Transformada de Jordan, Apuntes de Álgebra Lineal

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Forma can ´onica de Jordan

Dolores Mart´ın Barquero

Universidad de M ´alaga

Algebra Lineal^ ´

Diagonalizaci ´on

Proposici ´on

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se tiene entonces:

(^1) A y At^ tienen los mismos autovalores.

(^2) Si λ es autovalor de A, entonces kλ lo es de kA.

(^3) Si λ es autovalor de A, entonces λ − k lo es de A − kIn.

(^4) Si λ es autovalor de A y A es inversible entonces λ−^1 lo es de A−^1.

(^5) Si A y B son matrices semejantes entonces tienen el mismo polinomio

caracter´ıstico y, por tanto, los mismos valores propios.

(^6) Si λ es autovalor de A, entonces λn^ es autovalor de An, para todo n ∈ N∗.

(^7) λ = 0 es autovalor de A si, y s ´olo si, Ker (A) 6 = { 0 } y entonces Ker (A) = P

(^8) Si {u 1 ,^ u 2 ,... ,^ ur }^ es un sistema de vectores propios no nulos asociados a

autovalores distintos entonces es linealmente independiente.

(^9) Si u es autovector de A asociado al autovalor λ entonces:

1 u es vector propio de kA asociado al autovalor kλ.

2 u es vector propio de A − kIn asociado a λ − k.

3 Si A es inversible, u es vector propio de A

− 1 asociado a λ

− 1 .

4 u es vector propio de A

n asociado a λ

n , para todo n ∈ N

∗ .

Forma can ´onica de Jordan

Teorema

Toda Matriz cuadrada A sobre un cuerpo K , algebraicamente cerrado, es semejante a

una matriz J diagonal por cajas denominada forma can ´onica de Jordan asociada a la

matriz A. Es decir, existe P in versible tal que J = PAP

− 1 es

Jn 11

(λ 1 )

Jn 12

(λ 1 )

Jn 1 k 1

(λ 1 )

Jn 21

(λ 2 )

Jn 2 k 2

(λ 2 )

Jnik i

(λi )

(donde tenemos k 1 bloques asociados al autovalor λ 1 , k 2 bloques asociados al

autovalor k 2 , etc.)

con cada

Jn ij

(λi ) =

λi 1 0 · · · 0

0 λi 1 0

. . .

0 0 · · · λi 1

0 0 0 · · · λi

nij ×nij

o bien Jn ij

(λi ) = (λi ) 1 × 1

si nij = 1 con λi los valores propios de A. Cada bloque Jn(λ) se llama bloque

elemental de Jordan de tama ˜no n asociado al autovalor λ.

Teorema (Teorema de la invarianza del rango)

Dada A una matriz cuadrada y J su forma can ´onica de Jordan, se tiene:

rang(J − λI) = rang(A − λI).

Proposici ´on

Dada A una matriz cuadrada de orden n y J su forma can ´onica de Jordan. El n ´umero

de bloques de orden i asociados al autovalor λ que aparecen en la forma can ´onica de

Jordan es:

n(λ, i) = rang(A − λIn)

i− 1 − 2rang(A − λIn)

i

• rang(A − λIn)

i+ 1 .

Exponencial de una matriz

Dada una matrix cuadrada A de orden n, definimos la exponencial de A como la matriz

e

A :=

A

0

A

1

A

2

A

k

k!

Si J es la forma can ´onica de Jordan asociada a la matriz A, con A = P

− 1 JP, entonces

e

A = P

− 1 e

J P. Por tanto, para calcular e

A utilizaremos la matriz de paso P y la

exponencial de la forma can ´onica de Jordan. As´ı si

J =

J 1

J 2

Jr

entonces

e

J

e

J 1

e

J 2

e

Jr

Ejemplo

Si J =

λ 1 0 0 0

0 λ 1 0 0

0 0 λ 0 0

0 0 0 α 1

0 0 0 0 α

, entonces E

J

e

λ e

λ eλ 2

0 e

λ e

λ 0 0

0 0 e

λ 0 0

0 0 0 e

α e

α

0 0 0 0 e

α