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Grado en Qu´ımica Bloque 1 Funciones de una variable
Secci´on 1.2: Funciones elementales. Representaci´on gr´afica.
Definici´on 1. Una funci´on f : A → B es una ley o regla que asocia a cada elemento x de un conjunto A un solo elemento y del conjunto B. Escribimos y = f (x).
- x se llama variable independiente.
- y se llama variable dependiente.
- A es el dominio de definici´on de f.
- El conjunto f (B) de los valores que toma y es llama rango o recorrido de f.
Si f : A ⊂ R → R est´a definida entre n´umeros reales su gr´afica es el conjunto (x, f (x)) de puntos del plano cuando x recorre el conjunto A.
Funciones lineales: y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen.
Funciones polin´omicas: Una funci´on polin´omica es una funci´on de la forma
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn,
donde n es un n´umero entero no negativo, a 0 , a 1 , a 2 ,... , an son n´umeros reales (an 6 = 0). El mayor dominio posible es R.
Funciones racionales: Una funci´on racional es el cociente de dos funciones polin´omicas p(x) y q(x), es de- cir, f (x) = p(x)/q(x). Como no se puede dividir entre 0, para hallar el dominio de f (x) hay que excluir los valores en los que q(x) = 0. Un ejemplo de funci´on racional es f (x) = 1/x (x 6 = 0) cuya representaci´on gr´afica, que se muestra a la derecha, es una hiperbola equil´atera.
Tipos b´asicos de transformaciones de y = f (x) (c > 0 ). y = f (x − c) : traslaci´on horizontal a la derecha c unidades. y = f (x + c) : traslaci´on horizontal a la izquierda c unidades. y = f (x) + c : traslaci´on vertical hacia arriba c unidades. y = f (x) − c : traslaci´on vertical hacia abajo c unidades. y = −f (x) : reflexi´on respecto al eje OX. y = f (−x) : reflexi´on respecto al eje OY. y = −f (−x) : reflexi´on respecto al origen.
Composici´on de funciones: Dadas dos funciones f y g con Rec(g) ⊂ Dom(f ), la funci´on compuesta de f y g se define como f ◦ g(x) = f (g(x)).
Ejemplo: Si f (x) = 3x − 1 y g(x) = (^) x−^23 , se tiene
f ◦ g(x) = f (g(x)) = 3g(x) − 1 = 3
x − 3
x − 3
9 − x x − 3
y su dominio de definici´on es R \ { 3 }. Por otro lado
g ◦ f (x) =
f (x) − 3
(3x − 1) − 3
3 x − 4
y su dominio de definici´on es R \ { 4 / 3 }.
Funci´on inversa: La inversa de una funci´on f es otra funci´on f −^1 que satisface a) f (f −^1 )(x) = x para todo x en el Dom (f −^1 ) y b) f −^1 (f (x)) = x para todo x en el Dom (f )
La gr´afica de una funci´on f y la de su funci´on inversa f −^1 son sim´etricas respecto a la recta x = y. No todas la funciones tienen inversa: para que una funci´on tenga inversa en un intervalo debe satisfacer el test de la recta horizontal (cualquier recta horizontal corta a la gr´afica de la funci´on f como mucho en un solo punto). Se dice entonces que f es inyectiva en el intervalo.
Se tiene: Dom (f −^1 ) = Rec (f ) y Rec (f −^1 ) = Dom (f ).
Ejemplo: La funci´on f (x) = x
(^2) + 2 es inyectiva en el intervalo [0, ∞) y su recorrido es [3/ 2 , ∞). Su funci´on inversa es y = f −^1 (x) ⇔ f (y) = x. Por tanto,
y^2 + 3 2
= x ⇒ y^2 = 2x − 3 ⇒ y =
2 x − 3.
Se ha elegido la ra´ız positiva porque Rec(f −^1 ) = Dom(f ) = [0, ∞) es de n´umeros positivos. Adem´as Dom(f −^1 ) = Rec (f ) = [3/ 2 , ∞).
Funciones exponenciales: Una funci´on expo- nencial es de la forma y = f (x) = karx, donde a es un n´umero real positivo (a 6 = 1), k y r son constantes y k > 0. Su dominio es (−∞, ∞) y su recorrido (0, ∞). Una base muy usada para la funci´on exponencial es el n´umero e ≈ 2 ′ 718281 .....
Propiedades de las potencias:
axay^ = ax+y^ ,
ax ay^
= ax−y^ ,
ax^
= a−x^ , (ax)y^ = axy^.
F´ormulas trigonom´etricas.
1 ) cos^2 x + sen^2 x = 1 2 ) sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y 3 ) cos (x + y) = cos x cos y − sen x sen y
4 ) tan(x + y) =
tan x + tan y 1 − tan x tan y
F´ormulas del ´angulo doble:
5 ) cos(2x) = cos^2 x − sen^2 x 6 ) sen (2x) = 2 sen x cos x
F´ormulas del ´angulo mitad:
7 ) cos^2 (x/2) =
1 + cos x 2
8 ) sen^2 (x/2) =
1 − cos x 2
Funciones hiperb´olicas. Las funciones hiperb´olicas son:
cosh x =
ex^ + e−x 2
, senh x =
ex^ − e−x 2
, tanh x =
senhx cosh x
sech x =
cosh x
, cosech x =
senh x
, x 6 = 0 , cotanh x =
cosh x senh x
, x 6 = 0.
F´ormulas con funciones hiperb´olicas.
1 ) cosh^2 x − senh^2 x = 1 2 ) cosh 2x = cosh^2 x + senh^2 x 3 ) senh 2x = 2 (senh x)(cosh x)
4 ) cosh^2 (x/2) =
1 + cosh x 2
5 ) senh^2 (x/2) =
−1 + cosh x 2
Algunas funciones hiperb´olicas inversas.
Arco coseno hiperb´olico: y = cosh x es inyectiva en [0, ∞) y su recorrido es [1, ∞). Su funci´on inversa,
y = arccosh x = ln(x +
x^2 − 1)
tiene como dominio de definici´on [1, ∞) y como recorrido [0, ∞).
Arco seno hiperb´olico: y = senh x es inyectiva en (−∞, ∞) y su recorrido es (−∞, ∞). Su funci´on inversa,
y = arcsenh x = ln(x +
x^2 + 1)
tiene como dominio de definici´on (−∞, ∞) y como recorrido (−∞, ∞).
Arco tangente hiperb´olica: y = tanh x es inyectiva en (−∞, ∞) y su recorrido es (− 1 , 1). Su funci´on inversa,
y = arctanh x =
ln
1 + x 1 − x
tiene como dominio de definici´on (− 1 , 1) y como recorrido (−∞, ∞).
