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MATRICES
1.1 Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas y columnas, se denota con las letras mayúsculas A,B,C,.... El conjunto de elementos o componentes se denota por aij y una matriz por:
A = [aij]mxn = (aij)mxn ,
donde los subíndices indican i= la fila en la que está la componente y j la columna correspondiente. i.e.
A=(aij )mxn =
n n nm nxm
m
m
a a a
a a a
a a a
1 2
21 22 2
11 12 1
donde aij ocupa la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna.
1.2 Orden de una matriz El orden de una matriz está dado por el producto indicado mxn donde m y n son los sub índices de la matriz tales que m indica el número de filas y n el número de columnas.
Ejemplo:
El orden de la matriz A=
es 2x4.
El conjunto de matrices de orden mxn con coeficientes k se denota por kmxn, es decir:
kmxn={A/A=(aij)mxn}
Ejemplo: Escribir explícitamente la matriz: a) A = (aij) k2x2/ aij = 2i-j
b) B =(bij) k3x2/ bij = min{i,j}
Solución
Escribiremos las componente de cada matriz de acuerdo a lo que esta definido cada una de la matrices. a) Tenemos que A = (aij) k2x2/ aij = 2i-j entonces la matriz
A =
(^212222)
11 12
a a x
a a
Donde: a 11 = 2-1 = 1 ; a 12 = 2-2 = 0 ; a 21 = 2(2)-1 = 3 ; a 22 = 2x2-2 = 2
A =
b) Como la matriz B esta definido por B =(bij) k3x2/ bij = min{i,j} entonces
B =
(^313232)
21 22
11 12
b b x
b b
b b
de donde tenemos que
b 11 = 1 ; b 12 = 1 ; b 21 = 1 ; b 22 = 2 ; b 31 = 1 ; b 32 = 2
B =
x
1.3. Tipos de Matrices:
1.3.1.- Matriz Rectangular.- La matriz de orden mxn con m n, es una matriz rectangular.
Ejemplo: Una matriz rectangular de orden 2x4 es
B =
1.3.2.- Matriz Columna.- La matriz de m filas y una sola columna se denomina matriz columna de orden mx1. Ejemplo:
1.3.6.- Matriz Identidad.- Una matriz identidad denotado por I, es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son todos, la unidad y los demás elementos son ceros. i.e
I = (aij)nxn es una matriz identidad si y solo sí aij =
sí i j
sí i j
Ejemplo: Una matriz identidad de orden 3x3 es
I=
x
1.4. Igualdad de Matrices.
Definición.- Sea las matrices A=(aij)mxn y B=(bij)mxn, Se dice que la matriz A es igual a la matriz B sí y solo si son del mismo orden y sus respectivos componentes son también iguales. i.e. (aij)mxn = (bij)mxn si y solo si aij = bij
Ejemplo. Dadas las matrices A y B tales que
A = (aij) k2x2/ aij = 2i- (-1)j^ y B =
x y
x y
Hallar los valores de x e y sí A = B.
Solución.
La matriz A expresado explícitamente es A =
como A =B entonces los
respectivos elementos de la matriz son iguales, es decir: x – y = 3 3x – y = 5
de donde resolviendo el sistema tenemos que: x = 1 ; y = -
1.5 Adición de Matrices.
Definición.- Dadas dos matrices A = [aij]mxn y B = [bij]mxn, se denomina suma de A y B a otra matriz
C = [cij]mxn, tal que cij = aij + bij
donde [cij]mxn = [aij]mxn + [bij]mxn = [aij+ bij]mxn
La adición de matrices es una ley de composición interna tales que un par de matrices del mismo orden hace corresponder en otra matriz del mismo orden llamado matriz suma. i.e +: Kmxn^ x Kmxn^ Kmxn ([aij],[bij]) [cij] = [aij] + [bij]
Ejemplo :
Sean las matrices
A=
x
y B =
x
entonces la matriz suma C es
C =
x
C =
x
Propiedades
Sí A , B y C Kmxn, entonces se cumple: i) ( A + B) Kmxn ii) A + B = B + A iii) A + (B + C) = (A + B) + C
iv) Kmxn^ tales que A + = A , A Kmxn
Solución.
Para poder resolver esta ecuación matricial se procede de la misma forma que se realiza en una ecuación lineal en R, para ello se aplica toda las propiedades de la adición y la multiplicación es decir: a) 3(X – 2A) = 5(B - C) + 2(X – A - B) 3X – 6A = 5B - 5C + 2X – 2A - 2B X = 4A + 3B - 5C
X = 4
x
x
x
X =
x
x
x
X=
X =
x
b) Se procede en forma similar que en la parte a)
X = A – 7B - 8C
X =
x
1.7. Multiplicación de Matrices.-
Definición.- Sean las matrices A=[aij]mxp y B=[bij]pxn, dos matrices el producto de A y B denotado por AxB = AB es otra matriz C =(cij)mxn cuyos elementos de encuentran de la siguiente manera: Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aiP bPj
es decir :
cij = [ai1 ai2 ...aip] x
pj
j
j
b
b
b
2
1
cij es igual a la i-ésima fila de la matriz A por la j-ésima columna de la matriz B
cij =
p
k
aik bkj
1
Propiedades. Sí A , B y C son matrices de dimensiones compatibles(conformables) respecto de la suma y producto, entonces se tiene :
i) (AB)C = A(BC) ii) A(B +C) = AB + AC iii) AB BA iv) I Knxn^ tal que AI = IA = A ; I es la matriz identidad
Observación : El producto de matrices AB esta definido si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Ejemplo. Determinar la matriz E = ABC donde:
A =
x
, B =
x
y C =
x
Solución.
1.8.- Matriz Transpuesta.
Definición.- Dada una matriz A de orden mxn, se llama matriz transpuesta de A ó traspuesta de la matriz A, a la matriz denotado por At, de orden nxm cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por las columnas en la matriz A. Ejemplo.
1.- Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B = A + At^ es una matriz simétrica. 2.- Si A es una matriz simétrica entonces la matriz B definida por B = A , R es una matriz simétrica.
Ejemplo.
Sea la matriz A =
x
probar que la matriz B = A + At^ es simétrica.
Prueba.
Como la matriz A =
x
entonces At^ =
x
de donde la
matriz definido por B = A + At^ es B =
x
x
B =
x
es una matriz simétrica puesto que B = Bt
1.9.2.- Matriz Antisimétrica.- Sea una matriz cuadrada A = (aij)nxn , se dice que la matriz A es antisimétrica si y solo si es igual al opuesto de su transpuesta. i.e. A es antisimétrica si y solo si A = - At
Proposición.
1.- Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B = A - At^ es una matriz Antisimétrica.
2.- Si A es una matriz Antisimétrica entonces la matriz B definida por B = A , R es una matriz Antisimétrica.
3.- Toda matriz cuadrada se puede componer o expresar como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. i.e.
A = 21 As + 21 Aa donde As = A + At^ y Aa = A - At^ A Knxn
Ejemplo.
Descomponer la matriz A =
x
como la suma
de una matriz simétrica y otra matriz antisimética.
Solución.
Sabemos que A = 21 As + 21 Aa entonces se tiene que:
2
(^1) As = 2
1
x
x
2
(^1) As =
(^233)
2 9
7
2
9 2
13
2
7 2
13
x
es una matriz simétrica.
2
(^1) Aa = = 2
1
x
x
2
(^1) Aa = =
(^233)
3 2
7
2
3 2
3
2
7 2
3
x
es una matriz antisimétrica
A =
(^233)
2 9
7
2
9 2
13
2
7 2
13
x
(^233)
3 2
7
2
3 2
3
2
7 2
3
x
x
1.9.3.- Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A, se dice que es una matriz diagonal si los elementos de la diagonal son no todos iguales a cero y los demás son todos ceros. i.e.
D = (dji)nxn es una matriz diagonal si i solo sí dji =
sí i j
i sí i j
Superior
1.9.6.- Matriz Triangular Inferior.-La matriz cuadrada A = (aij)nxn cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular inferior. i.e. A = (aij)nxn es Triangular Inferior si i solo si aij = 0 , i < j
La matriz A =
es una matriz Triangular inferior
1.9.7.- Matriz Periódica.- Sea la matriz cuadrada A = (aij)nxn , sí para un número entero y positivo p se cumple que Ap+1^ = A , se dice que A es una matriz periódica de periodo p.
Propiedad.
Si A es una matriz periódica de periodo p y sea q = mp + 1 entonces A es una matriz periódica de periodo mp. i.e.
Sí Ap+1^ = A entonces Amp + 1^ = A
Ejemplo.
Sí A es una matriz periódica de periodo igual a 4. Hallar el periodo y calcular la matriz A^101. Solución.
1.9.8.- Matriz Idempotente.- Una matriz cuadrada A, es idempotente si A es una matriz periódica de periodo igual a uno. i,e. Una matriz A Knxn^ es Idempotente si i solo si A^2 = A.
1.9.9.-Matriz Nilpotente.- Una matriz cuadrada A, es nilpotente si para algún k 2 se cumple que Ak^ = 0
1.9.10.- Matriz Involutiva.- Una matriz A Knxn^ es Involutiva si i solo si A^2 = I , con I Knxn^ que es la matriz identidad
Capitulo 2
2. DETERMINANTES
2.1.- Definición.- Determinante es un número real o escalar r asociado a una matriz cuadrada A y que se denota por A = det(A) = D(A) i.e. La determinante de una matriz cuadrada es una función definido por det: Rnxn^ R / r = A.
Por inducción se tiene:
i) Para n = 1, A = (a 11 )1x1 ; entonces A = a 11
ii) Para n = 2, A = 21 22
11 12
a a
a a
; entonces A = a 11 a 22 – a 21 a 12
iii) Para n = 3, A =
(^31323333)
21 22 23
11 12 13
a a a x
a a a
a a a
; entonces
A = a 11 32 33
22 23
a a
a a
21 23
a a
a a
21 22
a a
a a
A = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 ) – ( a 31 a 22 a 13 + a 21 a 12 a 33 + a 32 a 23 a 11 )
