guia de matematica para funciones, Ejercicios de Matemáticas

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Guía de Aprendizaje de Matemática 12°- Media Académica

El Mundo Maravilloso de la Matemática

Equipo Directivo

Dirección General

Guillermo Alegría

Director General de Educación

Victoria Tello

Subdirectora General de Educación

Académica

Anayka De La Espada

Subdirectora General Técnico

Administrativa

Directores Nacionales Académicos

Isis Núñez

Directora Nacional de Educación Media

Académica

Carlos González

Director Nacional de Educación Media

Profesional y Técnica

Agnes de Cotes

Directora Nacional de Jóvenes y Adultos

Carmen Reyes

Directora Nacional de Currículo y

Tecnología Educativa

Dirección Nacional de Educación Media Académica

Dirección Nacional de Educación Media Profesional y Técnica

Dirección Nacional de Jóvenes y Adultos

Contenido

• 1│ÁLGEBRA
• TEMA 1. INTERVALOS.................................................................................................................................
• ACTIVIDAD N°1
• TEMA 2. DESIGUALDADES LINEALES
• ACTIVIDAD N°2
• TEMA 3. DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
• ACTIVIDAD N°3.
• TEMA 4. DESIGUALDADES RACIONALES
• ACTIVIDAD N°4
• TEMA 5. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
• ACTIVIDAD N°5.
• AUTOEVALUACIÓN A-
• 2 │ CÁLCULO DIFERENCIAL
• TEMA 6. LAS FUNCIONES
• ACTIVIDAD N°6.1
• ACTIVIDAD N°.6.2
• TEMA 7. FUNCIONES
• 7.1 FUNCIÓN LINEAL
• ACTIVIDAD N°.7
• 7.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA
• ACTIVIDAD N°.7.2
• 7.3 FUNCIÓN RACIONAL.............................................................................................................................
• 7.4 FUNCIÓN IRRACIONAL
• 7.5 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
• TEMA 8. OPERACIONES CON FUNCIONES
• ACTIVIDAD N°8
• TEMA 9. FUNCIONES TRASCENDENTES......................................................................................................
• ACTIVIDAD N°9
• EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA.......................................................................................................................
• TEMA 10. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
• ACTIVIDAD N°10.1
• ACTIVIDAD N° 10.2
• TEMA 11. LA DERIVADA
• ACTIVIDAD N°
• AUTOEVALUACIÓN A-
• TEMA 12. ANÁLISIS COMBINATORIO 3│ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
• ACTIVIDAD N°12.
• BIBLIOGRAFÍA

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

 Aprender a aprender: Muestra capacidad permanente para obtener y aplicar nuevos

conocimientos y adquirir destrezas.

Desarrolla la habilidad para utilizar y relacionar situaciones reales que involucren diferentes tipos de

inecuaciones, funciones y la estocástica para producir e interpretar distintos tipos de

información.

 Matemáticas: Resuelve los conceptos matemáticos en la solución de situaciones de su

entorno.

 Tratamiento de la información y competencia digital: Participa en proyectos innovadores

mediante la aplicación de estrategias diversas con miras a la solución de situaciones de su

entorno.

 Autonomía e iniciativa personal: Manifiesta actitud perseverante hasta lograr las metas que

se ha propuesto.

RECURSOS DIDÁCTICOS

 Lápiz, borrador cuaderno, regla para imprimir en anexos.

 Calculadora

 Microsoft Office-Excel

PRESENTACIÓN

El COVID-19 nos ha cambiado la vida, ahora debemos estar en casa y no en las escuelas

como estamos acostumbrados. De esta manera evitamos un mayor contagio en las

comunidades, en nuestras familias y amigos. Para que continúe estudiando en su casa,

un grupo de docentes de matemática y los egresados de la Maestría en Didáctica de la

Matemática, dictada por la Universidad Autónoma de Barcelona; Auspiciada por la

SENACYT, hemos elaborado esta guía de aprendizaje con el fin de que nuestros

estudiantes sean competentes y descubran la importancia de la matemática y sus

aplicaciones en la naturaleza, en la vida diaria y en el mundo. El propósito fundamental

es mejorar la calidad en los procesos de enseñanza.

Las temáticas presentadas corresponden al currículo priorizado de duodécimo grado de

la educación media, del Bachiller en Ciencias, Humanidades, Informática, Agropecuaria,

Servicio y Gestión Institucional, Marítima, Industriales. En los talleres que hemos

seleccionado está considerada la problemática que existe en esta área y el papel

fundamental de la visualización en el desarrollo de problemas matemáticos.

La relación con la naturaleza, el contexto y la relación con otras ciencias, permiten que el

estudiante desarrolle la visualización explorando y observando lo que sucede con los

objetos que existen en su medio, que se valore a sí mismo y aborde problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue e integre los conocimientos tecnológicos,

humanísticos y científicos que faciliten el establecimiento de relaciones entre los

diferentes campos del saber humano.

A continuación, presentamos los conceptos básicos mediante una secuencia de

actividades (Introducción-I, Temas-T, Autoevaluación-A); que corresponden al año lectivo

2020, las mismas pueden ser desarrolladas en este cuadernillo o en su portafolio de

actividades.

Bienvenidos al “ Mundo Maravilloso de la Matemática”.

#aprendoencasa, ¡Juntos lo lograremos!

Docentes del Mundo Maravilloso de la Matemática.

a) 4 > 2 se lee: 4 es mayor que 2 (4 se encuentra a la derecha del 2)

b) 3 < 5 se lee: 3 es menor que 5 (3 se encuentra a la izquierda de 5)

En muchas ocasiones se utiliza el símbolo ≥ , ≤ , estos símbolos

describen lo siguiente:

 𝒂 ≥ 𝒃 Indica que: 𝒂 es mayor que 𝒃 o 𝒂 es igual a 𝒃, en forma más simple se dice

que, 𝒂 es mayor o igual que 𝒃.

 𝒂 ≤ 𝒃 Indica que: 𝒂 es menor que 𝒃 o 𝒂 es igual a 𝒃, en forma más simple se dice

que, 𝒂 es menor o igual que 𝒃.

Ejemplo 2 :

 𝑥 ≤ 8 se lee: 𝑥 es menor o igual a 8

Donde, 𝑥 representa la palabra números, lo que nos indica esta expresión es

números que cumplan la condición de ser menor o igual al número 8.

Las desigualdades que no incluyen el símbolo igual se denominan estrictas , y las

que lo incluyen se denominan no estrictas.

 Propiedad axioma de la tricotomía

Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales entre ellos solo se cumple una y solo una de las

siguientes relaciones:

Un punto 𝑏 estará entre 𝑎 y 𝑐, si y solo si

𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐; cuando se presente este caso, se pueden

definir estas dos relaciones mediante una sola

expresión utilizando una doble desigualdad de la

siguiente manera: 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 , con lo que se indica que

“ 𝒃 es mayor que 𝒂 y a la vez 𝒃 es menor que 𝒄 ”.

Lo anterior define un intervalo de recta en la cual 𝑏 puede adquirir distintos valores que

estén entre 𝑎 y 𝑐. A los números 𝒂 y 𝒄 se les llama extremos del intervalo.

Note que:

𝑎 𝒃 𝒄

 Intervalos

Un intervalo se define como el subconjunto de números reales que queda delimitado en

una relación de orden, por ejemplo: el intervalo formado por todos los números reales

mayores que el número cero y menores que el número dos, los números que delimitan el

intervalo se les llama extremos del intervalo.

En otras palabras, sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales (ℝ) con 𝑎 menor que 𝑏, un intervalo es el

subconjunto de números reales que están entre 𝑎 y 𝑏; donde a los números 𝑎 y 𝑏 se les

llama extremos del intervalo.

La siguiente tabla presenta las diferentes formas de expresar un intervalo; esta primera

tabla presenta intervalos que están delimitado en ambos extremos, tienen un punto de

inicio 𝑎 y otro punto de fin 𝑏, los cuales se pueden incluir o no dependiendo de lo que se

quiera expresar por medio de él, el punto 𝒂 se denominará extremo inferior o izquierdo del

intervalo, siendo este el inicio del intervalo, el punto 𝑏 será el extremo superior o derecho

del intervalo, el cual es el final del intervalo.

¿Cuándo

utilizamos

intervalos?

A menudo utilizas

intervalos, en muchas

situaciones y

actividades de tu

contexto, por ejemplo:

Cuando indicas la edad

de los ciudadanos que

pueden votar en las

elecciones

presidenciales.

Cuando calculas un

rango para estimar el

costo de unas zapatillas

que deseas comprar:

Cuesta entre B/.40.00 a

B/. 50.00.

Para indicar el

promedio de las

calificaciones de un

estudiante para estar

en el cuadro de honor

de tu colegio.

Recuerde: El intervalo incluye a todos los números que están entre 𝒂 y 𝒃.

2 < 𝑥 ≤ 6

1) Intervalo semi abierto por la derecha (incluye a todos los números entre 2 y 6, incluye al

2 y no incluye al 6)

2 ≤ 𝑥 < 6

También hay intervalos que están delimitados solo por uno de sus extremos, los cuales son

llamados intervalos no acotados.

Ejemplo 4 : el intervalo formado por todos los números reales mayores o iguales que el

número cinco 𝑥 ≥ 5. Si observamos este intervalo empieza con el número cinco y no tiene

un último número.

 Intervalos no acotados

Son intervalos que no tienen límite inferior o superior; para representar esto se utilizará el

símbolo ∞, el mismo se lee infinito, el cual indica que la sucesión de números continúa

indefinidamente, es decir, que hay un valor mayor a cualquier cantidad asignable.

Cuando vamos a indicar que la sucesión de números crece, se le pondrá el signo positivo

delante del símbolo, observe: + ∞ el cual se lee más infinito o infinito positivo, y si la

sucesión decrece indefinidamente se le pondrá el signo negativo delante del símbolo,

observe: −∞ se lee menos infinito o infinito negativo. Si no hay lugar a confusión se podrá

escribir simplemente: ∞ para referirse al más infinito.

Estos símbolos no representan un número real, por lo tanto, no se pueden hacer

operaciones aritméticas con ellos.

La segunda tabla que se presenta a continuación ejemplifica los intervalos no acotados. En

este tipo de intervalo nunca se podrá incluir el extremo representado por el infinito ya que

el mismo no es un número real.

0 3 6 7 8 4

1 2 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tabla N°2. Clasificación de intervalos no acotados, según notación de intervalo,

conjunto, desigualdad y gráfica.

INTERVALOS

INFINITOS

(NO ACOTADOS)

NOTACIÓN

DE

INTERVALO

NOTACIÓN DE

CONJUNTO

NOTACIÓN DE

DESIGUALDAD

NOTACIÓN

GRÁFICA

Formado por todos

los números

mayores que 𝑎

(𝑎, +∞) { 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 𝑎} 𝑥 > 𝑎

Formado por todos

los números

mayores o iguales

que 𝑎

[𝑎, +∞) { 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 𝑎 } 𝑥 ≥ 𝑎

Formado por todos

los números

menores que 𝑏

(−∞, 𝑏) { 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 𝑏 } 𝑥 < 𝑏

𝑏

Formado por todos

los números

menores o iguales

que 𝑏

(−∞, 𝑏] { 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤ 𝑏 } 𝑥 ≤ 𝑏

𝑏

Contiene todos los

números reales

{ 𝑥 ∈ ℝ / −∞ < 𝑥 < ∞}

−∞ < 𝑥 < ∞

Ejemplo 5: Represente en notación de desigualdad y notación gráfica los intervalos:

1. ( 4 , ∞)

2. [ 4 , ∞)

( ∞. 6

]

Solución:

1. 𝑥 > 4

////////////////

////////////

/////////

////////////

//////////////

𝑎

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−∞

+∞

𝑎

 Unión e Intersección con Intervalos

Ejemplo 6: Para los siguientes intervalos A= [-5,0) y B=

]

; determine la unión e

intersección de A y B.

Solución:

El intervalo A esta representado en color azul y el

intervalo B se ha representado en color rojo.

Pertenecen a la unión aquellos números que están

en A o B o en ambos.

Todo aquello que queda marcado sobre la recta, representa entonces A ∪ B, lo cual

podemos escribir de las siguientes formas:

 A ∪ B =

[ − 5 , 3

]

 A ∪ B = − 5 ≤ 𝑥 ≤ 3

 Notación gráfica A ∪ B

Pertenecen a la intersección aquellos números que estén en A y estén en B a la vez.

A ∩ B queda representado en la recta real solo por aquellos números que se han marcado

por ambas representaciones. Se puede escribir utilizando una de las siguientes formas:

A ∩ B = 𝑥 < 0 y 𝑥 > − 2 o utilizando la doble desigualdad − 2 < 𝑥 < 0

A ∩ B =

( − 2 , 0

)

A ∩ B =

Unión de conjuntos

Sea A y B dos intervalos, para

representar la unión de A y B, se

escribe A ∪ B.

A ∪ B queda representado por

todos los elementos que

pertenecen a A, o a B o a ambos. Lo

anterior lo podemos escribir como:

A ∪ B = { 𝑥 / 𝑥 ∈ A o 𝑥 ∈ B}

La unión del intervalo A y B en la

recta numérica es todo aquello que

queda marcado sobre la recta

luego de haber representado cada

intervalo.

Intersección de conjuntos

Sea A y B dos intervalos, para representar la

intersección de A y B.

Se escribe A ∩ B, al conjunto que representa todos

los elementos que están simultáneamente en A y

en B; en otras palabras, los elementos que son

comunes a ambos conjuntos.

Lo anterior se puede escribir como:

A ∩ B = { 𝑥 / 𝑥 ∈ A y 𝑥 ∈ B}.

La intersección de los intervalos A y B en la recta

real queda representada solo por aquellos números

que fueron marcados por ambos intervalos.

ACTIVIDAD N° 1

________ Apliquemos lo aprendido _______

I-Selección Única. Identificación de Intervalo. Coloque sobre la raya en blanco la

letra que contiene la respuesta correcta.

1) La representación en forma de intervalo de 𝒙 < 𝟏 es:

a. (−∞, 𝟏) b.  , 1  c.  1 ,  

2) La representación gráfica del intervalo

[

𝟑, 𝟒) es:

3) De las siguientes relaciones, ¿cuál es verdadera?

a. - 5 >- 7 b. - 5 < - 7 c. - 5 = - 7

4) Un ejemplo de intervalo semi abierto por la derecha es:

a.  3 , 4  b.  3 , 4  c.   3 , 4 

5) La representación como intervalo de es:

a. [−𝟑, 𝟓 , 𝟎, 𝟓] b. [−𝟐, 𝟓 , 𝟎, 𝟓] c. (−𝟐, 𝟓 , 𝟎, 𝟓)

6) Un ejemplo de intervalo cerrado es:

a.  1 , 0  b.   1 , 0  c.   1 , 0 

7) Al conjunto entre dos números se les denomina:

a. Desigualdad b. Intervalos c. Ley de La tricotomía.

3

4

3 4

• 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

a. b.