de una parábola con , , y En consecuencia, el vértice de la parábola es
. Como , la parábola abre hacia arriba. Para hallar el cruce con el eje y de la gráfica de , hace- mos y obtenemos. Para hallar los cruces con el eje x , hacemos y resolvemos la ecuación o la ecuación equivalente , obteniendo y. Localizar el vértice y usar los puntos de cruce con los ejes x y y dará suficientes puntos para un trazo de forma razonablemente precisa (vea la figura 5). L
E J E M P L O 4 Hallar una ecuación estándar de una parábola Exprese como ecuación estándar de una parábola con eje vertical. Encuentre el vértice y trace la gráfica. S O L U C I Ó N enunciado factorice de complete el cuadrado para ecuación equivalente Ésta es la ecuación estándar de una parábola con , , y por tanto el vértice es. Como , la parábola abre hacia abajo. El punto de cruce con el eje y de la gráfica de es el término constante, 8. Para hallar los cruces con el eje x , resolvemos o bien, lo que es equivalente,. La facto- rización nos da y por tanto los puntos de cruce son y. Usando esta información nos da el trazo de la figura 6. L
Si una parábola tiene cruces x 1 y x 2 con el eje x , como se ilustra en la figura 7 para el caso , entonces el eje de la parábola es la recta vertical que pasa por el punto medio de y. Por tanto, la coordenada h sobre el eje x del vértice es. Algunos casos especiales se ilustran en las figuras 5 y 6. En el siguiente ejemplo encontramos la ecuación de una parábola a partir de los datos dados.
E J E M P L O 5 Hallar la ecuación de una parábola con un vértice dado Encuentre la ecuación de una parábola que tiene vértice y un eje verti- cal y pasa por el punto 5, 1.
V 2, 3
h , k h x 1 x 2 2
x x 1 x 2 2 x 1 , 0 x 2, 0
a 0
y ax^2 bx c
x 4 x 2
x 4 x 2 0
x^2 2 x 8 0 x^2 2 x 8 0
y x^2 2 x 8
1, 9 a 1 0
h 1 k 9
x 1 ^2 9
x^2 2 x 1 8 1 x^2 2 x
x^2 2 x 8 1 x^2 2 x
y x^2 2 x 8
y x^2 2 x 8
2 x 1 x 2 0 x 1 x 2
y 0 2 x^2 6 x 4 0
x 0 y 4
y 2 x^2 6 x 4
V ^32 , ^12 a 2 0
a 2 h 32 k ^12. V h , k
2 x 32 ^2 (^12)
2 x^2 3 x 94 4 92 x^2 3 x
2 x^2 3 x 4 2 x^2 6 x
y 2 x^2 6 x 4
216 C A P Í T U L O 3 F U N C I O N E S Y G R Á F I C A S
Figura 5
y
x
y 2 x^2 6 x 4
(0, 4)
w,^ q
(2, 0) (1, 0)
Figura 6
y
x
y x^2 2 x 8
(0, 8)
(1, 9)
(4, 0) (2, 0)
Figura 7
y
x
( x 1 , 0) ( x 2 , 0)
V ( h, k )
y ax^2 bx c
h x 1 x 2 2
S O L U C I Ó N La figura 8 muestra el vértice V , el punto , y una posible posición de la parábola. Usando la ecuación estándar
con y tendremos
Para hallar a , usamos el hecho de que está en la parábola y por tanto es una solución de la última ecuación. Así,
En consecuencia, la ecuación para la parábola es
L
El siguiente teorema nos da una fórmula sencilla para localizar el vértice de una parábola.
y 92 x 2 ^2 3.
1 a 5 2 ^2 3, o a ^29.
y a x 2 ^2 3.
h 2 k 3
y a x h ^2 k
3. 6 F u n c i o n e s c u a d r á t i c a s 217
Figura 8 y
x
(5, 1)
V (2, 3)
Teorema para localizar el vértice de una parábola
El vértice de la parábola tiene coordenada x
b 2 a
y ax^2 bx c
P R U E B A Empecemos por escribir como
Ahora completamos el cuadrado al sumar a la expresión dentro de los paréntesis:
Nótese que si se suma dentro del paréntesis, entonces, debido al fac- tor a del exterior , en realidad hemos sumado a y. Por tanto, debemos compensar al restar. La última ecuación se puede escribir como
Ésta es la ecuación de una parábola que tiene vértice con
y k c b^2 4 a . L
h , k h b 2 a
y a x
b
2 a
2
c
b^2
4 a
b^2 4 a
b^2 4 a
b^2 4 a^2
y a x^2
b a
x
b^2
4 a^2
c
b^2
4 a
b
a
2
y a x^2
b a
x c.
y ax^2 bx c
3. 6 F u n c i o n e s c u a d r á t i c a s 219
TI-83/4 Plus TI-
Use la tecla izquierda del cursor para mover el cursor intermitente a la izquierda del vértice y presione.
Ahora mueva el cursor a la derecha del vértice y presione.
Como ensayo, ponga el cursor entre los límites izquierdo y derecho y presione.
Nota de calculadora: Alternativamente, podemos introducir valores de x para nuestras res- puestas. Las siguientes respuestas producen un máximo de 5 en
¿A la izquierda? ¿A la derecha? ¿Ensayo?
La calculadora indica que el vértice es alrededor de (3, 5). (Se pueden obtener resultados diferentes dependiendo de las posiciones del cursor.)
3 ENTER
2 ENTER
4 ENTER
x 3.
ENTER
ENTER
ENTER
Encuentre un valor 2nd CALC^4 GRAPH MORE MATH(F1) FMAX(F5) máximo.
(continúa)
E J E M P L O 8 Hallar el valor máximo de una función cuadrática Una larga hoja rectangular metálica, de 12 pulgadas de ancho, se ha de con- vertir en canal al doblar hacia arriba cada uno de los lados, de modo que sean perpendiculares a la hoja. ¿Cuántas pulgadas deben ser hacia arriba las que den al canal su mayor capacidad?
S O L U C I Ó N El canal se ilustra en la figura 9. Si x denota el número de pul- gadas hacia arriba en cada lado, el ancho de la base del canal es pulga- das. La capacidad será máxima cuando el área de sección transversal del rec- tángulo con lados de longitudes x y tiene su valor máximo. Si con denotamos esta área, tenemos
que tiene la forma f x ax^2 bx c con a 2 , b 12 , y c 0. Como
2 x^2 12 x ,
12 x 2 x^2
f x x 12 2 x
f x
12 2 x
12 2 x
220 C A P Í T U L O 3 F U N C I O N E S Y G R Á F I C A S
Podemos hallar un valor máximo desde la pantalla inicial como sigue. (Suponga que hemos visto la gráfica y estimado que la coordenada x del vértice se encuentra entre y .) Primero encontramos el valor x del vértice.
3.5 2.5 1 3. 2. A continuación encontramos el valor y del vértice usando el resultado de fMax (está guardado en ANS). 1
Nótense los resultados “extraños” dados por fMax. (El profesor no se impresiona mucho si el alumno dice que el vértice es .) En este caso una calculadora es útil, pero es fácil calcular que
y
que nos da un vértice de 3, 5(y una respuesta que agradará al profesor). (^) L
f 3 5,
b 2 a
( 2nd ANS ) ENTER ( 2nd ANS ) ENTER
VARS ^11 2nd alpha Y
, ) ENTER
X,T, , n , , ) ENTER alpha Y , x-VAR ,
MATH^7 VARS ^11 , 2nd CALC MORE fMax(F2) 2nd
Use el operador de máxima función.
Figura 9
12 2 x
x
x
Nota de calculadora: Una vez que determinemos los valores Xmín y Xmáx, podemos usar la función ZoomFit (acercamiento) para graficar una función sobre el intervalo [Xmín, Xmáx]. En este ejemplo, asignamos 0 a Xmín y 51 a Xmáx y luego seleccionamos ZoomFit bajo el menú ZOOM. (b) Deseamos estimar dónde la gráfica de h cruza la recta horizontal , de modo que hacemos las asignaciones
y obtenemos una pantalla semejante a la figura 10. Es importante recordar que la gráfica de Y 1 muestra sólo la altura en el tiempo t —no es la trayectoria del proyectil, que es vertical. Usando una función de intersección, encontramos que el valor más pequeño de t para el que h ( t ) 5000 es alrededor de 6.3 se- gundos. Como el vértice está sobre el eje de la parábola, el otro tiempo en el que h ( t ) es 5000 es aproximadamente 25.1 6.3, o sea 18.8, segundos después de t 25.1 —es decir, en segundos. (c) El proyectil está a más de 5000 pies sobre el suelo cuando la gráfica de la parábola de la figura 10 está arriba de la recta horizontal, es decir, cuando
(d) El proyectil estará en vuelo hasta. Esto corresponde al punto de cruce en el eje x en la figura 10. Usando una función de raíz o cero, obtene- mos segundos. (Nótese que como el punto de cruce con el eje y no es cero, es incorrecto simplemente duplicar el valor de t del vértice para hallar el tiempo total del vuelo; no obstante, esto sería aceptable para problemas con .) L
Al trabajar con funciones cuadráticas, con frecuencia estamos más intere- sados en hallar el vértice y los puntos de cruce con el eje x. Típicamente, una función cuadrática determinada se asemeja con mucho a una de las tres formas que se indican en la tabla siguiente.
Si los radicandos en (1) o (3) son negativos, entonces no hay puntos de in- tersección con el eje x. Para hallar éstos con la forma (1), use la ecuación cua- drática especial que aparece en la página 82. Si el lector tiene una función
h 0 0
t 50.
h t 0
6.3 t 43.9.
t 25.1 18.8 43.
Y 1 16 x^2 803 x 600 y Y 2 5000
h t 5000
222 C A P Í T U L O 3 F U N C I O N E S Y G R Á F I C A S
Figura 10 [0, 60, 5] por [0, 11,000, 1000]
Relación entre formas de función cuadrática y sus vértices y puntos de cruce con el eje x
Forma Vértice ( h , k ) Puntos de intersección con el eje x (si los hay) (1) h y k como en la forma (vea abajo)
(2)
(3) x^ ^ (vea abajo)
b 2 a
2 b^2 4 ac 2 a
h k f h
b 2 a
y f x ax^2 bx c ,
h k f h x x 1, x 2
x 1 x 2 2
y f x a x x 1 x x 2 ,
y f x a x h ^2 k x h 2 k a
Ejer. 1-4: Encuentre la ecuación estándar de cualquier pa- rábola que tenga vértice V****.
1 2
3 4
Ejer. 5-12: Exprese f ( x ) en la forma
5 6
7 8
9
10
11 12
Ejer. 13-22: (a) Use la fórmula cuadrática para hallar los ceros de f****. (b) Encuentre el valor máximo o mínimo de f ( x ). (c) Trace la gráfica de f****.
13 14
15
16
17 18
19 20
21
22 f x 2 x^2 4 x 11
f x 2 x^2 20 x 43
f x x^2 4 x 9 f x 3 x^2 6 x 6
f x 9 x^2 24 x 16 f x 4 x^2 4 x 1
f x 6 x^2 7 x 24
f x 12 x^2 11 x 15
f x x^2 4 x f x x^2 6 x
f x 43 x 6 ^2 7 f x 25 x 3 ^2 1
f x ^34 x^2 9 x 34 f x 25 x^2 125 x (^235)
f x 4 x^2 16 x 13 f x 4 x 2 ^2 3
f x 3 x^2 6 x 5 f x 3 x 1 ^2 2
f x 2 x 3 ^2 4 f x 5 x 2 ^2 3
f x 2 x^2 12 x 22 f x 5 x^2 20 x 17
f x x 2 ^2 4 f x x 3 ^2 2
f x x^2 4 x 8 f x x^2 6 x 11
a ( x h )^2 k
y ax^2 3 y a x 2 ^2
V 0, 3 V 2, 0
y a x 3 ^2 1 y a x 4 ^2 2
V 3, 1 V 4, 2
Ejer. 23-26: Encuentre la ecuación estándar de la parábola que se muestra en la figura. 23
24
y x 2 ^2 4
y
x
V (2, 4)
y 18 x 4 ^2 1
y
x
(0, 1)
V (4, 1)
3. 6 F u n c i o n e s c u a d r á t i c a s 223
cuadrática de la forma (3) y desea hallar el vértice y puntos de cruce con el eje x , puede ser mejor primero hallar los puntos de intersección con el eje x con el uso de la fórmula cuadrática. A continuación puede fácilmente obtener la co- ordenada x del vértice, h , porque
Desde luego, si la función de la forma (3) es fácilmente factorizable, no es ne- cesario usar la fórmula cuadrática. Estudiaremos parábolas más adelante en un capítulo posterior.
b 2 a
2 b^2 4 ac 2 a
h
2 b^2 4 ac 2 a
3.6 E j e r c i c i o s
36
Ejer. 37-38: Existe ozono en todos los niveles de la atmósfera terrestre. La densidad del ozono varía en forma estacional y de latitud. En Edmonton, Canadá, la densidad D ( h ) del ozono (en 10 ^3 cm/km) para altitudes h entre 20 kilómetros y 35 kilómetros se determinó experimentalmente. Para cada D ( h ) y estación, aproxime la altitud a la que la densidad del ozono es máxima.
37 (otoño)
38 (primavera)
39 Rapidez de crecimiento infantil La rapidez de crecimiento y (en libras por mes) de un infante está relacionada con el peso actual x (en libras) por la fórmula , donde c es una constante positiva y. ¿A qué peso se presenta la máxima rapidez de crecimiento?
40 Rendimiento de gasolina El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v mi/h, está dado por para
(a) Encuentre la velocidad más económica para un viaje.
(b) Encuentre el máximo valor de M.
41 Altura de un proyectil Un objeto se proyecta verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio, con una velocidad inicial de 144 ft/s. Su distancia s ( t ) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por la ecuación s t 16 t^2 144 t 100.
M 301 v^2 52 v 0 v 70.
0 x 21
y cx 21 x
D h 0.078 h^2 3.811 h 32.
D h 0.058 h^2 2.867 h 24.
x
f ( x ) 2 x^2 8 x 4
d f ( x ) x 3
f ( x ) (a)^ Encuentre su máxima distancia sobre el suelo. (b) Encuentre la altura del edificio.
42 Vuelo de un proyectil Un objeto es proyectado vertical- mente hacia arriba con una velocidad inicial de v 0 pies/s y su distancia s ( t ) en pies sobre el suelo después de t segun- dos está dada por la fórmula.
(a) Si el objeto choca contra el suelo después de 12 segun- dos, encuentre su velocidad inicial v 0.
(b) Encuentre su distancia máxima sobre el suelo.
43 Encuentre dos números reales positivos cuya suma sea 40 y cuyo producto sea un máximo.
44 Encuentre dos números reales positivos cuya diferencia sea 40 y cuyo producto sea un mínimo.
45 Construcción de jaulas Mil pies de cerca de celosía se van a usar para construir seis jaulas para animales, como se ve en la figura.
(a) Exprese el ancho y como función de la longitud x.
(b) Exprese el área encerrada total A de las jaulas como función de x.
(c) Encuentre las dimensiones que maximizan el área en- cerrada. Ejercicio 45
46 Instalación de una cerca en un campo Un agricultor desea poner una cerca alrededor de un campo rectangular y luego dividir el campo en tres terrenos rectangulares al poner dos cercas paralelas a uno de los lados. Si el agricultor puede comprar sólo 1000 yardas de cerca, ¿qué dimensiones darán el máximo de área rectangular?
47 Animales saltarines Los vuelos de animales saltarines típi- camente tienen trayectorias parabólicas. La figura de la pá- gina siguiente ilustra el salto de una rana sobrepuesto en un plano de coordenadas. La longitud del salto es de 9 pies y la máxima altura desde el suelo es 3 pies. Encuentre una ecua- ción estándar para la trayectoria de la rana.
x
y
s t 16 t^2 v 0 t
3. 6 F u n c i o n e s c u a d r á t i c a s 225
Ejercicio 47
48 La bala de cañón humana En la década de 1940, la exhibi- ción de la bala de cañón humana fue ejecutada regularmente por Emmanuel Zacchini para el circo Ringling Brothers and Barnum & Bailey. La punta del cañón se elevaba 15 pies del suelo y la distancia horizontal total recorrida era de 175 pies. Cuando el cañón se apuntaba a un ángulo de 45°, una ecuación del vuelo parabólico (vea la figura) tenía la forma
(a) Use la información dada para hallar una ecuación del vuelo.
(b) Encuentre la altura máxima alcanzada por la bala de cañón humana.
Ejercicio 48
49 Forma de un puente colgante Una sección de un puente colgante tiene su peso uniformemente distribuido entre to- rres gemelas que están a 400 pies entre sí y se elevan 90 pies sobre la calzada horizontal (vea la figura). Un cable tendido entre los remates de las torres tiene la forma de una parábola
y
175 x
y ax^2 x c.
y
9 x
3
Trayectoria de la rana
y su punto central está 10 pies sobre la calzada. Suponga que se introducen ejes de coordenadas, como se ve en la fi- gura.
Ejercicio 49
(a) Encuentre una ecuación para la parábola.
(b) Nueve cables verticales igualmente espaciados se usan para sostener el puente (vea la figura). Encuentre la lon- gitud total de estos soportes.
50 Diseño de una carretera Unos ingenieros de tránsito están diseñando un tramo de carretera que conectará una calzada horizontal con una que tiene una pendiente del 20% es decir, pendiente , como se ilustra en la figura. La transi- ción suave debe tener lugar sobre una distancia horizontal de 800 pies, con una pieza parabólica de carretera empleada para conectar los puntos A y B. Si la ecuación del segmento parabólico es de la forma , se puede de- mostrar que la pendiente de la recta tangente en el punto P ( x , y ) sobre la parábola está dada por.
(a) Encuentre una ecuación de la parábola que tiene una recta tangente de pendiente 0 en A y en B.
(b) Encuentre las coordenadas de B.
Ejercicio 50
m (^0) A
B
800
m Q
y
x
1 5
m 2 ax b
y ax^2 bx c
1 5 ^
y
x
90
400
226 C A P Í T U L O 3 F U N C I O N E S Y G R Á F I C A S
45 (a) (b)
(c) pies por 125 pies
47
49 (a) (b) 282 pies 51 2 pies
53 500 pares 55 (a) (b) $
57 , ,
por
59 Resultan valores más pequeños de a en una parábola más ancha; mayores valores de a resultan en una parábola más angosta.
por 61 (b)
por (c) 2.3 pulg.
63 (a)
(b)
por
65 (a)
(b)
por (c)
por El valor de k afecta la altura y la distancia recorrida en un factor de.
EJERCICIOS 3. 1 (a) 15 (b) 3 (c) 54 (d)
3 (a) ; ; ;
(b) (c) Todos los números reales excepto 5 (a) ; 0; ; 1 (b) (c) 7 (a) ; ; ; 2 x 5 x 4
2 x^2 x 4 x 5
x^2 14 x x 4 x 5
3 x^2 6 x x 4 x 5
22 x 5 x 5 5, 5,
1 2 22
x^2 2 2 x^2 1
3 x^2 13 x^22 x^4 3 x^2 2
2 3
1 k
0, 600, 50 0, 400, 50
0, 180, 50 0, 120, 50
f x 4 225
x^2 8 3
x
800, 800, 100 100, 200, 100
4 25
x 80 si 500 x 800
1 6250
f x x^2 40 si 500 x 500
4 25
x 80 si 800 x 500
0, 13 0, 8
f x 0.17 x 7 ^2 0.
8, 4 1, 7
3, 3 2, 2
0.81, 0.41
0.02, 0.27
0.57, 0.64
R
x
100,
300,
500,
10 30 50 70 90
(45, 405,000)
R x 200 x 90 x
y 1 500 x^2 10
y 4 27
x 9 2
2 3
166 2 3
A x x 250 3 4
y x 250 x 3 4
x
R E S P U E S T A S A E J E R C I C I O S S E L E C C I O N A D O S A
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
