integrales de linea ejercicios, Ejercicios de Ingeniería Industrial

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Ampliación de Cálculo. Curso 10/11. Graduado en Ingeniería en Tecnologías Industriales INTEGRALES DE LÍNEA Ejercicio 1 Calcule cl trabajo realizado por la fuerza Fs, y) = (y? uy + desplaza desde el punto p= (1,1) hasta q = (2,4): ) sobre una partícula que se a) Por el segmento que los 1 b) Por la parábola y = 27. Ejercicio 2 Dada lu integra! / (609 + 5)de + (ar *yP)dy + 6% de: e a) Halle el valor de a y b para que el integrando admita función potencial. b) Para esas valores, halle la integral curvilínea si C es cualquier camino regular a trozos que une p=(0,1,1) ya=(1,V2/2,V2/2). Ejercicio 3. Considere el campo vectorial en R? y E Gílz.4,z) = Cha.) yA 1. Demuestre que es un campo vectorial irrotacional, 2. Calenle el valor de la integral de línea E G + dy con =3() = (cost, sent, cos(4£)), + € [0, 2]. Tr as 3 s 2 2 Ejercicio 4 Sea C la curva an E obtenido coma intersección de las superficies y = x% y == Guy. Consideremos los puntos de la curva p= (0,0,0) y q=(1,1,3). Pruebe que la longitud de C entre p y q es 5/3 y calcule Y 2 de + ydy + 2? ydz. e Ejercicio 5 Calcule la masa tota! de un muelle de densidad p(x,y,z) =2?, yue rodea ul cilindro de base 224? =r? y altura h y lo rodea 4 veces (Figura 1). ¿Sería capaz de reproducir la figura con la ayuda de Mathematica? INTEGRAL DOBLE Ejercicio 1 Se fotografía una piscina de buse el cuadrado [-2, 2] x [-2,2] con oleaje y resulta la gráfica de la Figura 2. Métodos de análisis gráfico proporcionan la ecuación de la superficie que resulta ser Figura 2: Piscina del Problema 1. 2=24 ye 39=w. Calcule el volumen total de la piscina. Ejercicio 2 Calcule el área de la región plana encerrada por: 2 a) La lemniscata (1? + 42)? = 24 b) La cardivide p =3(1-+cos0), O € [0,2%]. ),a>0. Pa e) El astroide a*/3 + y 13, a>0. d) La rosácea de 5 pétalos p= asen(58), 0 € [U,m]. Ejercicio 3 Calcule el volumen de las regiones sólidas limitadas por: 1 y el cilindro 3? +1? =x, 2 > 0, conocida como Bóveda de Viviani. =1.0 Y 0, y,el interior del cono y a) La esfera a+ yo 4 2? b) Los cilindros + =1 y%+ e) La semicsfera e? + y? + 32? +3y?, (trompo o helado). Ejercicio 4 Mediante un cambio de variable adecuado, calcule la integral doble ' ll Es dedy donde D D=((2,y) ER :2>0,y>0, 2+y<2). Ejercicio 5 En el recinto R= ((2,y) ER: y? < 1, 220, y > 0), determine las integrales impropias 2uy // yy Mí ay drdy. dzdy, a dy. lA see ers Hare 2 Utilice el cálculo de la integral doble impropia f f e" dedy para demostrar la igualdad 0 0 256 , e Ir / ora= XL, (0) TEOREMA DE GRE Ejercicio 1 Compruebe la igualdad del Teorema de Green con el campo vectorial F 2 dado por Fíe, y) = (374,29) y D la región plana comprendida entre la parábola y =4* y la recta y=1. Ejercicio 2 Calcule, mediante integrales de línea, el área de la región plano limitada por vi) La porción de la esfera 1? + y? + 2? = 16 exterior al paraboloide * + y? + 2= 16. vii) La región sólida limitada por y? +22=4(2+9) ey + 22=-—6(2- 6). viii) La porción de la esfera 2? +1? +2 =09 en el primer octante limitada por los planos 2 = 1, z y=xey=5zx. Ejercicio 3 Calcule la integral de superficie / ll pla, y, =JdS en los siguientes casos Ss a) p(s.1, 2) =4 con 5 = [0,0] x [e,d] x [e, $]. b) p(=,y, 2) = uy con S la porción del plano x+y+2=1 situado en el primer octante. e) pla,y, 2) =2x + y con $ el cilindro 24 y?=2,-1<:<1 d) p(e,y,2) =32+y? +2? con S la esfera centrada en el origen de radio 7. e) pla,y,2) = VD + 527 +58 con S la porción del paraboloide = =10— 2? —y? comprendida entre 5. los planos ==0 1 Ejercicio 4 Calcule el ftujo del campo vectorial Fs, y, 2) = (0, 1,2) a través del toro parametrizado por T=r(u,v) = ((4 cos v) cos u, (4 + cos w) sen u, sen), (1, u) E [0,21] x [0, 2]. Ejercicio 3 Calcule el flujo del campo vectorial F(x,y,z) = (1,9,2) a través de la superficie limitada -y=8, cony 20. TEOREMA DE STOKES Ejercicio 1 a) Verifique la igualdad del Teorema de Stokes calculando el ftujo del rotacional del campo vectorial sobre la semiesfera + —22=1, 230, h) Usando el apartado anterior, justifique que el flujo del rotacional de F sobre el paraboloide = = a Ejercicio 2 Verifique la igualdad del Teorema de Stokes con el campo vectorial F(2,y,2) = (2%, ay, 2*) y la superficie plana 2+y+2=1 que está dentro del cilindro a? +1? =2. Ejorcicio 3 Calcule la integral ' [Y

0 usando el método de z Lagrange y usundo el métudo de los coeficientes indeterminados (con yp(w) = J(u)e*"). Compare los resultados. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ejercicio 1 Resuclua por eliminación los siguientes sistemas de ccuaciones diferenciales 2(0=48), HOT a) 20) 30) + 2020), oa a A - me + de oo )=29(0) — cos(20). Ejercicio 2 Las ecuaciones del movimiento pora una partícula de masa m y corya eléctrica q bajo la influencia de un compo magnético uniforme B = BÉ son ma"(6) =eBy UD), my"(t) = -qBa'(t). . B Suponiendo que las condiciones iniciales son x(0) = ro, y(0) =0, 2"(0) =0, y'(0) =wro, conw= E demuestre que la trayectoria de la partícula es una circunferencia de radio rg con centro (279,0). Ejervicio 3. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales a'() = —2(8), y'(1) = tale) — ult), con la ayuda de la matriz exponencial. Ejervicio 4 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales matricialmente: a) (4) =-32(0) +2y(8), y (E) = -3a(0) + dy(t), 2(0) =0, y(0) =5. 3) (e) =yl8) +2(8), y (8) = (0) + (0), (4) = 2 (8) + yít), (0) =10, y(0) =12, (0) =-1. 2) 24(4) =w(8) + 2y(8), yl(£) = 3a(1) + 2y(t). d) (1) =2(1) +22(8), y(1) = (0) +v(0), 200 ==a(4) (8). Ejercicio 5 Resuelva, construyendo una solución particular con el método de los cocficientes indetermi- nados para sistemas, los siguientes sistemas de ecunciones diferenciales: a) 2/(t) =4a(1) + 24(t) —8t, y (€) =30(t) — y(t) + 243. ») 2'(1) = 4 (8) + 24(8), y (4) =30(8) — y(1) + er? e) 2a"(t) = —Gx(t) + 9y(H), y"(€) = 2x1t) — 2y(t) + AOsen(30), (0) = (0) = y(0) = y'(0) =0. Ejercicio 5 Con la ayudo de la transformada de Laplace calcule: e so 1% Da y] — at, on) Ed, o | A y, +0 (0 ls +0 y resuelva los siguientes ecuaciones integrales: 5 se a) 10 = sente / v(=) sen(2(t — hdr, db) 10 =1+/ y(r) cosít — rjdr. 0 o ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y TRANSFORMADA DE FOURIER Ejercicio 1 Resuelvo la DP El : re” u=u(u, y). (8) Ejercicio 2 Resuelva la EDP du. 0 cz ña "a His don Y =1 SEG = Md) Ejercicio 3 Resuelva, usando seperación de variables, la EDP du On a, a u(x,0) = 807%, (10) con lu condición de Cauchy que se indica. Ejercicio 4 Resuelvo, usando la transformada de Laplace, lo. EDP Du, Ou Zn =0, 11 E (1 con la condición inicial u(a,0) =0 y u[0,t) =t, siendo t > 0. Ejercicio 5 Resuelva, usando la transformada de Fourier con respecto a la variable espacial, lo EDP Ou Qu > DS u(x, 0) = PM 2, t € (00,00). (a) Es ReLsauon TATECRALES HE LINEA. + xy) = A eya) 94.4) ps echa quee pop orden: $ 3x-1 re _—. — BR 4 — (4, st-2) 1 t 0 prat - JU (0) YO de > flaca (st-2) Exc) y Va a Ñ A (1,8) de fort: ae (9-2) + 3e dt pes] DE AA ES ue A8E, el fa qe Ae sea rt ¡Era| Z Ejualaa + Coi 5) de d+ lady” Jay + ¿2 de IE vu=l6xy +5, ax Ez O yy pa Cdi contro » e esafian | Pp" qe yu 4) CN vectonal. dificuaiabl ten cenbun dad y definido en A " qu yy) aplicado coreo. Hr Tincare ; --A% y a + 5)> y Far teveciclira de 4 j b=2 S (aty”) , lay Df Vl= Chayo A, E) AM xy +5 a li-= a TES Hay 0 Y ARS 6 > Myol= 96) AR E ay tl SY ¿ l> TES Eset frea A 106)) eta - a At >» ul, 2 E) -Ulo, 14 - ale a A 5: ar Ae e q? Ejeccioto dy Ye y p.o, o) qa E) Ll de ya ES A a to (6,5 LA Qu te, el) A E (e | OA Jess 2Esa ma AS ol $ = LA 5 —= rs + $ ” La] uy 1? iS Yi +)- E Key As | á cnt, uE A $ A Y Y - ¡ + pá de > A mn. ere, he y