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FUNCIONES CONVEXAS
El concepto de convexidad es fundamental en el análisis y resolución de los problemas de optimización.
FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS.
Sea S ⊆ Rn^ , un conjunto convexo y no vacío, y sea f: S → R f es una función convexa en S , si y solo si: f [ λ x 1 + (1-λ) x2 ] ≤ λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 )
∀ λ ∈[0,1] y ∀ x1 ,x2 ∈ S. Gráficamente:
Sea S ⊆ Rn^ , un conjunto convexo y no vacío, y sea f: S → R, f es una función estrictamente convexa en S , si:
f [ λ x 1 + (1-λ) x2 ] < λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 )
∀ λ ∈]0,1[ y ∀ x 1 ,x2 ∈ S. con x 1 ≠ x
λ f(x (^) 1) + (1-λ) f(x (^) 2)
f(x (^) 2)
f(x 1 )
x (^1) λ x 1 + (1-λ) x 2 x (^2)
Sea S ⊆ Rn^ , un conjunto convexo y no vacío, y sea f: S → R f es una función cóncava en S , si y solo si:
f [ λ x 1 + (1-λ) x2 ] ≥ λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 )
∀ λ ∈[0,1] y ∀ x1 ,x2 ∈ S. Gráficamente,
Una función es estrictamente cóncava si la desigualdad se verifica en sentido estricto, es decir:
f [ λ x1 + (1-λ) x2 ] > λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 )
∀ λ ∈(0,1) y ∀ x1 ,x2 ∈ S. con x 1 ≠ x
Es importante hacer notar que las definiciones que hemos dado con anterioridad no exigen ni la continuidad ni la diferenciabilidad de la función.
Si f(x) es una función convexa en S (convexo y no vacío), entonces la función [ -f(x) ] es una función cóncava en S.
Prueba:
f(x 1 )
f [ λ x 1 + (1-λ) x 2 ]
f(x (^) 2)
λ f(x (^) 1) + (1-λ)f(x (^) 2)
x 1 λ^ x^1 + (1-λ) x^2 x^2
0
1
0
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONVEXAS.
Toda combinación lineal con coeficientes positivos de funciones convexas es una función convexa.
Sea S ⊆ Rn^ un conjunto convexo y no vacío, y sea f: S → R una función convexa. Entonces el conjunto de nivel inferior S α = { x ∈ S / f(x) ≤ α } , es un conjunto convexo.
Prueba: Sean x 1 , x2 ∈ Sα , lo que significa que: f(x 1 ) ≤ α f(x 2 ) ≤ α lo que tenemos que probar es que: ∀ λ ∈ [0,1] se verifica que: λ x 1 + (1-λ) x2 ∈ Sα , o lo que es lo mismo que : f[λ x 1 + (1-λ) x2] ≤ α. Como ayuda para hacer más compresible esta prueba, definimos: xo^ = λ x1 + (1-λ) x por lo que f( xo^ ) = f[ λ x1 + (1-λ) x2]
π/2 3 π/2 5 π/
por ser f un función convexa, se tiene que:
f[ λ x1 + (1-λ) x2] ≤ λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 )
y dado que se cumple que: f(x 1 ) ≤ α y f(x 2 ) ≤ α, entonces:
f[ λ x 1 + (1-λ) x2] ≤λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 ) ≤ λ α + (1-λ) α = α
lo que significa que λ x1 + (1-λ) x2 ∈ Sα
que es lo que queríamos probar, que el conjunto Sα es un conjunto convexo.
De igual manera tenemos la siguiente propiedad:
S i f es un función cóncava el conjunto de nivel superior S^ α^ ={x ∈ S/f(x) ≥ α } , es un conjunto convexo.
El reciproco de estas dos propiedades no es cierto , es decir, que el conjunto de nivel sea sea convexo, no implica que la función sea convexa (cóncava), aunque esta propiedad se cumple para las funciones cuasiconcavas y cuasiconvexas.
α
f
Sα
CARACTERIZACIONES DE LAS FUNCIONES CONVEXAS.
La aplicación de la definición de convexidad o concavidad a una función puede, en muchas ocasiones, resultar complicado, por lo que se recurre a las caracterizaciones, es decir, a ciertas condiciones que pueden verificar las funciones y que nos permiten clasificar a las funciones en convexas o cóncavas.
Caracterización de funciones de clase C^2. Para las funciones que admiten derivadas continuas hasta el segundo orden, podemos utilizar una caracterización basada en el hessiano de la función. En este caso podemos acudir a la siguiente proposición.
Dada una función f: S ⊂ Rn → R, donde S es un conjunto convexo y no vacío, y f’ ∈ C^2 (S)-función con segunda derivada continua en S-, entonces se cumple que:
a) f es convexa en S sii se cumple Hf(x) es semidefinida positiva en S.
b) f es cóncava en S sii se cumple que Hf(x) es semidefinida negativa en S.
c) f es estrictamente convexa solamente si Hf(x) es definida positiva en S.
d) f es estrictamente cóncava solamente si Hf(x) es definida negativa en S.
Ejemplos:
F(x) = x^2
En primer lugar, y por representación gráfica de la función (una parábola con centro el origen) podremos aplicarle la definición de función convexa: f [ λ x1 + (1-λ) x2 ] ≤ λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 ) ∀ λ ∈[0,1] y ∀ x1 ,x2 ∈ S
Para probar desigualdades recurrimos a probar su diferencia respecto de cero, es decir, poner todos los componentes en un único miembro de la desigualdad, es decir: 0 ≤ λ f(x 1 ) + (1-λ) f(x 2 ) -f [ λ x1 + (1-λ) x2 ] Sustituyendo se tiene:
λ x 1 2 + (1-λ) x^22 - ( λ x 1 + (1- ) x )λ 2 2
operando λ x^21 + (1-λ) x^22 - λ^2 x^21 -(1-λ) 2 x^22 - 2λ(1-λ) x 1 x 2 = x 12 [λ-λ^2 ] + x^22 [(1-λ)-(1-λ) 2 ] - 2λ(1-λ) x 1 x 2 = λ(1-λ) x^21 + (1-λ) λ x^22 - 2λ(1-λ) x 1 x 2 = λ (1-λ) [ x^21 + x^22 -2 x 1 x 2 ] = λ (1-λ) ( x 1 -x 2 ) 2 ≥ 0
También recurriendo a la segunda derivada: F'(x) = 2 x F''(x) = 2 > 0 Definida positiva, por tanto F(x) es convexa.
Incluso se podría decir que es estrictamente convexa.
F(x,y) = (x-3)^2 + y 3
H F = (^20 60) y
Para determinar el signo de la forma cuadratica, sabemos que : A 1 = 2 > 0 A 2 = 6 y
Por tanto el signo de la forma cuadratica dependera del signo de la variable y, es decir:
Para valores de y ≥ 0, la forma cuadratica será postiva (definida o semidefinida), mientras que para valores de y < 0, la forma cuadratica será indefinida, por tanto podremos concluir que para valores de y ≥ 0, la función será una función convexa, y en el caso de que y sea estrictamente positivo, la función será estrictamente convexa.
Estudiar si el conjunto S definido como: S = { (x,y,z) ∈ R^3 / x +y + 2 z 2 ≤ 10 } es un conjunto convexo.
Para determinar si el conjunto S es convexo, al estar definido por conjunto de nivel inferior de una función, dicha función tiene que ser una función convexa.
La función F(x, y, z)= x +y + 2 z 2 es una función de clase 2, y por tanto podemos estudiar su Hessiano.
H F =
como podemos observar se trata de una forma cuadratica semidefinida positiva, por tanto la función F es una función convexa. En base a una de las propiedades de este tipo de funciones podemos concluir que el conjunto S es un conjunto convexo.
