Diseño de Controladores con Observador de Estado: Aplicaciones y Ejemplos, Resúmenes de Sistemas de Control

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DISEÑO DE CONTROLADORES

CON OBSERVADOR DE ESTADO

Función de transferencia del controlador basado en

observador para un sistema regulador

Sea el sistema definido por:

𝒙^ ሶ 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝑢(𝑡)

𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙(𝑡)

Supóngase que el sistema es completamente observable y usando el control 𝑢 = −𝑲𝒙෥, las ecuaciones para el

observador de estado están dadas por:

ሶ ෥𝒙 𝑡 = 𝑨 − 𝑲 0

𝑪 − 𝑩𝑲 ෥𝒙 𝑡 + 𝑲 0

𝑦(𝑡)

Aplicando transformada de Laplace y sustituyendo U(s) en

ሶ ෩ 𝑿 𝑠 , la función de transferencia queda:

𝑈(𝑠)

−𝑌(𝑆)

=

𝑛𝑢𝑚

𝑑𝑒𝑛

= 𝑲 𝑠𝑰 − 𝑨 + 𝑲 0

𝑪 + 𝑩𝑲

− 1 𝑲 0

Nota: La matriz del controlador – observador puede ser o no estable.

SOLUCIÓN

Para el sistema, el polinomio característico es:

𝑠𝑰 − 𝑨 =

𝑠 − 1

− 20. 6 𝑠

= 𝑠

2

− 20. 6 = 𝑠

2

• 𝑎 1

𝑠 + 𝑎 2

Entonces:

𝑎 1

= 0 , 𝑎 2

= − 20. 6

El polinomio característico deseado es:

𝑠 − 𝜇 1

𝑠 − 𝜇 2

= 𝑠 + 8 𝑠 + 8 = 𝑠

2

• 16 𝑠 + 64 = 𝑠

2

• 𝛼 1

𝑠 + 𝛼 2

Por tanto:

𝛼 1

= 16 , 𝛼 2

= 64

La matriz de observabilidad, es:

𝑵 = (^) 𝑪

∗

𝑨

∗

𝑪

∗

⋯ 𝑨

∗ 𝑛− 1

𝑪

∗

Para la determinación de la matriz de ganancias del observador, se usa:

𝑲 0

= 𝑾𝑵

𝑇 − 1

𝛼 2

− 𝑎 2

𝛼 1

− 𝑎 1

=

𝑎 1

1

1 0

1 0

0 1

− 1

64 + 20. 6

16 − 0

=

0 1

1 0

1 0

0 1

− 1

84. 6

16

𝑲 0

=

0 1

1 0

84. 6

16

=

16

84. 6

SOLUCIÓN

La ecuación del observador se obtiene mediante:

ሶ ෥𝒙 𝑡 = 𝑨 − 𝑲 0

𝑪 − 𝑩𝑲 ෥𝒙 𝑡 + 𝑲 0

𝑦(𝑡)

Entonces:

ሶ 𝑥 ෤ 1

ሶ 𝑥 ෤ 2

=

0 1

20. 6 0

−

16

84. 6

1 0 −^

0

1

29. 6 3. 6

𝑥෤ 1

𝑥 ෤ 2

16

84. 6

𝑦

ሶ 𝑥 ෤ 1

ሶ 𝑥 ෤ 2

=

− 16 1

− 93. 6 3. 6

𝑥 ෤ 1

𝑥 ෤ 2

16

84. 6

𝑦

la función de transferencia del controlador-observador es:

𝑈(𝑠)

−𝑌(𝑆)

= 𝑲 𝑠𝑰 − 𝑨 + 𝑲 0

𝑪 + 𝑩𝑲

− 1

𝑲 0

𝑈(𝑠)

−𝑌(𝑆)

= (^29). 6 3. 6

𝑠 + 16 − 1

93. 6 𝑠 + 3. 6

− 1

16

84. 6

=

778. 2 𝑠 + 3690. 7

𝑠

2

• 19. 6 𝑠 + 151. 2

La figura muestra el diagrama de bloque del sistema.

Función de transferencia del controlador basado

en un observador de orden mínimo

Si se sabe que, el observador de orden mínimo también se representa mediante:

ሶ 𝜼^ ෝ = 𝑨 22

− 𝑲 0

𝑨 12

𝜼ෝ + 𝑨 22

− 𝑲 0

𝑨 12

𝑲 0

• 𝑨 21

− 𝐊 0

𝑨 11

𝒚 + (𝑩 2

− 𝑲 0

𝐁 1

)𝒖

donde:

ෝ𝜼 = ෝ𝒙 2

− 𝑲 0

𝑦 = ෝ𝒙 2

− 𝑲 0

𝑥 1

ෝ𝒙 2

son los estados no medibles y 𝑥 1

el estado medible. Si se define:

෡ 𝑨 = 𝑨 22

− 𝑲 0

𝑨 12

෡ 𝑩 =

መ 𝐴𝑲 0

• 𝑨 21

− 𝐊 0

𝑨 11

෡ 𝑭 = 𝑩 2

− 𝑲 0

𝐁 1

Realizando las sustituciones necesarias, resulta que:

𝑢 = −𝑲 𝑥ො = −𝑲 2

𝜼ෝ − 𝐾 1

• 𝑲 2

𝑲 0

se tiene, entonces:

ሶ 𝜼 ෝ =

෡ 𝑨 −

෡ 𝑭𝑲 2

ෝ𝜼 +

෡ 𝑩 −

෡ 𝑭(𝐾 1

• 𝑲 2

𝑲 0

) 𝑦

DISEÑO DE SISTEMAS REGULADORES CON OBSERVADORES

Para sistemas reguladores sometidos a condiciones iniciales y error en el

vector de observación, el procedimiento de diseño es el siguiente:

1. Obtener un modelo en espacio de estado de la planta.

2. Escoger los polos en lazo cerrado deseados tanto para la asignación de

polos como para el observador.

3. Determinar la matriz de ganancia de realimentación K y la del

observador K

0

4. Utilizando K y K

0

, deducir la función de transferencia del controlador –

observador. Si es un controlador estable, comprobar la respuesta para

la condición inicial dada. Si la respuesta no es aceptable, ajustar los

polos en lazo cerrado y/o los polos del observador hasta obtener una

respuesta aceptable.

EJEMPLOS

Sea el sistema regulador mostrado en la Figura. La función de transferencia de la planta es

𝐺 𝑠 =

10 (𝑠 + 2 )

𝑠(𝑠 + 4 )(𝑠 + 6 )

Utilizando el método de asignación de polos, diséñese un controlador de forma tal que cuando el

sistema está sujeto a la siguiente condición inicial

𝑥 =

1

0

0

, 𝑒 0 =

1

0

donde x es el vector de estado para la planta y e es el vector error del observador, la máxima sobre

elongación de y(t) es del 25 al 35 % y el tiempo de asentamiento es alrededor de 4 seg. Suponga que

se utiliza el observador de orden mínimo. (Se considera que sólo la salida y es medible.)

SOLUCIÓN

Paso de diseño 2. Escoger los polos en lazo cerrado deseados para la asignación

de polos. Seleccionar los polos del observador deseados. Como primer intento se

seleccionan los polos en lazo cerrado deseados en:

y se escogen los polos del observador deseados en 𝑠 = − 10 y 𝑠 = − 10

Paso de diseño 3. Determinar la matriz de ganancia de realimentación del estado

K y la matriz de ganancia del observador Ke. Usando Matlab, resulta:

𝑒

SOLUCIÓN

Paso de diseño 4. Se determina la función de transferencia del controlador

observador. La función de transferencia del controlador observador está dada por:

𝑐

− 1

Utilizando Matlab, el resultado es:

𝑐

2

• 73. 5 𝑠 + 125

2

• 17 𝑠 − 30

El controlador es inestable. Si la ganancia del sistema es pequeña, el sistema puede

hacerse también inestable. Un sistema de control de esta naturaleza no es ni

deseable ni aceptable, por lo que se necesita modificar la localización de los polos

en lazo cerrado y/o de los polos del observador

SOLUCIÓN

SEGUNDA PRUEBA.

Como antes, se mantienen los polos en lazo cerrado deseados para la asignación de

polos pero se modifica la posición de los polos del observador como sigue:

Usando Matlab, resulta:

𝑒

La función de transferencia del controlador observador queda como sigue:

𝑐

2

• 11. 2125 𝑠 + 25. 3125

2

• 6 𝑠 + 2. 1406

El controlador es estable. El sistema es estable para cualquier ganancia positiva.

SOLUCIÓN

La respuesta del sistema a la condición inicial dada, se obtiene a partir de las

siguientes ecuaciones:

Ecuación del espacio de estado y del error para el observador de orden mínimo.

2

22

𝑒

12

Con la condición inicial:

Las curvas de respuesta se obtiene con Matlab.

DISEÑO DE SISTEMAS REGULADORES CON OBSERVADORES

COMENTARIOS:

1. Al diseñar un sistema regulador, observar que si los polos dominantes del

controlador se ubican suficientemente lejos a la izquierda del eje 𝑗 , los

elementos de la matriz de ganancia de realimentación del estado 𝑲 se harán

grandes.

2. Grandes valores de la ganancia hacen grande la salida del actuador, dando lugar a

la saturación. Entonces, el sistema diseñado no se comportará como se espera.

3. También, al colocar los polos del observador suficientemente lejos a la izquierda

del eje 𝑗, el controlador observador se hace inestable, aunque el sistema en lazo

cerrado es estable. Un controlador observador inestable no es aceptable.

4. Si el controlador observador se hace inestable, mover los polos del observador a

la derecha en el semiplano izquierdo del plano s hasta que se estabilice.

5. También, la localización de los polos en lazo cerrado deseados pueden tener que

modificarse.

DISEÑO DE SISTEMAS REGULADORES CON OBSERVADORES

… COMENTARIOS:

6. Obsérvese que si los polos del observador se colocan suficientemente lejos a la

izquierda del eje j, el ancho de banda del observador aumentará y originará

problemas de ruido.

7. Si hay un problema de ruido serio, los polos del observador no deberían

colocarse demasiado lejos a la izquierda del eje j.

8. El requisito general es que el ancho de banda debería ser suficientemente bajo

para que el ruido del sensor no se convierta en un problema.

9. El ancho de banda del sistema con el observador de orden mínimo es más

grande que con el observador de orden completo, ya que los polos múltiples del

observador se sitúan en el mismo lugar para ambos observadores.

10. Si el ruido del sensor es un problema serio, se recomienda utilizar un observador

de orden completo.