Diseño y Simulación de un Sistema de Control mediante Métodos de Espacio de Estado, Resúmenes de Sistemas de Control

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DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE

CONTROL MEDIANTE MÉTODOS DE ESPACIO

DE ESTADO

DISEÑO DE CONTROLADORES POR ASIGNACIÓN

DE POLOS CON REALIMENTACIÓN DE ESTADO

SISTEMA REGULADOR

Se denomina así al sistema que no tiene entrada de referencia, o si la

tiene ésta no varía.

ASIGNACIÓN DE POLOS MEDIANTE LA REALIMENTACIÓN DE ESTADO Sea el modelo de planta lineal e invariante con el tiempo que se describe mediante las ecuaciones de estado : 𝒙 ሶ 𝑡 = 𝐴𝒙 𝑡 + 𝐵𝒖(𝑡) 𝒚 𝑡 = 𝐶𝒙 𝑡 + 𝐷𝒖(𝑡) Donde:  x(t) = vector de estado de dimensión n  u(t) = vector de control de dimensión r.  y(t) = vector de salida de dimensión m.  A = matriz de estado de n x n.  B = matriz de entrada de n x r.  C = matriz de salida de m x n.  D = matriz de transición directa de m x r.

La señal de control u( t ) es un vector que realimenta negativamente a la

entrada de la planta a través de una matriz de ganancia K que realimenta

al estado:

11

1 𝑛

1

“Es condición necesaria y suficiente para que el sistema admita que sus

polos en lazo cerrado se puedan ubicar en cualquier posición del plano s,

que el sistema sea completamente controlable”.

PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO POR ASIGNACIÓN DE POLOS Sea pues el sistema regulador SISO de control por ubicación de polos mediante la realimentación de estado que se muestra en la figura: La planta está modelada por las ecuaciones de estado siguientes: 𝒙 ሶ 𝑡 = 𝐴𝒙 𝑡 + 𝐵𝒖(𝑡) 𝒚 ሶ 𝑡 = 𝐶𝒙 𝑡 La señal de control está dada por la relación: 𝑢 𝑡 = −𝑲𝒙 𝑡 + 𝑟(𝑡) en donde K = (k 1 k 2 … k n ).

……. Sustituyendo el valor dado de u ( t ) en la ecuación anterior y aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado con condiciones iniciales nulas, se tiene: 𝑿 𝑠 = 𝑠𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲 − 1 𝑩𝑅(𝑠) 𝒀 𝑠 = 𝑪𝑿 𝑠 Sustituyendo X(s) en Y(s) y ordenando: 𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

En donde Q(s) es un polinomio en s. Si las posiciones de los polos deseados son: s = p 1 , p 2 , … p n

la ecuación característica del sistema es: 𝑠𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲 = 𝑠 − 𝑝 1

2

𝑛

Para calcular las ganancias desconocidas se iguala coeficientes en la última ecuación.

EJEMPLO

Un sistema de control tiene una planta dada por:

Obtener la matriz de ganancia necesaria para ubicar los polos en lazo

cerrado en 𝑠

1

2

= − 2 − 𝑗 2 3 y 𝑠

3

EJEMPLO

Comprobando controlabilidad 𝑀𝐶 = (^) 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 2 𝐵 : 𝑀𝐶 =

det 𝑀𝐶 = − 1000 ≠ 0 El sistema es de rango 3. Por tanto, es de estado completamente controlable. La ecuación para el sistema es: 𝑠 0 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠

1

2

3 = (𝑠 + 2 + 𝑗 2 3 )(𝑠 + 2 − 𝑗 2 3 )(𝑠 + 10 )

FÓRMULA DE ACKERMANN.-

J. E. Ackermann presentó en 1972 una fórmula cuyo algoritmo tiene implementado MATLAB y se usa para determinar la matriz de ganancia K. Dicha fórmula es: 𝑲 = (^0 0) … 0 1 𝑩 𝑨𝑩 (^) … 𝑨 𝑛− 1 𝑩 − 1 Θ(𝑨) Θ(A) se determina del modo siguiente:  Suponiendo que los polos en lazo cerrado se sitúan en 𝑠 = 𝑝 1 , 𝑠 = 𝑝 2 , … , 𝑠 = 𝑝𝑛, la ecuación característica deseada es: 𝑠 − 𝑝 1 𝑠 − 𝑝 2 … 𝑠 − 𝑝𝑛 = 𝑠 𝑛

• 𝛼 1 𝑠 𝑛− 1
• … + 𝛼𝑛− 1 𝑠 + 𝛼𝑛  Calculados los coeficientes α i, se tiene que Θ(A) está dado por:

𝑛

• 𝛼 1 𝑨 𝑛− 1
• … + 𝛼 𝑛− 1 𝑨 + 𝛼 𝑛 𝑰

DISEÑO CON MATLAB DE CONTROLADORES

ANALÓGICOS POR MÉTODOS DE ESPACIO DE ESTADO

 Hasta ahora, siempre se ha hecho hincapié que se han de realizar

diferentes pruebas con los vectores de ganancia K hasta que se

encuentre el que mejor se adapte a los requerimientos de

funcionamiento.

 Naturalmente, esta tarea que seria ardua para cálculos a mano, se

vuelve atractiva para simulaciones por computador.

……

 La ubicación de polos se puede realizar también mediante la

instrucción:

 que implementa la fórmula de Ackermann.

 A pesar de que en muchos casos las órdenes place y acker son

intercambiables, éstas no funcionan igual ya que:

 La función acker está limitada a sistemas SISO y sólo se deberá usar para sistemas con un número de estados reducido.  La función place no permite ubicar polos cuyo índice de multiplicidad sea superior al rango de la matriz de entrada B.  La función place es más general y más robusta numéricamente hablando que acker.

REVISE LO EXPUESTO Y SE LES RECUERDA QUE:

 En plataforma hay un foro de opinión que espera tu intervención mediante un comentario resumen de lo visto en el vídeo en no más de 100 palabras y no menos de 40. Use sus propias palabras.  Use Matlab y resuelva el problema realizado en clase.