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An´alisis de una variable
Tema 3. Funciones Elementales
1 Funciones potencial, exponencial y logar´ıtmica
1.1 Funci´on potencial
Potencias de base real y exponente natural. Exponente entero Sea x ∈ R cualquiera yfactores iguales a n ∈ xN. Fijado. Se define la potencia n-´ n, la aplicaci´on f :esima de R → R tal que fxn^ = x.x.x... (x) =n .x.xxn (^) se llama funci´ producto de non potencia n-´esima. Propiedades 1.- xnyn^ = (xy)n 2.- xnxm^ = xn+m 3.- (xn)m^ = xnm 4.- Si n < m y x > 1 se tiene xn^ < xm. Pero si 0 < x < 1 entonces xn^ > xm 5.- Si 0 < x < y se tiene 0 < xn^ < yn. Observese que esto no es cierto si x e y no son positivos. La funci´on es positiva y estrictamente creciente en [0, +∞[. No est´a acotada superi- ormente pero si inferiormente siendo el extremo inferior el n´umero 0 Si el exponente es entero, pero positivo xn^ se define como en el caso de n natural y sipropiedades vistas, excepto la 5, que en este caso es: n < 0, entonces xn^ = (x−^1 )−n^ = (^) x−^1 n. como −n > 0, se pueden aplicar todas las
5’.- Si 0 < x < y se tiene 0 < yn^ < xn Y la funci´on es estrictamente decreciente. Potencias de base real y exponente racional. Exponente real
sentido ya que^ Sea^ x^ ∈^ R^ cualquiera y xp^ > 0.^ r^ ∈^ Q. Si^ r^ =^ pq^ por definici´on^ xr^ =^ √qxp. Esta definici´on tiene
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Finalmente si α es un n´umero real, la aplicaci´on f : R → R tal que f (x) = xα^ se llama funci´on potencia de exponente α. Se mantienen las propiedades ya vistas.
1.2 Funci´on exponencial
Seade base a ∈ Ra.+. La aplicaci´on f : R → R+^ tal que f (x) = ax^ se llama funci´on exponencial
Propiedades 1.- ax+y^ = axay 2.- Si x < y se tiene ax^ < ay^ si a > 1 y ay^ < ax^ cuando 0 < a < 1.
estrictamente decreciente.La funci´on exponencial de base^ a >^ 1 es extrictamente creciente y de base^ a <^1
por cero. Es una aplicaci´Si^ a >^ 0 La funci´on exponencial no est´on biyectiva. acotada superiormente pero si inferiormente 3.- Si 0 < a < b y x > 0 se tiene ax^ < bx^ y si x < 0 entonces ax^ > bx
1.3 Funci´on logar´ıtmica
Sean´umero real a > 0. Por la secci´ y, tal queon anterior, sabemos que para todo n´ ay (^) = x. A este n´umero y se le llama logaritmo en baseumero real x, existe otro ´ a unicode x y se le denota porfunci´on logar´ıtmica de base y = loga ax. Es evidentemente la inversa de la funci´. La aplicaci´on f : R+^ → R tal que fon exponencial. (x) = logax es la
Propiedades 1.- loga(xy) = logax + logay, ∀x, y ∈ R+ 2.- Si 0 < x < y entonces logax < logay si a > 1 ; y logax > logay si 0 < a < 1 3.- La funci´on logar´ıtmica no est´aacotada. 4.- Es suprayectiva. 5.- ∀x > 0 y a, b ∈ R+^ se tiene logax = logbx.logab
Si hacemos coincidir el centro de la circunferencia con el origen de coordenadas, y establecemos la siguiente correspondencia entre [0, 2 π[ y el plano XOY : 0 ↪→ (1, 0); π 2 ↪→ (0, 1) 32 π ↪→ (0, −1) y a todo punto de [0, 2 π[ le hacemos corresponder un punto de la circunferencia de coordenads (x, y)y un ´angulo θ, definimos x = cosθ e y = senθ. Estas funciones se pueden extender a R mediante cos(x + 2π) = cosx y sen(x + 2π) = senx Propiedades Es inmediato a partir de estas definiciones, comprobar 1.- cos(−α) = cosα; sen(−α) = −senα 2.- cos^2 α + sen^2 α = 1 3.- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ senαsenβ; sen(α ± β) = senαcosβ ± senβcosα. A partir del seno y el coseno, definimos las otras funciones trigonom´etricas tgθ = senθcosθ ; cotgθ = cosθsenθ ; secθ = (^) cosθ^1 y cosecθ = (^) senθ^1. Conviene recordar que: θ sen cos (^0) π 0 1 6 12
√ 3 π^2 4
√ 2 2
√ 2 π^2 3
√ 3 π 2 12 012
3 Funciones hiperb´olicas
Sea f : R → R definida por f (x) = ex+ 2 e −x se llama coseno hip´erbolico de x, y se denota por Chx y sea f : R → R definida por f (x) = ex− 2 e −xse llama seno hip´erbolico de x, y se denota por Shx. Com Chx 6 = 0 ∀x, podemos definir la tangente hiperb´olica T hx = (^) ChxShx , que sera
tambien una funci´on de R en R Propiedades 1.- Ch(−x) = Chx Sh(−x) = −Shx 2.- Ch^2 x − Sh^2 x = 1, 1 − T h^2 x = (^) Ch^12 x 3.- Ch(x ± y) = ChxChy ± ShxShy, Sh(x ± y) = ShxChy ± ChxShy
coseno hiperb´^ Las funciones inversas se denominan argumento seno hiperb´olico de x, etc. olico de x, o argumento Si y = argShx ⇒ Shy = x ⇔ x = ey^ − 2 e −y ⇔ ey^ − e−y^ = 2x ⇔ e^2 y^ − 2 xey^ − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´on ser´ıa ey^ = 2 x±√ 24 x^2 +4 = x ± √x^2 + 1, y como la funci´on exponencial es siempre positiva, ey^ = x + √x^2 + 1 ⇔ y = ln(x + √x^2 + 1) An´alogamente, si y = argChx entonces y = ln(x ± √x^2 − 1) NOTA Las gr´aficas en el archivo ”Gr´aficas de las funciones elementales”
