Diseño de Servosistemas mediante Métodos de Espacio de Estado, Resúmenes de Sistemas de Control

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DISEÑO DE SERVOSISTEMAS

MEDIANTE METODOS DE

ESPACIO DE ESTADO

DISEÑO DE SERVOSISTEMAS

En el problema del regulador, el criterio de diseño es

eliminar las perturbaciones y llevar el vector de estado del

sistema a cero en un tiempo razonable.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas de control son

servosistemas, esto es, la salida y( t) ha de seguir a una

entrada de referencia r( t) ,

Ahora, el objetivo de diseño es hacer que el vector de

estado y la salida del sistema sigan unas

trayectorias deseadas.

 Para no modificar el tipo del sistema y que los polos sean ubicados en el sitio

deseado, se utiliza la configuración:

 El vector de ganancia de realimentación de estado vale:

2

3

𝑛

 la ecuación característica del sistema debida a la realimentación de estado

procederá de la matriz:

1

2

2

3

𝑛− 1

𝑛

 Se deduce que la señal de control está dada por:

1

 si las variables de estado se escogen de forma que y(t) = x 1

(t) el problema se

simplifica mucho, ya que la señal de control se puede escribir como:

1

 donde la matriz de ganancia

𝑲 está ahora completa:

1

2

𝑛

 El sistema en lazo cerrado tendrá pues la expresión:

1

 Con lo cual, la matriz del sistema en lazo cerrado será ahora:

1

1

2

2

3

𝑛− 1

𝑛

EJEMPLO

Dada la planta modelada por la función de transferencia siguiente:

Diseñar un sistema de control que sitúe los polos de lazo cerrado en − 2 ± 𝑗 4 𝑦 −

10 , y que pueda seguir sin error una señal de referencia tipo escalón.

Como la señal de excitación 𝑢(𝑡) no contiene derivadas, el modelo de estado de la

planta se escribe en la forma de variables de fase siguiente:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

donde en efecto, 𝑥 1

EJEMPLO

La señal de control está dada por:

1

2

3

1

2

3

1

En primer lugar se ha de comprobar si la planta es controlable, para ello el rango de

la matriz de controlabilidad 𝑀 𝑐

2

𝐵

ha de ser 3. En efecto,

𝑐

Es de rango 3.

matriz del sistema de control en lazo cerrado es:

1

2

3

La salida se mantiene inalterable:

1

2

3

Para comprobar de forma analítica la capacidad de seguimiento del sistema, es que:

1

2

3

− 1

0

teniendo en cuenta que x 1

(t) = y(t),

2

3

Con lo cual:

2

3

Por tanto, se demuestra que, la salida sigue fielmente a la entrada.

CASO GENERAL. LA PLANTA NO POSEE INTEGRADOR

 En general, el modelo de la planta mediante realimentación de estado produce

un sistema tipo 0. Este tipo de sistema es incapaz de seguir sin error a una

señal de entrada.

 La figura muestra un sistema de control con realimentación de estado capaz

de seguir sin error una señal de referencia escalón (error de posición nulo).

haciendo los reemplazos convenientes, se puede escribir el modelo de estado de

orden ( n + 1 ) en forma matricial como:

0

0

Se define:

0

0

 Donde la dimensión de ෥𝒙(𝑡) es ( n + 1 ) x 1 ; la de

𝑨(𝑡), ( n + 1 ) x ( n + 1 ) ; la

de

𝑩(𝑡), ( n + 1 ) x 1 y la de

𝑪(𝑡), 1 x ( n + 1 ).

Reescribiendo la ecuación anterior, sustituyendo la ecuación que define la señal

de control y simplificando, se tiene:

 Donde:

0

0

1

𝑛

 es un vector de dimensión 1 x ( n + 1 ).

 Teniendo en cuenta que ahora el vector de estado es ෥𝒙(𝑡), el vector de salida se

puede escribir como:

 Puesto que la ecuación característica del sistema es:

 La matriz de controlabilidad tiene rango (n+ 1 ). En consecuencia:

0

1

𝑛

 Permite ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en el lugar deseado.

 En esta última ecuación hay n+ 1 incógnitas, k 0

, k 1

, ..., k n

, y (n + 1 ) coeficientes conocidos

(polos) decididos por el diseñador

ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO PARA SISTEMAS

EN EL ESPACIO DE ESTADO

Un sistema de una entrada y una salida en el espacio de estado, se puede analizar

el error en estado estable mediante dos métodos:

1. Análisis por medio del teorema del valor final.

𝑒 ∞ = lim

𝑠→ 0

𝑠𝐸(𝑠) = lim

𝑠→ 0

− 1

𝑩

2. Análisis por la sustitución de la entrada. Puede ser expandido para

sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, sustituye la entrada junto

con una solución supuesta en las ecuaciones de estado.

Para entrada escalón:

− 1

𝑩

Para entrada rampa:

𝑒 ∞ = lim

𝑡→∞

− 1

𝑩 𝑡 + 𝑪 𝑨

− 1 2

𝑩 ; det(𝑨) ≠ 0

 No siempre estarán disponibles para su medida precisa todas las

variables de estado, de modo que habrá que utilizar en el sistema de

seguimiento tipo 1 un observador de estado del orden necesario.

 En la figura se muestra el sistema con el observador de estado

insertado.

EJEMPLO

El rango es 3 , por tanto, los valores característicos de 𝑠𝐼 −

𝐾 se pueden

colocar de forma arbitraria.

Supóngase que las especificaciones de diseño referidas al tiempo de asentamiento

y al sobreimpulso máximo exigen que las raíces del sistema en lazo cerrado se

ubiquen en 𝑠 1

2 , 3

Entonces,

0

1

2

Esto es:

0

1

2

3

• 6 𝑠

2

• 10 𝑠 + 8 = 0

EJEMPLO

Calculando el determinante y operando se tiene que:

0

1

2

con lo cual el vector de ganancia de realimentación de estado vale:

verificando si en efecto el error de seguimiento es nulo. Para ello, se escribe:

1

2

− 1

−𝑟

teniendo en cuenta de la ecuación de definición de la planta que 𝑥 1

2