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Matem´aticas Empresariales 1 L.A.D.E.
Operaciones con matrices: propiedades
1. Suma de matrices
Para todas las matrices A, B y C de Mm×n se cumplen: [1.1] A + (B + C) = (A + B) + C [1.2] A + B = B + A [1.3] A + Om×n = A, donde Om×n es la matriz nula [1.4] A + B = A + C =⇒ B = C.
2. Producto de una matriz por un escalar
Para todos los n´umeros λ, μ ∈ R y todas las matrices A, B ∈ Mm×n se cumplen: [2.1] λ (μ A) = (λμ) A [2.2] (λ + μ) A = λ A + μ A [2.3] λ (A + B) = λ A + λ B [2.4] 1 A = A
3. Producto de matrices
Para todas las matrices A, B y C para las que tengan sentido los productos y sumas y indicados:
[3.1] A · I = I · A = A, donde I es la matriz identidad. [3.2] A · (B · C) = (A · B) · C [3.3] (A + B) · C = A · C + B · C [3.4] A · (B + C) = A · B + A · C
4. Inversi´on de matrices
Para todas las matrices A, B ∈ Mn invertibles y para todo n´umero λ 6 = 0: [4.1] (A−^1 )−^1 = A [4.2] (λ A)−^1 = (^) λ^1 A−^1 [4.3] (A · B)−^1 = B−^1 · A−^1 [4.4] Si A · B = I entonces B = A−^1
5. Trasposici´on de matrices
Para todas las matrices A y B y todo n´umero λ ∈ R para las que tengan sentido los productos y sumas y indicados:
[5.1] (At)t^ = A [5.2] (A + B)t^ = At^ + Bt [5.3] (λ A)t^ = λ At [5.4] (A · B)t^ = Bt^ · At [5.5] Si A es cuadrada e invertible (A−^1 )t^ = (At)−^1
6. Determinantes
Para todas las matrices cuadradas A, B ∈ Mn y todos los n´umeros λ ∈ R:
[6.1] det(A · B) = det(A) det(B) [6.2] det(A−^1 ) = (^) det(^1 A)
[6.3] det(λ A) = λn^ det(A) [6.4] det(At) = det(A) [6.5] Si A tiene una fila (o columna) nula, entonces det(A) = 0.
