¡Descarga Análisis de Funciones: Crecimiento, Decrecimiento, Extremos y Curvatura y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Análisis de funciones
Crecimiento y decrecimiento
Para hallar cuándo una función es creciente y decreciente solo tenemos que derivar la función. Cuando la derivada es mayor a cero, es creciente y cuando es menor, decreciente. La derivada es cero cuando la función es constante.
𝑓′(𝑥) > 0 → 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓′(𝑥) < 0 → 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓′(𝑥) = 0 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Ejemplo: Hallar los intervalos en los que la función 𝑦 = 𝑥^2 + 2𝑥 − 4 es creciente y decreciente
Primero derivamos
𝑦 = 𝑥^2 + 2𝑥 − 4 𝑦′^ = 2𝑥 + 2 − 0 = 2𝑥 + 2
Y ahora resolvemos la inecuación.
Para que sea creciente
𝑓′(𝑥) > 0 2𝑥 + 2 > 0 2𝑥 > −
𝑥 >
Así el intervalo es (-1, ∞)
Para que sea decreciente
𝑓′(𝑥) < 0 2𝑥 + 2 < 0 2𝑥 < −
𝑥 <
Así el intervalo es (-∞, -1)
Podemos comprobar el resultado, hallando el gráfico
Puntos críticos
Son los puntos en que la función “cambia de sentido”. Es decir, pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa. Para hallarlos nada más hay que derivar e igualar a cero.
Para que sea un punto crítico entonces 𝑓′(𝑥) = 0
Retomando el ejemplo anterior
𝑓(𝑥)′^ = 0 2𝑥 + 2 = 0 2𝑥 = −
𝑥 =
Pero como que es un punto, debemos hallar la ordenada y cuando x=-
𝑦 = (−1)^2 + 2 ∗ −1 − 4 = −
Así el punto crítico sería (-1, -5). Como ya vimos en el gráfico
Máximos y mínimos
Como lo indica su nombre, son los máximos y mínimos valores que puede tomar una función. Solo los puntos críticos pueden ser máximos o mínimos, pero un punto crítico no siempre es máximo o mínimo. Para identificar si un punto crítico es máximo o mínimo debemos hallar la segunda derivada y evaluarla en ese punto. Así si es menor a cero, es un máximo y si es mayor a cero es un mínimo.
𝑓′′(𝑥) < 0 → 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓′′(𝑥) > 0 → 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
Considerando la función con la que veníamos trabajando. Esta solo tiene un punto crítico, pero debemos averiguar si esa es un máximo o un mínimo
Para eso, hallamos la segunda derivada
𝑦′^ = 2𝑥 + 2 𝑦′′^ = 2
(-∞,-^13 ) u (^13 , ∞)
Ahora para hallar cuándo es decreciente
9𝑥^2 − 1 < 0 9𝑥^2 < 1
𝑥^2 <
(− 13 ,^13 )
Para hallar los puntos críticos
9𝑥^2 − 1 = 0 9𝑥^2 = 1
𝑥^2 =
Hallando las ordenadas de ambos puntos, obtenemos los puntos
(− 13 , 29 ) y (^13 , − 29 )
Para hallar si esos puntos de críticos son máximos o mínimos lo evaluamos en la segunda derivada
𝑦′′ = 18𝑥
𝑦′′^ (−
Es un máximo
𝑦′′^ (
Es un mínimo
Para hallar cuándo es cóncava
18𝑥 < 0
𝑥 <
Es cóncava en (-∞,0)
Para hallar cuándo se convexa
18𝑥 > 0
𝑥 >
Es convexa en (0, ∞)
Para hallar el punto de inflexión
18𝑥 = 0
𝑥 =
Como la tercera derivada no es cero, entonces un punto de inflexión
Podemos hallar su ordenada reemplazando y obtenemos el punto (0, 0)
En el gráfico se observa todo lo hallado
- Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 10 x 5 un cuadrado de lado x, doblando convenientemente se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
El volumen de la caja está dado por
𝑉 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜
Graficando el problema, podemos obtener los valores en función a x
𝑉 = ( 50 − 20 𝑥 − 10 𝑥 + 4 𝑥^2 )𝑥
𝑉 = ( 4 𝑥^2 − 30 𝑥 + 50 )𝑥
Finalmente la función volumen
𝑉 = 4 𝑥^3 − 30 𝑥^2 + 50 𝑥
Derivando
𝑉′^ = 12 𝑥^2 − 60 𝑥 + 50
Hallando el punto crítico
12 𝑥^2 − 60 𝑥 + 50 = 0
−𝑏 ± √𝑏^2 − 4 𝑎𝑐
− − 60 ± √(− 60 )^2 − 4 ∗ 12 ∗ 50
Los puntos son entonces:
𝑥 = 3 , 94 𝑥 = 1 , 06
Hallamos la segunda derivada para ver si es un máximo o mínimo
𝑉′′^ = 24 𝑥 − 60
Evaluamos en ambos puntos
𝑉′′( 3. 84 )^ = 24. ( 3. 94 )^ − 60 = 34 , 56
Es un mínimo
𝑉′′( 1 , 06 ) = 24. ( 1 , 06 ) − 60 = − 35 , 56
Es un máximo
Entonces, x = 1,
