¡Descarga Funcions de vàries variables y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity!
TEMA 2:FUNCIONS DE VÀRIES
VARIABLES.
2.1.-Continuïtat de funcions.
CONCEPTES BÀSICS:
Funció escalar o real de n variables reals:
És una aplicació tal que:
f : A R
n R
( x 1 (^) ,..., xn ) f ( x 1 ,..., xn )
Funció vectorial de n variables reals:
És una aplicació tal que:
f : A R
n R
m
x ( f 1 ( x ),..., fm ( x ))
on x ( x 1 ,..., xn )
és un vector de R
n i f 1 (^) ( x ),..., fm ( x )
són un conjunt de
funcions escalars que anomenarem funcions components.
Exemples:
f : A R
2 R
x y x y
2 ( , ) 3
Aquesta funció és escalar ja que la imatge de qualsevol vector de R
2 és un escalar.
Per exemple si busquem la imatge dels vectors ( 1 , 2 ) i ( 4 , 3 ) :
2 f ( 4 , 3 ) 3 4 3 45
2 f
f : A R
2 R
3
( , ) , 3 ,ln( )
2 x x y x y y
x x y
Aquesta funció és vectorial ja que la imatge de qualsevol vector de R
2 és un vector.
Per exemple si busquem la imatge dels vectors ( 1 , 2 ) i ( 4 , 3 ) :
, 5 ,ln( 3 ) 2
, 1 31 2 ,ln( 1 2 ) 2
2 f
, 4 3 4 ( 3 ),ln( 4 3 ) 3
2 f
A més aquesta funció vectorial conté tres funcions components:
y
x f (^) 1 f x x y
2 2 ^ ^3 f^ 3 ln( x y )
Domini:
Definim el domini d’una funció de diverses variables f : A R
n R
m , com la
intersecció dels dominis de cadascuna de les funcions components.
Dom f x
R
n | f ( x )
} R
m on (^) i i
Dom f Domf
Exemple:
( , ) , 3 ,ln( )
2 x x y x y y
x f x y
Per tant tenim que:
y
x f (^) 1 f x x y
2 2 ^ ^3 f^ 3 ln( x y )
{( , ) R | 0 }
R
{( , ) R | 0 }
2 3
2 2
2 1
Dom f x y x y
Dom f
Dom f x y y
Dom f Dom f 1 Dom f 2 Domf 3
Llavors {( , ) | 0 , 0 }
2 Dom f x y R x y y
Exemple:
2 2 f ( x , y ) x y
Imatge 5
Corbes de nivell:
Donada una funció escalar f : A R
n R i una constant k R. Anomenem corba de
nivell k de la funció f , i la denotarem per C (^) k , al conjunt:
C (^) k x A
{ R
n | f ( x ) k }
Imatge 6 Imatge 7
Nota: en l’àmbit econòmic alguns exemples de corbes de nivell són les corbes
d’indiferència , les isoquantes,...
Recordem:
Recta y mx n on m és la pendent i n l’ordenada a l’origen.
Circumferència:
(^2 ) x a ( y b ) r on (a,b) és el centre i r el radi
Exemples:
1) f ( x , y ) 3 x y
Imatge 8 Imatge 9 Imatge 10
Igualem la funció a k i aïllem la y:
3 x y k y 3 x k
Donem valors a la k i observem que obtenim rectes:
k
k
k
k
k
y x
y x
y x
y x
y x
2 2 f ( x , y ) x y
Imatge 11 Imatge 12 Imatge 13
Llavors si les formes d’aproximar-nos a un punt són infinites, per tal que existeixi el
límit ha d’existir tots els límits sobre qualsevol trajectòria i a més aquests han de
coincidir.
Però no és possible calcular-los tots!, llavors donarem una eina per assegurar la no
existència de límit, o en cas que existeixi ens donarà una idea de quin seria el seu valor.
Podem aproximar-nos de moltes maneres a un punt ja sigui mitjançant: rectes,
paràboles,... Però ho farem amb coordenades polars.
Coordenades polars:
Les coordenades polars
defineixen una posició a
partir d’un angle i d’un
mòdul (o norma) r. Veïem
quina relació hi ha entre coordenades cartesianes i
coordenades polars:
sin
cos
0
0
y y r
x x r
on r 0 i 0 2
Nota: Recordem
sin cos 1
2 2
Exemples:
cos sin
(cos sin )
cos sin
(cos sin )
cos sin
( cos ) ( sin )
cos sin (^222022) ( 2 )
2
(,) ( 0 , 0 )^22 ( 1 ) 0 2 2 0
xy (^) r r r
lím r
r lím r r
r r lím x y
xy lím
(1)Canvi amb coordenades polars: (2)Utilitzem la propietat:
sin
cos
y r
x r cos sin 1
2 2
Aquest límit no existeix ja que depèn del paràmetre .
Imatge 15
cos sin 0 (cos sin )
cos sin
cos sin
cos sin
( 1 cos 1 ) ( 2 sin 2 )
( 1 cos 1 ) ( 2 sin 2 )
0
2 (^222) ( 2 ) 0
3 2
(^22220)
2 2
0
2 2
2
(^22) ( 1 ) 0
2
(,) ( 1 , 2 )
lím r r
r lím r r
r r lím
r r
r r lím x y
x y lím
r r r
xy r
(1)Canvi amb coordenades polars: (2)Utilitzem la propietat:
2 sin
1 cos
y r
x r cos sin 1
2 2
CONTINUÏTAT DE FUNCIONS:
Direm que una funció f : A R
n R
m és contínua si ho és en cada funció
component, és a dir, si les funcions f (^) i , on i=1,...,m són contínues.
Direm que una funció f i : A R
n
R és contínua en un punt x 0 A, si el límit quan
x tendeix a x 0 i el valor de la funció en el punt x (^) 0 coincideixen, és a dir:
0
lím fi fi x x x
Per tant una funció f (^) i serà contínua si ho és en tots els punts x 0 R
n .
Exemple:
1)Considerem la funció:
2 2
2
si x y
si x y x y
x y
f x y
La funció f(x,y) està definida a trossos, per ( x , y )( 0 , 0 ) correspon la funció (^) 2 2
2
x y
x y
que és continua en tots els punts menys els que anul·len el denominador però el punt
(0,0) no pertany al domini de definició, llavors és contínua. Per ( x , y )( 0 , 0 ) és la
funció constant 0 que sempre és contínua. Ara sols ens cal estudiar que passa al punt de
tall, veiem si el límit de la funció quan tendeix a (0,0) coincideix amb el valor f(0,0):
(,) ( 0 , 0 )
lím f x y f xy
Gradient:
Sigui f : A R
n R una funció de diverses variables i x x 1 ,... xn A
, definim el
vector gradient de f , i el denotarem per f ( x )
com:
x n
f x
x
f x f x
1
Exemple:
1) f ( x , y ) x y 2 x
2
2 2 2 ,
( , ) xy x y
f x y
x
f x y f x y
Matriu Jacobiana:
Sigui f : A R
n R
m una funció vectorial de diverses variables i x x 1 ,... xn A
definim la matriu Jacobiana de f ,com la matriu dels vectors gradients de les funcions
components, i ho denotarem per Jf ( x )
com:
n
m m m
n
n
m
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
f x
f x
f x
Jf x
1 2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
Exemple:
1) ( , ) sin( ), 2 ,ln( 2 ) 3
3 f x y x y y xy x y
x y x y
y x
x y
f x y
f x y
f x y
Jf x y
3 cos( )
2
3
2
1
Derivades parcials successives:
A igual com les funcions d’una variable on existia la derivada de la derivada, i així
successivament, el mateix passa amb les funcions de diverses variables.
Per tant podem definir la derivada parcial segona respecte la j-éssima component, o
respecte la variable x (^) j , de la funció x i
f x
amb j=1,...,n , com la derivada de la
derivada parcial x i
f x
considerant com a variable x (^) j i la resta de variables com a
constants. Ho denotarem per:
xi x j
f x
Altres notacions: ( )
'' f (^) ij x
2 Dijf x
2 x x x
f
i j
2 f x x (^) i xj
Nota: Denotarem la següent expressió de la següent manera:
2 1
2
1 1
2 ( ) ( )
x
f x
x x
f x
Matriu Hessiana:
Sigui f : A R
n R una funció de diverses variables i x x 1 ,... xn A
, definim la
matriu Hessiana de f , i ho denotarem per Hf ( x )
com:
2
2
2
2
1
2
2 2
2
2 1
2
1
2
1 2
2
2 1
2
n n n
n
x
f x
x x
f x
x x
f x
x
f x
x x
f x
x x
f x
x x
f x
x
f x
Hf x
