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Esta guía forma parte del tema 2 del curso de econometría i de tercer curso de la licenciatura de economicas en la universidad de zaragoza. El tema trata sobre los modelos estocásticos de series temporales univariantes, incluyendo procesos estocásticos lineales discretos, modelos de medias móviles (ma), procesos autorregresivos (ar) y modelos autorregresivos de medias móviles (arma). Se incluyen definiciones, propiedades, ecuaciones y ejemplos de cada uno de estos modelos.
Tipo: Apuntes
Subido el 30/09/2008
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Licenciatura: ECONOMICAS Asignatura: ECONOMETRÍA I
GUIA DEL TEMA 2: MODELOS ESTOCÁSTICOS DE SERIES TEMPORALES UNIVARIANTES
Autores: Jesús Mur; Ana Angulo; Teresa Aparicio
Departamento: ANÁLISIS ECONÓMICO Curso Académico: 2006/
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Zaragoza
yt = δ + ut + Ψ 1 u t (^) − 1 + Ψ 2 ut − 2 +...
donde δ^ ,^ Ψ^1 ,Ψ^2 son parámetros desconocidos; y ut^ ,^ u^ t − 1 ,^ ut − 2 ... es una
secuencia de perturbaciones aleatorias distribuidas idéntica e
independientemente con media 0 y varianzas σ^2 (RUIDOS BLANCOS)
yt = δ + φ 1 yt (^) − 1 + φ 2 yt (^) − 2 + ... + φ p yt (^) − p + ut −θ 1 u t (^) − 1 −θ 2 ut (^) − 2 − ...−θ q ut − q
E (^) ( y (^) t ) = E (^) ( δ + u (^) t − θ 1 ut − 1 )= δ ∀ t
( ) ( ) ( )
( )
(^2 2 ) 0 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1
t t t t t t t t t
E y E y E y E u u E u u u u t
γ δ θ θ θ σ θ
− − −
= ⎡⎣ − ⎤⎦ = ⎡^ − ⎤^ = ⎡^ − ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡⎣^ + − ⎤⎦ = + ∀
γ 1 = E ⎡⎣ ( yt − δ (^) )( yt (^) − 1 − δ) ⎤⎦ = E ⎡⎣( ut −θ 1 u t (^) − 1 )( ut (^) − 1 −θ 1 u t − 2 ) ⎤⎦= −θ σ 1 2 γ 2 = E ⎡⎣( yt − δ)( yt (^) − 2 − δ) ⎤⎦ = E ⎡⎣( ut − θ 1 u t (^) − 1 )( ut (^) − 2 − θ 1 ut − 3 )⎤⎦= 0 γ (^) j = 0 ∀ > j (^1) MA(1) memoria de 1 período
y (^) t = δ + u (^) t −θ 1 ut − 1
Las raíces de Θ^ (^ L^ )^ =^1 −^ θ 1 L =^0 deben caer fuera del círculo unidad:
1 1
L^1 1 θ 1 θ
= > ⇒ <
( )
1 1 2 1 (^1 2 ) 0 1 1 1 1
ρ γ^ θ σ θ γ σ θ θ
= = −^ = −
2 2 0
ρ γ 0 γ
= =
ρ (^) j = 0 ∀ j > 1
11 1 jj^0 j
φ ρ φ
= ≠ ∀
FACP NO se anula: Comportamiento amortiguado hacia cero
En general: AR(P):
Utilizando del operador de retardos: L
( ) 2 1 1 2 ... p − φ L − φ L − − φ p L yt = δ+ ut
Φ (^) ( L y ) (^) t = δ+ ut
Su módulo (la raíz positiva de^ a^2^^ +^ b^2 ) debe ser mayor que 1.
y (^) t = φ 1 y (^) t − 1 + φ 2 y (^) t − 2 + ...+ φ p y (^) t − p + δ + ut
( 1 −^ φ 1 L y ) t^ =^ δ+ ut
Las raíces de Φ^ (^ L^ )^ =^1 −^ φ 1 L =^0 deben caer fuera del círculo unidad:
1 1
L^1 1 φ 1 φ
= > ⇒ <
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 2 2 2 3 1 1 1 1 1 2 1 3
1 1 1 0 0
1 1 ...... 1 1
t t t t t t t t t t t t t t
i i t i t i i i
y y u u y u u u y u u u u y
u u
φ δ δ φ φ δ δ φ φ φ φ δ δ φ φ φ φ φ
δ φ δ φ φ
− − − − − − − − −
∞ ∞ − − = =
= + + = + + + + = = + + + + + + = = + + + + + + =
= + = + − ∑^ ∑
yt = φ 1 yt (^) − 1 + δ + ut
( )( ) ^ ( )
(^) ( )
(^) ( )
2 (^1 1 1 1 1 1 1 0 ) 1 2 2 2 (^2 2 1 1 2 1 1 1 0 ) 1 3 3 2 (^3 3 1 1 3 1 2 1 0 ) 1
1 1
1
1
1
....
t t t t t t t
t t t t t
t t t t t
j t t j t
E y y E y y E y u y
E y y E y u y
E y y E y u y
E y y E y
γ μ μ φ φ γ φ σ φ
γ φ φ γ φ γ φ σ φ
γ φ φ γ φ γ φ σ φ
γ φ
− − − −
− − −
− − −
− −
= ⎡⎣ − − ⎤⎦ = ⎡⎣^ ⎤⎦ = ⎡^ + ⎤= = ⎣ ⎦ (^) −
= ⎡^ ⎤= ⎡^ + ⎤= = = ⎣ ⎦ (^) ⎣ ⎦ (^) −
= ⎡⎣^ ⎤⎦ = ⎡^ + ⎤= = = ⎣ ⎦ (^) −
= ⎡⎣^ ⎤⎦ = ( ) ^
2 (^1 1 1 0 1 ) (^11)
j j ut yt j j φ γ φ γ φ σ − − φ ⎡ (^) + ⎤= = = ⎣ ⎦ (^) −
1 1 0 1 1 0 0 (^22) 2 2 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
.... j j j j
γ φγ ρ φ γ γ γ φ γ ρ φ γ γ
γ (^) φ γ ρ φ γ γ
= = =
= = =
= = =
FAC NO se anula. CORRELOGRAMA: Tendencia amortiguada hacia cero, sin llegar a anularse.
Es un sistema de ecuaciones cuyo número de parámetros desconocidos es igual al orden del proceso AR y que se obtienen a partir de la FAC:
Para un AR(1):
ρ 1 = φ 1
o sus estimaciones: r 1 =^ φ 1
1 1 1 jj^0 j^1
φ ρ φ
= = ∀ >
En general: ARMA(p,q):
Θ (^) ( L ) es el polinomio de retardos
Raíces de Φ^ (^ L )^ =^0 fuera del círculo unidad
Raíces de Θ^ (^ L )^ =^0 fuera del círculo unidad
2.4.1 Proceso ARMA(1,1)
Estacionario: si φ < 1 1
Invertible: si θ < 1 1
Φ (^) ( L (^) ) y (^) t = δ + Θ( L (^) ) ut
yt = δ +φ 1 yt (^) − 1 +φ 2 yt (^) − 2 +... +φ (^) p yt (^) − p + ut −θ 1 u t (^) − 1 −θ 2 ut (^) − 2 −... −θ q ut q −
yt = δ +φ 1 yt (^) − 1 + u (^) t −θ 1 u t − 1
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1 1
(^11)
t t t t t
t
E y E y u u E y
E y t
φ δ θ φ δ μ φ μ δ
μ δ φ
= (^) − + + − (^) − = (^) − + = +
= = ∀ −
Tanto la varianza como las autocovarianzas se pueden obtener más fácilmente a partir del modelo en desviaciones, equivalente al anterior:
Donde (^11)
yt (^) j y t (^) j yt j μ δ − − − φ = − = − −
( ) ^ ( ) 2 2 2 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 0 1 2 1 1
γ E y t μ E yt E φ yt ut θ ut
φ γ σ θ σ φ θ σ
− − = ⎡^ − ⎤= ⎡^ ⎤= ⎡^ + − ⎤= ⎣ ⎦ ⎢⎣^ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ = + + − (^2) ( 12 1 1 ) (^0 ) 1
1 2 1
σ θ φ θ γ φ
yt = φ 1 yt (^) − 1 + ut −θ 1 u t − 1
FACP (correlograma parcial) no se anula por la parte MA(1) del modelo. Comportamiento amortiguado hacia cero sin llegar a anularse.
2.4.2. PROCESO ARMA(p,q)
Generalizando:
Será invertible si lo es su parte MA
Será estacionario si lo es su parte AR
A partir de q, las autocovarianzas ( γ^ j ) y, por tanto, las
autocorrelaciones ( ρ^ j ) coinciden con el del proceso AR(p).
En el correlograma se aprecia un comportamiento irregular hasta q y, a partir de ahí, el comportamiento es el de un AR(p). Comportamiento amortiguado hacia cero sin llegar a anularse.
FACP (correlograma parcial) NO se anula por la parte MA(q) del proceso. Comportamiento amortiguado hacia cero sin llegar a anularse.
En economía muchas series son NO ESTACIONARIAS, pero pueden convertirse en ESTACIONARIAS a través de la DIFERENCIACIÓN
Al número de veces que es necesario diferenciar una serie para convertirla en estacionaria lo denominaremos d y diremos que dicha serie es I(d)
[ y^ t ~ I(d)]
y (^) t − y (^) t − 1 = (^) ( 1 − L (^) ) y (^) t = ∆ y (^) t = wt
( ) ( )
(^2 ) 2 1 2
1 1 2 2
t t t t t t
L y y L L y y y (^) − y −
− = ∆ − + = − +
Así:
2
~ (1) ~ ( 0 ) ~ ( 2 ) ~ ( 0 ) ~ ( ) ~ ( 0 )
t t t t d t t
y I y I y I y I y I d y I
→ ∆ → ∆ → ∆
