Funciones de una variable, Apuntes de Matemáticas

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Instrumentos Matemáticos para la Empresa

Grado: Administración y Dirección de Empresas

Universidad Autónoma de Madrid

Susana López González [email protected]

2 Prof. Susana

• I Funciones de una variable.
• 1 Definición y clasificación de funciones reales de una variable real
  • 1.1 Dominio e Imagen de una función
  • 1.2 Tipos de funciones
    • 1.2.1 Funciones polinómicas
    • 1.2.2 Funciones racionales
    • 1.2.3 Funciones exponenciales
    • 1.2.4 Funciones logarítmicas
    • 1.2.5 Composición de funciones
    • 1.2.6 Funciones definidas por secciones
  • 1.3 Algunas funciones utilizadas en Economía y Empresa
• 2 Características de una función
  • 2.1 Crecimiento y Decrecimiento de una función
  • 2.2 Concavidad y Convexidad
  • 2.3 Función Acotada
  • 2.4 Transformaciones básicas de funciones
    • 2.4.1 Traslaciones.
    • 2.4.2 Simetrías
    • 2.4.3 Dilataciones y contracciones
• 3 Límite de una función
  • 3.1 Definición de límite
  • 3.2 Propiedades de los límites
  • 3.3 Cálculo de límites
• 4 Continuidad de una función
  • 4.1 Definición de función continua
    • 4.1.1 Continuidad Lateral.
    • 4.1.2 Continuidad en un intervalo.
  • 4.2 Propiedades de las funciones continuas
  • 4.3 Asíntotas de una función
• 5 Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables 4 Prof. Susana
  • 5.1 Definición de derivada de una función en un punto.
  • 5.2 Tasas de variación y su significado económico
  • 5.3 Reglas de derivación
• 6 Aplicaciones de la derivada
  • 6.1 Función creciente y decreciente
  • 6.2 Concavidad y convexidad
  • 6.3 Puntos críticos
  • 6.4 Cálculo de puntos críticos de una función
• 7 Teorema del Valor Medio
• II Cálculo Integral
• 8 Cálculo de primitivas
  • 8.1 Conceptos preliminares
  • 8.2 Integrales inmediatas y métodos de integración
  • 8.3 Métodos de Integración
    • 8.3.1 Cambio de variable
    • 8.3.2 Integración por partes
    • 8.3.3 Integración de funciones racionales
• 9 La integral definida
  • 9.1 La integral de Riemann
  • 9.2 Propiedades de las integrales definidas
  • 9.3 Teorema fundamental del cálculo integral
  • 9.4 Función Integral
  • 9.5 Interpretaciones y aplicaciones de la integral
• 10 Integrales Impropias
  • 10.1 Integrales Impropias con límites de integración infinitos
  • 10.2 Integrales impropias con discontinuidades infinitas
  • 10.3 Integrales paramétricas
    • 10.3.1 Función Gamma Γ (n).
    • 10.3.2 Función Beta β (p, q)
• III Matemáticas Financieras
• 11 Capitales Financieros
  • 11.1 Leyes de capitalización y descuento.
  • 11.2 Capitalización Simple
  • 11.3 Capitalización Compuesta
• Prof. Susana López
  • 11.4 Descuento racional o matemático
  • 11.5 Descuento comercial o simple
  • 11.6 Descuento compuesto
  • 11.7 Capitalización fraccionada
  • 11.8 Tasas Equivalentes
    • 11.8.1 Tasa Anual Equivalente o Tanto Anual Efectivo
  • 11.9 Capitalización continua o intantánea
  • 11.10La inflación
• 12 Series Aritmética y Geométrica
  • 12.1 Progresión Aritmética
  • 12.2 Serie Aritmética
  • 12.3 Progresión Geométrica
  • 12.4 Serie Geométrica
• 13 Rentas Financieras
  • 13.1 Elementos
  • 13.2 Valor financiero de una renta en el momento t (Vt)
  • 13.3 Clases
    • 13.3.1 Según la cuantía de los términos
    • 13.3.2 Según el número de términos
    • 13.3.3 Según el vencimiento del término
    • 13.3.4 Según el momento de valoración
    • 13.3.5 Según la periodicidad del vencimiento
    • 13.3.6 Según la ley financiera
  • 13.4 Valoración de Rentas
    • 13.4.1 Renta Postpagable
    • 13.4.2 Rentas Prepagables
    • 13.4.3 Rentas Perpetuas
    • 13.4.4 Rentas Diferidas
    • 13.4.5 Rentas Anticipadas
    • 13.4.6 Rentas Fraccionadas
• 14 Valoración de Inversiones
  • 14.1 El Valor Actual Neto: VAN
  • 14.2 La Tasa Interna de Rendimiento: TIR

Parte I

Funciones de una variable.

Por lo general, consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales, R, pero estos conjuntos pueden estar formados por elementos muy diferentes, como por ejemplo números enteros, Z, o naturales, N, matrices, polinomios... Al subconjunto de A formado por aquellos elementos para los cuales existe una imagen se le denomina dominio de la función, Dom (f ).

Definición 2 Dada una función f : R → R definimos el dominio de la función como

Dom (f) = {x ∈ R para el cual existe un y ∈ R tal que y = f (x)}

El número f (x) es el valor que toma la función f en el elemento x.

Definición 3 La imagen o rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x), conforme x varía en el dominio Dom (f ).

Img (f ) = Rang (f ) = {y ∈ R para el cual existe un x ∈ Dom (f ) tal que y = f (x)}

Si f es una función, se designa a veces por y el valor de f en x :

y = f (x)

En esta situación a x se le denomina variable independiente, o argumento de f, y a y se le denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de x. Si se define una función por medio de una fórmula algebráica, adoptamos el convenio de que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes x para los cuales la fórmula tiene sentido (a menos que se mencione explícitamente otro). Toda función dada por una ecuación de la forma y = f (x) tiene una representación gráfica. La gráfica de f consta de todos los puntos (x, y) en el plano de coordenadas, tales que y = f (x) y x está en el dominio de f.

Gráfica de f = {(x, f (x)) | x ∈ Dom (f)}

Ejemplo 1 Dada las gráficas de las siguientes funciones definir su dominio y rango o imagen:

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

6

x

y

f (x) = 2x − 1

Dom (f) =

Img (f) =

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

x

y

f (x) =

16 − x^2

Dom (f ) =

Img (f ) =

-4 -2 2 4

1

2

3

x

y

f (x) = (^) x (^21) − 2

Dom (f ) =

Img (f ) =

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2

x

y

f (x) = ln x

Dom (f ) =

Img (f ) =

una unidad.

P (x + 1) − P (x) = a (x + 1) + b − (ax + b) = ax + a + b − ax − b = a

mientras que b representa el corte de la recta de ecuación y = ax + b con el eje Y.

x

y

pendiente positiva a > 0

x

y

pendiente negativa a < 0

x

y

pendiente nula a = 0

Cuando consideramos una función lineal, la razón de cambio o tasa de variación de la función cuando x aumenta h unidades es un múltiplo de la pendiente de la recta a:

P (x + h) − P (x) = a (x + h) + b − (ax + b) = ax + ah + b − ax − b = ah

Distintos modos de calcular la ecuación de una recta

1. Sabemos que por dos puntos distintos pasa una única línea recta. Supongamos que conocemos dos puntos P = (xp, yp) y Q = (xq, yq) y queremos saber la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. La ecuación de la recta sabemos que será de la forma:

y = ax + b

De manera que si esos dos puntos pasan por la recta deberán satisfacer la ecuación anterior:

yp = axp + b (1.1) yq = axq + b

Si restamos las dos ecuaciones obtenemos:

yp − yq = a (xp − xq)

Despejando a tenemos: a =

yp − yq xp − xq Ahora que conocemos el valor de a podemos despejar b de cualquiera de las ecuaciones de (1.1) b = yp − axp = yp −

yp − yq xp − xq

xp

Ejemplo 2 Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (3, 5) y Q = (2, 3).

2. Supongamos a continuación que sabemos cual es la pendiente de la recta, a, y un punto que pasa por ella P = (xp, yp) de modo que sólo nos falta por conocer b, pero sabemos que P pertenece a la recta, por tanto satisface:

yp = axp + b

de aquí podemos despejar b : b = yp − axp de manera que la ecuación de la recta es: y = ax + (yp − axp)

Ejemplo 3 Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (3, 5) y tiene de pendi- ente a = 3.

Funciones cuadráticas: polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado es de la forma

P (x) = ax^2 + bx + c

y se llama función cuadrática. La gráfica de este tipo de funciones es una parábola.

-1 1 2 3

1

2

3

x

y

y = x^2 − 3 x + 2

Recordad la fórmula para calcular las raíces de una ecuación de segundo grado del tipo

ax^2 + bx + c = 0

x =

−b ±

b^2 − 4 ac 2 a La solución de la ecuación anterior nos indica los puntos de corte de la parábola con el eje OX. En el caso de la gráfica mostrada podemos ver que los puntos de corte con el eje 0 X son x = 1 y x = 2.

^ Si^ a >^0 entonces la función cuadrática^ P^ (x) =^ ax^2 +^ bx^ +^ c^ tendrá un^ mínimo^ en el punto − 2 ba , P

− 2 ba

y si a < 0 entonces tendrá un máximo en dicho punto al que se denomina vértice de la parábola.

x

y

a > 0

x

y

a < 0

El dominio de cualquier función cuadrática es siempre toda la recta real, sin embargo la imagen nunca es toda la recta real. Sea f (x) = ax^2 +bx+c una función cuadrática, V = (vx, vy ) son las coordenadas del vértice de la parábola entonces:

Im f =

(−∞, vy ] si a < 0 [vy, ∞) si a > 0

Polinomios de grado superior.

Función polinómica de grado n :

P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0

Importante: el dominio de cualquier función polinómica es siempre toda la recta real. En el caso de la imagen, todo polinomio de grado impar tiene como imagen toda la recta real, si se trata de un polinomio de grado par, f (x) = a 2 nx^2 n^ + ... + a 1 x + a 0 , tendrá un máximo si a 2 n < 0 , en ese caso Im f = (−∞, fmax] donde fmax denota el valor máximo que alcanza la función, mientras que la función polinómica f (x) = a 2 nx^2 n^ + ... + a 1 x + a 0 , tendrá un mínimo si a 2 n > 0 , en tal caso Im f = [fmin, ∞) donde fmin denota el valor mínimo que alcanza la función.

Raíces de un polinomio

Todos aquellos valores de x verifican:

P (x) = 0

se denominan raíces de la ecuación:

anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 = 0

Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Si n es impar existe al menos una raíz real, si n es par puede que no exista solución real de la ecuación anterior. Si todos los coeficientes ai de la ecuación de orden n son números enteros y an = 1, entonces todas las raíces enteras posibles deben dividir al término independiente a 0. ¿Cómo calcular las posibles raíces enteras de un polinomio de grado n? ¿Recordáis la Regla de Ruffini?

Ejemplo 5 Supongamos que queremos calcular las raíces enteras del siguiente polinomio:

P (x) = x^3 − 2 x^2 − 5 x + 6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

50

100

150

x

y

y = ex ¿Quién es el conjunto imagen de esta función?

Propiedades de las funciones exponenciales:

1. axay^ = ax+y
2. a

x ay^ =^ a

x−y

3. axbx^ = (ab)x
4. a

x bx^ =^

 (^) a b

x

5. (ax)y^ = axy
6. a^0 = 1

Ejemplo 6 Halla el valor de x que resuelve la ecuación ex+1^ = e^3 x−^1.

Ejemplo 7 Halla el valor de x que resuelve la ecuación (e^2 x+5)(e^2 x−^5 ) = 1.

Ejemplo 8 Halla el valor de x que resuelve la ecuación e^3 x−^4 = e^2 x.

1.2.4 Funciones logarítmicas

La función logarítmica se define como la función inversa de la función exponencial.

Definición 4 Si ax^ = b se dice que x es el logaritmo en base a de b, y se escribe x = logab. En el caso de ex^ = b, diremos que x es el logaritmo natural de b o logaritmo neperiano, x = ln b.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

x

y

y = ln x