Geometria Diferencial de Corbes i Superf´ıcies
Grau de Matem`atiques, 2015–16, Semestre de tardor
Examen de reavaluaci´o, dimecres 3–2–2016, 9:00-13:00
1. Sigui α: (−ε, ε)→R3una corba 1-regular parametritzada per l’arc. Denotem per k
iτla curvatura i la torsi´o respectivament de α, i suposem que k(s)= 0 i k(s)=τ(s)
per tot s∈I. Finalment, denotem per (t, n, b) el triedre de Frenet de α. Es defineix
β(s) = ∫s
0
(t(u) + b(u)) du.
1. (1 punt) Trobeu un par`ametre arc per a la corba β(s).
2. (1 punt) Demostreu que la curvatura Kde la corba β(s) ´es K=1
2|k−τ|.
3. (1 punt) Comproveu que el valor absolut de la torsi´o de la corba β(s) ´es |k+τ
2|.
2. Considerem el conjunt S={(x, y, z)∈R3|z > 0, x2+y2= ln z}.
1. (1 punt) Demostreu que S´es una superf´ıcie regular.
2. (1 punt) Demostreu que l’aplicaci´o ϕ:R2→S,ϕ(u, v) = (u, v , eu2+v2) ´es una
parametritzaci´o regular global de S.
3. (1 punt) Calculeu la curvatura de Gauss de S.
3. Sigui S⊂R3una superf´ıcie regular i sigui α:I→Suna corba 1-regular. Es diu
que α´es una l´ınia de curvatura de Ssi per a tot s∈Ila derivada α′(s)∈Tα(s)S´es una
direcci´o principal de curvatura.
Siguin S1,S2dues superf´ıcies regulars de R3que es tallen al llarg de la tra¸ca d’una
corba 1-regular γ:I→R3. Sigui Nj:Sj→R3una camp normal unitari, j= 1,2. Per
tot s∈Idenotem per θ(s) l’angle entre N1(γ(s)) i N2(γ(s)).
1. (1 punt) Si γ(s) ´es l´ınia de curvatura de S1, proveu que l’angle θ(s) ´es constant si
i nom´es si γ(s) ´es una l´ınia de curvatura de S2.
2. (1 punt) Sigui R > 1 un nombre real i considerem el tor donat per l’equaci´o:
T={(x, y, z)∈R3|(√x2+y2−R)2+z2= 1}.
Els meridians de Ts´on les corbes m(s) = ((cos s+R) cos η , (cos s+R) sin η, sin s), on
η´es constant, i els paral·lels de Ts´on p(s) = ((cos η+R) cos s, (cos η+R) sin s, sin η),
on η´es constant. Proveu que tant els meridians com els paral·lels de Ts´on l´ınies
de curvatura.
4. 1. (1 punt) Definiu la segona forma fonamental d’una superf´ıcie parametritzada
regular.
2. (1 punt) Definiu la curvatura normal i geod`esica d’una corba 2-regular continguda
dins d’una superf´ıcie regular. Enuncieu i demostreu el teorema de Meusnier.