Análisis de óptimos en funciones no convexas: condiciones necesarias y suficientes, Apuntes de Matemáticas

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1

Capítulo 2. OPTIMIZACION SIN

RESTRICCIONES

BIBLIOGRAFIA

Barbolla, Cerdá, Sanz

Sydsaeter

M. Vázquez

Un Programa se dice sin restricciones si su conjunto de soluciones factibles es

todo el plano. Es decir

2

f ( , )

( , ) R

Opt x y

sa x y 

Podemos asegurar la existencia de solución?

Bajo qué condiciones la solución, si existe, es global?

Podéis consultar el texto de Barbolla, Cerdá y Sanz “Optimización” ED. Garceta.

A continuación estudiaremos las condiciones que caracterizan a una solución

óptima en este tipo de problemas. La condición de primer orden o condición

necesaria se refiere al gradiente de la función objetivo. Recuerda que si un

punto es óptimo, debe cumplir esta condición por ser necesaria (pero no basta

con que dicha condición se cumpla para que tengamos un óptimo).

Por tanto, la condición necesaria nos proporciona una “colección” de

candidatos a óptimo (que podrán ser finalmente óptimos o no).

Ejemplo 1. Calcula los puntos críticos de la función

3 2

f ( , x y ) x  x  y

Para calcular los puntos críticos (candidatos a óptimo) calculamos el gradiente e

igualamos a cero. Se tiene

2 2

f

x x

x

f

y

y

Y por tanto no hay ni máximos ni

mínimos. Gráficamente

Ejemplo 2. Calcula los puntos críticos de la función

2 2 2

f ( , x y )  x  x y  2 y

Calculamos el gradiente e igualamos a cero. Se tiene

2

2

f

x xy

x y

x

f

y x

x y

y

De la primera ecuación, x=0 ó y=.

Si x=0, de la segunda ecuación y=0.

Si y=1 entonces x=2, x=-2.

Por tanto los puntos críticos son (0,0),

(2,1), (-2,1). ¿Alguno de ellos es óptimo?

CONDICION SUFICIENTE DE OPTIMO GLOBAL

Analizamos ahora bajo qué condiciones un punto crítico es mínimo global o Máximo

global. Como seguro que ya sospecharás, estas condiciones están relacionadas con la

convexidad del programa.

Teorema 2a. Si la función objetivo es cóncava en un programa sin

restricciones, un punto crítico es Máximo Global. Además no hay mínimos.

Observación Ahora, por el teorema local-global, si el objetivo es estrictamente cv, el

Máximo es único y si no es estricto y hay más de un Máximo, habrá infinitos (todo un

conjunto convexo de Máximos).

Análogamente para mínimo

Teorema 2b. Si la función objetivo es convexa en un programa sin restricciones,

un punto crítico es mínimo Global. Además no hay Máximos.

Demostración. La hacemos para Máximo. En el capítulo anterior vimos la

definición de función cóncava para funciones de clase 1 (funciones con parciales

continuas). Una función era estrictamente cv si y sólo si la diferencial aproximaba

por exceso, es decir

0 0 0 0

f ( x )  f ( x )   f ( x )( x  x ),  x x ,  S

Supongamos que nuestra función objetivo es estrictamente cóncava y sea

un punto crítico. Entonces

x *

2

f ( x )  f ( *) x   f ( *)( x x  x *), x  R

Y como es un punto crítico el gradiente es nulo luego

2

f ( x )  f ( *) x  x  R  x *

es Máximo global.

x *

Por tanto, si la función objetivo es cóncava (convexa), la condición

necesaria de Máximo (mínimo) es también suficiente.

Solución.

2 2

1

1

f x y x y x

x

f x y x y x y

y

Y por tanto el único punto crítico es el (2,0). Para determinar su carácter,

estudiamos el signo de la matriz Hessiana en todo punto:

a. Condición necesaria

b. Condición suficiente

2 0

( , )

0 10

Hf x y



 



 



 

que es definida negativa en todo punto. Por tanto, la función es estrictamente

cóncava. El punto crítico (2,0) es MAXIMO GLOBAL.

¿Puede una función estrictamente cóncava tener más de un punto

crítico?

2

2

1

f x y x y

f x y x y x y x y

Y por tanto hay toda una recta de puntos críticos. Para determinar su carácter,

estudiamos el signo de la matriz Hessiana

a. Condición necesaria

b. Condición suficiente

2

2 2

( , )

2 2

Hf x y



 



 



 

que es semidefinida positiva en todo punto.

Por tanto, la función es convexa. Todos los

punto críticos son mínimos globales.

Observa que como el programa es convexo

para mínimo, si tienes más de un mínimo,

tienes todo un conjunto convexo de

mínimos (en este caso, toda una recta de

mínimos).

x+y-1=

4 4

4

3

3 3 3

4

3 3

4. ( , ) ( ) +(y-1)

( , ) (4( ) , 4( ) 4(y-1) ) (0, 0)

4( ) 4(y-1)

f x y x y

x y x y

f x y x y x y

y x y

a. Condición necesaria

b. Condición suficiente

Luego el único punto crítico es el (1,1).

2 2

4

2 2 2

12( ) 12( ) 12(y-1)

x y x y

Hf x y

x y x y

Que es semidefinida positiva para todo punto (verifícalo). Por tanto, la

función es convexa y el punto crítico mínimo global.

Ejercicio. Clasifica los puntos críticos de los ejemplos 3 y 4

14

En ocasiones, las funciones con las que trabajamos no son convexas ni cóncavas.

¿Podemos en estos casos decidir el carácter de los puntos críticos? Veremos que sí, pero

de manera local.

CONDICION SUFICIENTE DE OPTIMO LOCAL

Teorema 3. Sea ( x,y) un punto crítico del campo escalar f(x,y). Entonces

1. Si Hf ( x,y) es Definida Negativa ( x,y) es Máximo local

2. Si Hf ( x,y) es Definida Positiva ( x,y) es mínimo local
3. Si Hf ( x,y) es Indefinida ( x,y) es un punto de silla (un punto que anula

el gradiente pero que no es Máximo

ni mínimo)







Observaciones

1. Los puntos críticos pueden por tanto ser : Máximos, mínimos o puntos de silla

2.Para analizar el carácter de los óptimos cuando no hay concavidad/convexidad, debemos

evaluar la matriz hessiana en el candidato a óptimo. La matriz hessiana será por tanto una

matriz de números (no de funciones como en el caso de las funciones convexas /cóncavas)

3. Los óptimos podrán ser globales, pero el criterio no lo asegura.

Ejemplo 6. Clasifica los puntos críticos de la función

f ( , x y )  xy

Solución. Calculamos los puntos que anulan el gradiente y estudiamos la matriz hessiana.

 f ( , x y )  ( , y x )  (0, 0)  (0, 0)

único punto crítico.

Hf x y

Cuyo determinante es -1 y es por tanto indefinida. El

punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Es un punto

de silla

Observa: el punto (0,0) se

comporta como un mínimo

para los puntos de esta

parabola

Por este camino, se

comporta como un Máximo

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a. Condición Necesaria

2

f

x xy

x

f

x y

y

Puntos críticos (0,0), (2,1), (-2,1)

b. Condición Suficiente

y x

Hf x y

x

No es cóncava ni convexa

Hf

Evaluamos la matriz en los puntos críticos

Definida positiva. (0,0) es un mínimo local. Para saber si es

global, estudia la función.

0 4

(2,1)

4 4

Hf

  



 



 

Indefinida. (2,1) es un punto se silla

Hf

Indefinida. (-2,1) es un punto de silla

(Ver gráfico en el ejemplo 2 pag 5)

Ejemplo 7. Clasifica los punto críticos de la función

2 2 2

f ( , x y )  x  x y  2 y

Ejercicio 1. Clasifica, cuando sea posible, los puntos críticos de las siguientes

funciones.

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

3

1. ( , ) ( )( 2 ) 2. ( , )
   3. ( , ) ( ) 2 ( ) con a 0

f x y y x y x f x y x y

f x y x y a x y

   

    

En los casos en los que el criterio no sea concluyente, ¿puedes intuir, analizando

la función cerca del punto crítico, si es un óptimo o un punto de silla?

Por este camino (0,0)

se comporta como un

mínimo

Por este camino se

Comporta como un

Máximo

Es un punto de silla

Ejercicio 2. Clasifica los punto críticos de la función

4 4

f ( , x y ) x  y

Solución. Calculamos los puntos que anulan el gradiente (puntos críticos) que son los

candidatos a óptimo.

**1. Condición necesaria (o de primer orden)

2. Condición suficiente (de segundo orden).** Calculamos la matriz Hessiana y evaluamos

en el punto crítico

Y por tanto el punto crítico puede ser Máximo, mínimo o punto de silla.

3 3

 f ( , x y )  (4 x , 4 y )  (0, 0)  x  y  0

2

2

x

Hf x y Hf

y

No puedes trabajar así. Has pasado por alto que la función es convexa y por tanto, el punto

crítico es mínimo global. Empieza siempre verificando la condición de óptimo global. Si no

se cumple, verifica la condición local.