Matrices y Determinantes: Definiciones, Propiedades y Aplicaciones - Prof. Martín Barquero, Apuntes de Álgebra Lineal

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determinantes

Dolores Mart´ın Barquero

Matrices y determinantes

Dolores Mart´ın Barquero

Universidad de M ´alaga

Algebra Lineal^ ´

determinantes

Dolores Mart´ın Barquero

Matrices y determinantes

Proposici ´on

Sea A ∈ Mm×n(K ). Entonces

1. (A

t )

t = A.

2. (A + B)

t = A

t

• B

t .

1. (αA)

t = αA

t , α ∈ K.

4. (AB)

t = B

t A

t .

Definiciones

Una matriz cuadrada se dice sim ´etrica si A = A

t

. Se dir ´a antisim ´etrica

si A = −A

t

. Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n(K ), se define su

traza como el escalar suma de los elementos de su diagonal, es

decir, tr(A) =

n i= 1

aii.

Proposici ´on

1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
2. tr(αA) = αtr(A).
3. tr(AB) = tr(BA).
4. tr(A

t ) = tr(A).

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Dolores Mart´ın Barquero

Propiedades

2. |A

t | = |A|.

3. |AB| = |A||B|.

1. |In| = 1.
2. |λA| = λ

n |A|.

1. Al intercambiar dos filas (dos columnas) entre s´ı, el determinante

cambia de signo.

1. Si A tiene dos filas (columnas) iguales, su determinante es cero.
2. Si A tiene una fila (columna) combinaci ´on lineal de otras, su

determinante es cero.

1. Si A tiene una fila (columna) nula, su determinante es cero.
2. Si A es diagonal o triangular, |A| = Π

n i= 1 aii.

1. El determinante de A no cambia si a una fila (columna) le

sumamos una combinaci ´on lineal de otras filas (columnas).

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Dolores Mart´ın Barquero

Proposici ´on

Sea A ∈ Mn×n(K ). Si |A| 6 = 0. Entonces existe la matriz inversa de A

y es

A

− 1

|A|

Aˆt^ ,

donde ˆA = (αij ), con los αij como en (1).

Proposici ´on

Sean A y B inversibles, entonces

1. (A

− 1 )

− 1 = A.

2. (AB)

− 1 = B

− 1 A

− 1 .

3. |A

− 1 | =

|A|

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Sistemas de ecuaciones lineales

Un sitema de ecuaciones lineales puede escribirse en la forma:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 ,

am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm ,

y matricialmente AX = B, donde A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

am 1 am 2 · · · amn

X =

x 1

x 2

. . .

xn

y B =

b 1

b 2

. . .

bm

Se define la matriz ampliada del sistema como M = (A|B).

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Teorema (Rouch ´e-Frobenius)

Dado el sistema de ecuaciones anterior. Entonces

Si rang(A) = rang(M) = k ⇒ hay soluci ´on

si k = n ⇒ soluci ´on ´unica.

si k < n ⇒ inf. soluciones.

Si rang(A) 6 = rang(M) ⇒ no hay soluci ´on.

Si hay soluci ´on se dice que el sistema es compatible, si es ´unica se

dice compatible determinado y si hay infinitas, compabtible

indeterminado. Si el sistema no tiene soluci ´on se dice incompatible.

Teorema (Regla de Cramer)

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales como el anterior

con m = n. Entonces si rang(A) = rang(M) = n, el sistema tiene

soluci ´on ´unica dada por:

xi =

a 11 · · ·

i) ︷︸︸︷

b 1 · · · a 1 n

a 21 · · · b 2 · · · a 2 n

. . .

an 1 · · · bn · · · ann

|A|

, para i = 1 ,... , n