Medida e Integración
Profesor: Jaime San Martín
Auxiliares: Cristóbal Guzmán y Julio Backhoff
1. Una función F: (a, b)→R, con −∞ ≤ a<b≤ ∞, se dice convexa si:
F(λs + (1 −λ)t)≤λF (s) + (1 −λ)F(t),∀s, t ∈(a, b)yλ∈(0,1)
a Muestre que Fes convexa si y solo si para todos s, t, ¯s, ¯
t∈(a, b)tales que s≤¯s < ¯
tys < t ≤¯
t:
F(t)−F(s)
t−s≤F(¯
t)−F(¯s)
¯
t−¯s
b Muestre que Fes convexa si y solo si Fes absolutamente continua sobre todo intervalo compacto de
(a, b)yF0es creciente (en el conjunto donde esté definida).
c Muestre que si Fes convexa y t0∈(a, b), entonces existe β∈Rtal que
F(t)−F(t0)≥β(t−t0),∀t∈(a, b)
d (Desigualdad de Jensen) Si (X, M, µ)es un espacio de probabilidad (µ(X)=1), g:X→(a, b)está en
L1(µ), y Fes convexa en (a, b), entonces:
FZgdµ≤ZF◦gdµ
2. Muestre que la siguiente función α: [0,1] →Ren continua pero no es de variación acotada:
α(x) = 0, si x= 0
xcos(π
x), si x6= 0
3. a (Principio de Selección de Helly) Sea fn:X→Runa sucesión de funciones uniformemente acotada,
y sea Dcuanquier subconjunto numerable de X. Entonces existe una subsucesión de fnque converge
puntualmente sobre D.
b Sea A⊂[a, b]tal que a∈Ayb=Sup(D). Muestre que si f:D→Res creciente, entonces fse puede
extender sobre [a, b]por una función creciente.
c Sea fnuna sucesión de funciones crecientes sobre [a, b]uniformemente acotada. Muestre que esta posee
una subsucesión que converge puntualmente a una función creciente fen [a, b](que está acotada por la
misma cota que la sucesión).
d (Usando lo anterior, demostrar el «Primer Teorema de Helly»:
Sea fnuna sucesión acotada en BV [a, b], i.e. ||fn||BV < K ,∀n. Entonces existe una subsucesión que
converge puntualmente sobre [a, b]a una función f∈BV [a, b](que satisface igualmente ||f||BV < K ).
1