Convexidad de Conjuntos y Funciones: Conjuntos Convexos y Funciones Concavas y Convexas, Apuntes de Economía Financiera

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CONVEXIDAD DE

CONJUNTOS Y FUNCIONES

1. CONJUNTOS CONVEXOS.

DEFINICION 1

Un conjunto M ⊂ ℝ n es convexo si y sólo si para

cualesquiera x y, ∈ M se verifica que el segmento de

extremos x e y está totalmente contenido en M.

DEFINICION 1

Un conjunto M ⊂ ℝ n es convexo si y sólo si para

cualesquiera x y, ∈ M y para todo λ∈[0,1], se verifica que

z = λ +x (1 −λ) y ∈ M, es decir, el segmento de extremos

cualesquiera x e y ,

[ ,x y ] = { z ∈ ℝ n/ z = λ +x (1 −λ) , y λ∈[0,1] },

está contenido en M.

2. FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS.

DEFINICION 2

Sea M un subconjunto convexo y no vacío de ℝn y f

una función definida de M en ℝ. Entonces se dice que:

(i) La función f es cóncava en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈ M y para todo λ∈[0,1] se verifica que

f ( λ x + (1 − λ ) )y ≥ λf x( ) + (1 −λ) f ( )y

(ii) La función f es estrictamente cóncava en M si y

sólo si para cualesquiera x y, ∈ Mcon x ≠ y y para

todo λ∈(0,1) se verifica que

f ( λ x + (1 − λ ) )y > λf x( ) + (1 −λ) f ( )y

(iii) La función f es convexa en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈ M y para todo λ∈[0,1] se verifica que f ( λ +x (1 −λ) ) y ≤ λf x ( ) + (1 −λ) f ( )y (iv) La función f es estrictamente convexa en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈ Mcon x ≠ y y para todo λ∈(0,1) se verifica que f ( λ +x (1 −λ) ) y < λf x ( ) + (1 −λ) f ( )y

SIGNIFICADO GEOMETRICO.

(a) En una función cóncava la cuerda que une cualquier par de puntos de su gráfica nunca está situada por encima de dicha gráfica. (b) En una función estrictamente cóncava la cuerda que une cualquier par de puntos de su gráfica siempre está situada por debajo de dicha gráfica. (c) En una función convexa la cuerda que une cualquier par de puntos de su gráfica nunca está situada por debajo de dicha gráfica. (d) En una función estrictamente convexa la cuerda que une cualquier par de puntos de su gráfica siempre está situada por encima de dicha gráfica.

3. FUNCIONES DIFERENCIABLES CONCAVAS

Y CONVEXAS.

Vemos en primer lugar una condición aplicable a las funciones diferenciables

PROPOSICION 1 Sea M un subconjunto no vacio y convexo de ℝn , y f una función diferenciable de M en ℝ. Se verifica que: (a) La función f es cóncava en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈M f ( y ) ≤ f ( x ) + ∇f ( x )( y −x)

(b) La función f es estrictamente cóncava en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈ M con x ≠ y f ( y ) < f ( x ) + ∇f ( x )( y −x) (c) La función f es convexa en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈M f ( y ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x )( y −x)

(d) La función f es estrictamente convexa en M si y sólo si para cualesquiera x y, ∈ M con x ≠ y f ( y ) > f ( x ) + ∇f ( x )( y −x)

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO.

(a) y (b) El plano tangente a la gráfica de una función cóncava o estrictamente cóncava en cualquier punto siempre queda por encima de la gráfica de la función. (c) y (d) El plano tangente a la gráfica de una función convexa o estrictamente convexa en cualquier punto siempre queda por debajo de la gráfica de la función.