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Funciones gamma y beta
Se definen las conocidas como función gamma y función beta como:
G(Α):=Ÿ 0
„- x^ x Α-^1 ‚ x , Α>0.
Β(p,q):=Ÿ 0
1
xp -^1 H 1 - x L q -^1 ‚ x , p , q > 0.
Propiedades.
1. Β H p , q L =
GH p L GH q L
GH p + q L.
2. G(1)=1.
3. Β(p,q)=2Ÿ 0
Π
2 sen 2 p - 1 Θ cos 2 q - 1 Θ ‚ Θ.
Π
2 sen p Θ cos q Θ ‚ Θ = 1 ê 2 ΒJ p +^1
2 ,^
q + 1
2 N.
6. G(Α+1)=ΑG(Α).
7. GI
1
2 M=^ Π^.
8. Si n es un entero, nr1 entonces G(n+1)=n!.
Además
GI 32 M= 12 GI 12 M = 12 Π , GI 52 M= 32 GI 32 M = 32 12 GI 12 M = 32 12 Π = 34 Π y asípara todos los
semienteros positivos. Podemos extender la definicion usando la fórmula 6,
GHΑL = GHΑ+ Α 1 Lde tal modo que GH- 1 ê 2 L = IIG I- 12 + 1 MM ë - 12 M =
GJ 12 N
=-2GI 12 M = - 2 Π
o tambié n G H- 3 ê 2 L = 43 Π. La función G(Α) se hace divergente para Α=0 y para
0
Π 2 Sin @ΘD^6 Cos @ΘD^7 ‚ Θ
16 3003 FunctionExpand @ Beta @ a, b DD GH a L GH b L GH a + b L 1 2
Beta B
F
Gamma A^72 E Gamma @ 4 D
Gamma A^152 E
16 3003
0
Π (^2) Sin @ΘD (^4) Cos @ΘD (^3) ‚ Θ
Plot A Sin @ x D^5 , 8 x, 0, Pi < , Ticks Æ 88 0, Pi ê 2, Pi < , 8 - 1, 1 <<E
Π 2 Π
1
senH x L
5
‚ x = 2 Ÿ
senH x L
5
‚ x = 2 I
1 2
M ΒI3,
1 2
M=
GH 3 L GI 12 M
GI 72 M
Plot A Cos @ x D^2 , 8 x, 0, 2 Pi < , Ticks Æ 88 0, Pi ê 2, Pi, 3 Pi ê 2, 2 Pi < , 8 - 1, 1 <<E
0 Π 2 Π 32 Π 2 Π
1
Plot A Sin @ x D^6 , 8 x, 0, 2 Pi < , Ticks Æ 88 0, Pi ê 2, Pi, 3 Pi ê 2, 2 Pi < , 8 - 1, 1 <<E
0 Π 2 Π 32 Π 2 Π
1
0
2 Π Sin @ΘD^6 ‚ Θ
5 Π 8
Plot A Cos @ x D^6 , 8 x, 0, 2 Pi < , Ticks Æ 88 0, Pi ê 2, Pi, 3 Pi ê 2, 2 Pi < , 8 - 1, 1 <<E
0 Π 2 Π 32 Π 2 Π
1
0
2 Π Cos @ΘD^6 ‚ Θ
5 Π
Plot A Cos @ x D^3 , 8 x, 0, 2 Pi < , Ticks Æ 88 0, Pi ê 2, Pi, 3 Pi ê 2, 2 Pi < , 8 - 1, 1 <<E
Π 2 Π^
3 Π 2 2 Π
1
0
Π (^2) Cos @ΘD (^3) ‚ Θ
Plot A Sin @ x D^6 Cos @ x D , 8 x, 0, 2 Pi < , Ticks Æ 88 0, Pi ê 2, Pi, 3 Pi ê 2, 2 Pi < , 8 - 1, 1 <<E
Π 2 Π^
3 Π 2 2 Π
0
2 Π Sin @ΘD^6 Cos @ΘD ‚ Θ
Plot A Sin @ x D^5 H Cos @ x DL ^ 4, 8 x, 0, Pi < ,
Ticks Æ 88 0, Pi ê 4, Pi ê 2, Pi, 3 Pi ê 2, 3 Pi ê 4, 5 Pi ê 4, 7 Pi ê 4, 2 Pi < , 8 - 1, 1 <<E
0 Π 4 Π 2 34 Π Π
