¡Descarga Tema 4: Convexidad - Formas cuadráticas, propiedades y funciones convexas - Prof. Miranda y más Ejercicios en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Tema 4: Convexidade
1 Formas cuadráticas, concepto e clasificación
Definición 1 Chámaselle forma cuadrática a toda aplicación : ^ → tal que
() =
sendo ∈ × unha matriz simétrica.
Definición 2 Unha matriz ∈ × é:
- semidefinida positiva se ≥ 0 ∀ ∈
- semidefinida negativa se ≤ 0 ∀ ∈
- definida positiva se 0 ∀ ∈ 6 =
- definida negativa se 0 ∀ ∈ 6 =
- indefinida se existen ∈ ^ tales que 0 e 0
Definición 3 Sexa ∈ dise que é autovalor, valor propio ou valor característico de ∈ se ∃ 6 = ∈ tal que = A todo vector 6 = que verifica a expresión anterior chámaselle autovector, vector propio ou vector característico asociado ao autovalor
Dada a matriz a ecuación = se pode escribir como
( − ) = 0
que é un sistema homoxéneo e, pola definición de autovalor, ten solucións distintas da trivial. En consecuencia, debe verificarse: | − | = 0
Definición 4 | − | é un polinomio na variable de grao e coeficientes reais que se chama polinomio característico de A ecuación | − | = 0 denomínase ecuación característica de
Nota 5 Obsérvese que os autovalores de son as raíces do polinomio característico.
Teorema 6 Unha condición necesaria e suficiente para que a matriz simétrica sexa:
- Definida positiva (semidefinida positiva) é que todos os seus autovalores sexan positivos (maiores ou iguais que cero)
- Definida negativa (semidefinida negativa) é que todos os seus autovalores sexan negativos (menores ou iguais que cero)
- Indefinida é que exista polo menos un autovalor de cada signo.
Sexa =
⎠ (^) unha matriz simétrica, definimos os menores principais de esta
matriz como os números reais 1 = | 11 | 2 =
¯ ^ =^ ||
Teorema 7 Sexa ∈ × unha matriz simétrica verifícase entón que:
- é D.P.⇐⇒ 1 0 0
- é DN ⇐⇒ 1 0 2 0 (−1)^ 0
- Se 1 0 − 1 0 = 0 ⇒ é SDP
- Se 1 0 2 0 (−1)−^1 − 1 0 = 0 ⇒ é SDN
- Se || 6 = 0 e é falso 1 e 2 entón é indefinida.
- Se 6 = 0 = 1 − 1 e || = 0 e non se verifica 3 nin 4 entón é indefinida.
Nota 8 Falta o caso = 0 || = 0 Neste caso calculamos os autovalores
O determinante é ^2 − ^3 + 6 e a ecuación característica
^2 − ^3 + 6 = 0
Os autovalores son 1 = 0 2 = − 2 3 = 3 polo que é indefinida.
2 Conxuntos convexos
Definición 9 Denominamos segmento que une os puntos e e representámolo , ó conxunto
= { ∈ = + (1 − ) 0 ≤ ≤ 1 }
Definición 10 Un subconxunto ⊂ ^ é un conxunto convexo se o segmento que une calquera par de puntos de está contido en é dicir,
∀ ∈ + (1 − ) ∈ sendo 0 ≤ ≤ 1
Exemplo 11
3 Funcións convexas e cóncavas
Definición 14 Sexa : ⊂ ^ → sendo un conxunto convexo. é convexa en se
( 1 + (1 − ) 2 ) ≤ ( 1 ) + (1 − ) ( 2 ) ∀ 1 2 ∈ ∀ ∈ (0 1)
é cóncava en se
( 1 + (1 − ) 2 ) ≥ ( 1 ) + (1 − ) ( 2 ) ∀ 1 2 ∈ ∀ ∈ (0 1)
Se as desigualdades son estritas sería estritamente convexa e estritamente cóncava en .
Exemplo 15 A continuación móstrase a gráfica de tres superficies. A primeira é estritamente con- vexa, a segunda é estritamente cóncava e a terceira non é nin cóncava nin convexa.
5 2.5^0
-2.5 - (^0) 2.5 5 -5 -2.
50
25
0 x
y
z
x
y
z
5 2.5^0
-2.5 - 2.5 5
-5 -2.5 0
0 -12.
-37.
x
y
z
x
y
z
4 Convexidade e diferenciabilidade
Teorema 16 Sexa un subconxunto aberto e convexo de ^ e : → tal que ∈ ^2 () entón
- Unha condición necesaria e suficiente para que sexa convexa (cóncava) en é que ( 0 ) sexa semidefinida positiva (negativa) ∀ 0 ∈ .
- Unha condición suficiente non necesaria para que sexa estritamente convexa (cóncava) en é que ( 0 ) sexa definida positiva (negativa) ∀ 0 ∈
As implicacións contrarias non se dan
Exemplo 17 A función ( ) = ^4 + ^4 é estritamente convexa (ver gráfica) e sen embargo, a súa matriz hessiana corresponde a unha forma cuadrática semidefinida positiva.
-5 5 -2.52.5 00 2.5-2.5 5 -
1250
1000
750 500
250
0 x y
z x y
z
Exemplo 18
: ^3 −→
( ) −→ ( ) = ^2 + ^2 + ^3
non sería nin cóncava nin convexa en todo ^3
Exemplo 19
: ^2 ++ −→
( ) −→ ( ) = ln ()
μ − (^) ^12 0 − (^) ^12
é estritamente cóncava en ^2 ++
Exemplo 20
: ^2 −→
( ) −→ ( ) = + − ^ − +
μ −^ − +^ −+ −+^ −+
o seu determinante é +^ co cal é estritamente cóncava en ^2
Exemplo 21 Dada a función de ^2 en definida por ( ) = 7^3 +5^3 encontrar un subconxunto aberto e convexo de ^2 no que sexa convexa.
μ 42 0 0 30
Polo tanto en ^2 ++ sería estritamente convexa.
Nota 22 Se o conxunto convexo está formado por un só punto, toda función definida en sería convexa.
Problemas propostos do tema 4.
- Clasificar as seguintes formas cuadráticas:
(a) ( ) = 2^2 + 6 + 2^2 (b) ( ) = − 2 ^2 − 8 ^2 + ^2 + 8 (c) ( ) = 3^2 + 3^2 + 4 + 8 + 4 (d) ( ) = 2 − 2 + 2 (e) ( ) = ^2 − 2 + 4^2 (f) ( ) = − 4 + 3^2 (g) ( ) = ^2 + 4^2 + 3^2 + 4 (h) ( ) = −^2 − 3 ^2 − 3 ^2 + 4 (i) ( ) = 2^2 + ^2 + ^2 + 2 + (j) ( ) = −^2 − 4 ^2 − 3 ^2 + 2 − 6
- Estuda a convexidade dos seguintes conxuntos:
(a) 1 = {( ) ∈ ^2 ≤ ^2 } (b) 2 = {( ) ∈ ^2 ≥ 1 ≥ 0 } (c) 3 = {( ) ∈ ^2 − 1 ≤ ≤ 1 ≥ } (d) 4 =
( ) ∈ ^2 ( − 1)^2 + ( − 2)^2 ≤ 4 ≤ 1
(e) 5 = {(4 7) (1 −8)}
- Estuda a convexidade ou concavidade das seguintes funcións:
(a) ( ) = ^2 + − ^2 (b) ( ) = ( − 3)^2 + ( + 1)^2 (c) ( ) = ^2 − ^2 + ^2 + (d) ( ) = 2 − ^ − 5 ^2 + 7 (e) ( ) = −^2 − ^2 + 2 + 2 − (f) ( ) = −^4 − ^4 (g) ( ) = ^2 + 2^2 + 4^4 (h) ( ) = ( − 3) ( + 1) (i) ( ) = ln()
- Calcula o conxunto de puntos onde a función
( ) = 7^3 + 5^3 + 12
é convexa. Para qué conxunto é cóncava?
- Determinar para qué valores de a seguinte función é cóncava ou convexa:
( ) = − 6 ^2 + (2 + 4) − ^2 + 4
- Dicir se as seguintes funcións son cuasicóncavas ou cuasiconvexas nos conxuntos que se indican:
(a) ( ) = −^2 en ^2 ++ (b) ( ) = en = {( ) ∈ ^3 0 } (c) ( ) = +^ en ^3
Solucións
- (e), (i) definida positiva; (g) semidefinida positiva; (h) definida negativa; (j) semidefinida neg- ativa; (a), (b), (c), (d), (f) indefinida.
- 2 3 Si; 1 4 5 Non.
- (b) estritamente convexa; (g) convexa; (i) estritamente cóncava;(d), (e), (f) cóncava; (a), (c), (h) nin cóncava, nin convexa.
- É convexa no conxunto {( ) ∈ ≥ 0 } e cóncava en {( ) ∈ ≤ 0 }
- É cóncava se ∈
- (a) cuasiconvexa; (b) cuasicóncava; (c) nin cuasicóncava, nin cuasiconvexa.
