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GEOMETRÍA
Secundaria
Primer
Bimestre
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
Geometría
CAPÍTULO
1
Triángulos Rectángulos Notables
Recordemos el triángulo rectángulo.
1. PRINCIPALES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES
A
B
C
H
a
4a
BH =
AC
Catetos: a y b
Hipotenusa: c
Se cumple: a
2
2
= c
2
T. Pitágoras
Además: a + b = 90º
a
c
b
b
a
a
2a
a 3
a
4a
a 17
a
a
a 2
k 2
k 2
2k
24k
25k
7k
a
2a
a 5
3a
a
a 10
a
7a
5 2a
3k
5k
4k
2. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
APROXIMADOS
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
1. En la figura, calcule la distancia de “C” a AB si BC=8u.
Resolución:
A
B
C
BHC: notable de 30º y 60º
\ x = 4u
2. Calcule “AD” si: CD = 10u.
A
B C
D
Resolución:
Trazamos la altura DH
DHC notable de 37º y 53º:
DH = 6u
AHD notable de 30º y 60º
\ x = 12u
A
B C
H
D
x
A
B
H
C
x
EJERCICIOS RESUELTOS
3. Si: AC = 20u, calcule “EC”.
Resolución:
ABC: 5a = 20 → a = 4
luego: AB = 3(4) = 12
BC = 4(4) = 16
ABE: AB = BE = 12
Finalmente: EC = BC - BE
\ EC = 16 - 12 = 4u
Resolución:
4. En la figura, AD es bisectriz. Calcule “CD” si: BD = 2u.
A
B
C
E
5a=
3a=
4a
A C
B
E
A
B
C
D
ABD: notable de 30º y 60º
AD = 4u
ADC: isósceles
\ x = 4u
A
B
C
D
x
5. En la figura, AD = 8u. Calcule la proyección de BP
sobre BC.
A
B
D
P
C
30
º
30
º
Resolución:
BAD: notable de 30º y 60º
BD = 16u
BPD: notable de 30º y 60º
DP = 8u y BP = 8 3u
BP'P: notable de 30º y 60º
PP' = 4 3u
\ BP' = 4 3. 3 = 12u
(BP' proyección de BP sobre BC)
A
B
P'
P
C
D
30
º
30
º
30 º
60 º
60 º
60 º
60 º
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
Rpta:
Rpta:
A hora en tu cuaderno
Si: CD = 11 2 y AB = 10, calcule “AD”.
Resolución:
En el cuadrilátero AB = 2, BC = 10 y CD = 4.
Calcule “AD”.
Resolución:
7. En la figura, calcule “q”. 8. Se tiene un triángulo ABC, de modo que
m A = 37º, m C = 45º y AC=14. Calcule AB.
9. E n u n t r i á n g u l o A B C , s e u b i c a e l
p u n t o D e n AC , t a l q u e : A D = 2 B C ,
m D B C = 1 5 º y m C = 30º. Calcule m A.
10. Se tiene un triángulo ABC, de modo que:
6AB = 5AC y m A = 7º. Calcule m C.
A
D C
B
A D
B
C
A
B
C
M
q
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
ara reforzar
P
11. Se tiene el triángulo ABC, recto en B, en la región
interior se ubica el punto P, de tal manera que:
PB = PC y PA = BC. Calcule m PAB.
12. En un triángulo ABC se sabe que m A = 76º,
m C = 23º y AB + BC = 28u. Calcule “AB”.
3. Calcule la longitud del cuadrado PQRS si el lado
del triángulo equilátero mide 3 m.
a) 3 2(2 - 3) m
b) 3 3(2 + 3) m
c) 3 3(2 - 3) m
d) 3 2(4 - 3) m
e) 3 3(4 + 3) m
4. Calcule “BH” de la figura si: EC = 4 2.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1,5 e) 2,
1. En la figura, calcule “AE” si: EC = 6.
a) 9 2 b) 6 2 c) 9
d) 6 3 e) 4 2
2. En la figura, AC = 20. Calcule “BH”.
a) 5 2 b) 3 2 c) 5 2 /
d) 4 2 e) 5 3
A
B C
E
A C
B
N
H
45 º
30 º
B
A C
P S
Q R
A
B
H
C
E
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
Geometría
CAPÍTULO
2
Triángulos
a Emplear adecuadamente las propiedades de los triángulos de acuerdo a las condiciones.
a Establecer la diferencia que existe entre las líneas notables asociadas al triángulo.
a Identificar y reconocer los triángulos congruentes según los casos que se van a plantear.
El hombre de la prehistoria aplicó algunos conocimientos
geométricos al construir sus lanzas dándoles formas
puntiagudas (triangulares) para poder lograr mayor facilidad
en la caza.
Un conocimiento más profundo y ordenado del triángulo
lo tuvieron los egipcios en la construcción de las pirámides,
llegando a establecer la noción de igualdad de forma y
tamaño. Posteriormente serían usados para establecer
medidas angulares y distancias, por ejemplo, el ancho de
un río, la altura de las pirámides, etc.
INTRODUCCIÓN
El triángulo es la figura geométrica formada por la unión de
tres puntos no colineales mediante segmentos.
A
B
C
ÁNGULOS DETERMINADOS
Vértices : A, B y C
Lados : AB, BC y AC
Notación : D ABC
DEFINICIÓN
ELEMENTOS
a q
x
b
y
z
A
C
B
m
s
internos: a, b, q
m
s
externos: x, y, z
Nota
El perímetro (2p) es la suma de las medidas de
sus lados.
a
c
b
2p = a + b + c
CLASIFICACIÓN
Los triángulos son clasificados de acuerdo a las medidas de
sus ángulos y por la longitud de sus lados.
OBJETIVOS:
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
Triángulo Rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo recto.
b a
A
C
B
a
c
b
Catetos : AB y BC
Hipotenusa : AC
m b = 90 º
Nota
Pitágoras en su teorema utilizó la siguiente relación:
b
2
= a
2
+ c
2
Triángulo Oblicuángulo
Cuando el ángulo no mide 90º.
Triángulo Acutángulo
Es aquel que tiene sus ángulos internos agudos.
q
a
b
A C
B
0 º < a < 90 º
0 º < b < 90 º
0 º < q < 90 º
Triángulo Obtusángulo
Es aquel que tiene un ángulo obtuso.
90 º < a < 180 º
a
C
B
A
SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS
Triángulo Isósceles
Es aquel cuyos lados tienen medidas diferentes.
A
c
C
B
a
b
a ≠ b ≠ c AB ≠ BC ≠ AC
Es aquel que tiene dos lados de igual medida.
b
a a
A C
B
b AB = BC
Triángulo Equilátero
Es aquel que tiene sus tres lados de igual medida.
AB = BC = AC
A C
B
b b
b
PROPIEDADES
TEOREMA 1
En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos
internos es igual a 180º.
a + b + q = 180 º
a
b
q
Triángulo Escaleno
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
Ejemplos
1) Calcule x.
Resolución:
x 3x
2x
B
A C
De acuerdo al Teorema 1:
x + 2x + 3x = 180º , 6x = 180º
\ x = 30º
2) De la figura, calcule la medida del menor ángulo externo.
x
2x 2x
C
B
A
De acuerdo al Teorema 3:
x + 2x + 2x = 360º , 5x = 360º
\ x = 72º
3) De la figura, calcule x.
Resolución:
2x+20º
x
o
Resolución:
De acuerdo al Teorema 2:
2x + 20º = x + 30º , 2x - x = 30º - 20 º
\ x = 10º
5) El triángulo ABC es isósceles, AB = BC. Calcule a.
2 a- 50 º a
A C
B
Resolución:
De acuerdo a la Propiedad del Triángulo Isósceles:
2 a - 50 º = a
a = 50º
6) Calcule los valores enteros que puede tomar x si el
triángulo existe.
x
Resolución:
De acuerdo al Teorema 5:
3 - 2 < x < 3 + 2
1 < x < 5
\ x = {2, 3, 4}
7) De la figura, calcule a.
a
Resolución:
Usando la primera propiedad adicional:
a + 20º + 45º = 150º,
a + 65º = 150º
\ a = 85º
4) Calcule x + y.
x
30 º+a
y
20 º-a
De acuerdo a la tercera propiedad adicional
x + y = 30º + a + 20º - a
\ x + y = 50º
Resolución:
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
En la figura, AB = CD, calcule x. En la figura x+ y+ z > 270 º , calcule el máximo
valor entero de " q ".
En la figura, calcule x. En la figura, calcule "x" si: AB = AD = DC.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
B
A C
D
x
x
q
q
2 b
b
a
a
x
z
y
x
6 q
3 q
2 q
q
B
C
A
D
3x
2x
9x
Rpta:
Rpta:
Rpta:
Rpta:
esolviendo en clase
R
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
ara reforzar
P
11. En la figura AB = CD, calcule q. 12. En la figura, calcule "x" si: AB = EC. 3. En la figura, calcule:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. En la figura, calcule x.
a) 85 ° b) 95 ° c) 75 °
d) 80 ° e) 70 °
1. Calcule q.
a) 20 ° b) 10 ° c) 15 °
d) 30 ° e) 45 °
2. En la figura, AB = DC. Calcula x.
a) 26 ° b) 20 ° c) 18 °
d) 15 ° e) 10 °
B
A
C
D
q
B
A
C
E
x
A
B
C
q
q
C
B
D
5x x
3x
x
x + y
z
z
y
x
a
a
a
b
b
b
B
A
C
D
E
x
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
5. Los lados de un triángulo miden, 5; 12 y (x + 4).
Calcule el mayor valor entero que puede tomar "x"
para que el tríangulo exista.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
6. En la figura, AB = BC = AD. Calcule "x".
a) 60 ° b) 75 ° c) 80 °
d) 85 ° e) 90 °
7. En la figura, calcula el valor entero de BC.
a) 1 b) 4 c) 6
d) 3 e) 5
8. En la figura, AB = CD, calcule q.
a) 10 ° b) 12 ° c) 15 °
d) 5 ° e) 8 °
9. Los lados de un triángulo escaleno miden 4; 6 y
"2x". Si "x" es un número entero, calcule x.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) B, C y D
10. De la figura, calcule el máximo valor entero de
a + b + c.
a) 17 b) 16 c) 15
d) 12 e) 19
11. Calcule a si: AB = BC y QD = QC.
a) 22 º 30’ b) 30 º c) 45 º
d) 80 º e) 90 º
12. En la figura, calcule “x”.
a) 20 º b) 24 º c) 26 º
d) 28 º e) 30 º
B
C
D
A
x
x
B
A
C
2 a a
B
C
A
D
10 q
q
2 q
A
a
C
B
b c
P
Q
B
D
C
A
a
a
b
b
a
x
2x
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
Es el punto de intersección de las bisectrices internas del
triángulo.
I : Incentro
a
A C
B
a
b
b q
q
I
INCENTRO
Es la ceviana perpendicular al lado opuesto.
En el DABC
BH: Altura del DABC.
En el DABC
L: Mediatriz de AC
Es una recta perpendicular a un lado en su punto medio.
H: Ortocentro
A C
B
H
Es punto de intersección de las alturas.
B
A C
P
L
(rectángulo)
H C
B
(acutángulo)
A
H
B
C
ALTURA
ORTOCENTRO
MEDIATRIZ
Es el punto de intersección de las mediatrices de un
triángulo.
1) Ángulo determinado por dos bisectrices interiores.
O: Circuncentro
L
1
A C
B
L
2
L
3
O
x = 90 º +
q
2) Ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos
exteriores.
x = 90 º -
q
3) Ángulo determinado por las bisectrices de un ángulo
interior y un ángulo exterior.
A
C
B
E
b
a
a
q b
x
I: Incentro
C
A
a
B
a
q
b
b
x
I
CIRCUNCENTRO
PROPIEDADES
x =
q
a
a
q
b
b
x
E
B
A
C
(obtusángulo)
H C
A
B
Colegio “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
4) Ángulo determinado por una bisectriz y una altura que
parten de un mismo vértice.
x =
a - b
x = 45 º -
q
PROPIEDADES ADICIONALES
PROPIEDAD 1
b
a
x
a
q
b
b
a
a
b
BF : Bisectriz
b
A H
F
C
B
x
a
q
q
a
x
a
a
b
b b
x =
a + b
PROPIEDAD 2
Gauss es el primero en construir una geometría
(un modelo del espacio) en el que no se cumple
el V postulado de Euclides, pero no publica su
descubrimiento. Son Bolyai y Lobachevsky quienes,
de manera independiente y simultáneamente
publican cada uno una geometría distinta en la
que no se verifica tampoco el V postulado. ¿Qué
quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobachevski
parten de un objeto geométrico y establecen
sobre él unos postulados que son idénticos a los
de Euclides en Los Elementos , excepto el quinto.
Pretenden originalmente razonar por reducción
al absurdo: si el V postulado depende de los otros
cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice
exactamente lo contrario, he de llegar a alguna
contradicción lógica. Lo sorprendente es que no
se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere
decir dos cosas:
1 º El V postulado es independiente de los otros
cuatro, es decir, no puede deducirse de los
otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo
bien en considerarlo como un postulado.
2 º Existen modelos del espacio en los que, en
contra de toda intuición, por un punto que no
esté en una cierta recta no pasa una única recta
paralela a la dada. Esto es tremendamente
antiintuitivo, pues no podemos concebir tal
cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos
dibujar) una situación así, sin reinterpretar los
conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el
punto de vista lógico es perfectamente válido.
