Diseño y Simulación de Control por Espacio de Estado: Observadores, Resúmenes de Sistemas de Control

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DISEÑO Y SIMULACION DE UN

SISTEMA DE CONTROL MEDIANTE

METODOS DE ESPACIO DE

ESTADO

OBSERVADORES DE ESTADO

OBSERVADORES DE ESTADO

 Un dispositivo (o un programa de computador) que estima u observa las

variables de estado se llama un observador de estado, o, simplemente, un

observador.

 Si el observador de estado capta todas las variables de estado del sistema, sin

importar si algunas están disponibles por medición directa, se denomina

observador de estado de orden completo.

 Un observador que estima menos de n variables de estado, donde n es la

dimensión del vector de estado, se denomina observador de estado de orden

reducido o, simplemente, un observador de orden reducido. Si el observador de

estado de orden reducido es el orden mínimo posible, se denomina observador

de estado de orden mínimo u observador de orden mínimo.

 Un observador de estado estima las variables de estado basándose en las

mediciones de las variables de salida y de control.

TEOREMA.-

Dada la planta lineal, invariante y observable:

Se dice que el sistema definido por las ecuaciones:

0

0

0

Es un observador de estado del anterior si verifica las dos condiciones

siguientes:

1. Si los estados de ambos sistemas coinciden en un instante t

0

, ෝ𝒙 𝑡

0

= 𝒙(𝑡

0

) ,

entonces los estados coinciden para todo instante posterior

ෝ 𝒙 𝑡 = 𝒙 𝑡 para

cualquier entrada u ( t) aplicada sobre el sistema.

ෝ 𝒙 𝑡 debe tender asintóticamente al estado x ( t) para cualquier entrada u ( t) y para

cualesquiera estados iniciales ෝ𝒙 𝑡

0

𝑦 𝒙(𝑡

0

).

Estas dos condiciones imponen diversas restricciones a las matrices del

observador.

….

Si se define el vector de error como la diferencia entre el estado real y el

estimado:

Derivando esta última expresión, teniendo en cuenta las anteriores y

sustituyendo el valor de y(t) se tiene que:

0

0

0

La aplicación del teorema a esta última expresión implica que:

 Para que la entrada sea cual sea no influya en que los estados coincidan se debe

cumplir que:

𝑩

0

= 𝑩

 Dada la ecuación anterior, para que los estados coincidan en todo instante se debe

cumplir que:

𝑨

0

= 𝑨 − 𝑲

0

𝑪

𝑒 𝑡 = 𝒙 𝑡 − ෝ𝒙 𝑡

…..

Decidida por el diseñador la ubicación de polos del observador, la igualdad,

0

01

02

0 𝑛

permite calcular las n incógnitas k

o 1

, k

o 2

, ..., k

on

Escribiendo de nuevo por comodidad las ecuaciones primigenias y

reordenando, se tiene que el sistema planta – observador está definido por el

modelo siguiente,

0

0

……

El diagrama de bloques del sistema observado es el que muestra:

EJEMPLO

Un sistema de control tiene una planta dada por:

𝑥 ሶ 𝑡 =

0 1 0

0 0 1

− 6 − 11 − 6

𝑥 𝑡 +

0

0

10

𝑢(𝑡)

𝑦 𝑡 = 1 0 0

𝑥 𝑡 + 0 𝑢(𝑡)

Diseñar un observador de estado de orden completo cuya matriz de

ganancia K

0

tenga por valores característicos:

𝑠

1

= − 4 + 𝑗 3 , 𝑠

2

= − 4 − 𝑗 3 y 𝑠

3

= − 20.

EJEMPLO

Comprobando si el sistema es completamente observable 𝑀

0

∗

∗

∗

∗

∗

2

0

det 𝑀

0

El sistema es de rango 3. Por tanto, es completamente observable.

La ecuación para el sistema es:

0

1

0

2

0

3

0

COMPORTAMIENTO DEL CONJUNTO SISTEMA – OBSERVADOR

Sea la planta completamente controlable y observable cuyo diagrama de bloques

se muestra:

……

La ecuación característica de este sistema es:

0

Esto es:

0

Se demuestra que, el diseño de la ubicación de polos para la planta es

independiente del diseño del observador:

1. Se determina la matriz de ganancia de realimentación K para obtener la ubicación

de polos deseada para la planta,

2. Se determina la matriz K

o

para la ubicación de polos deseada del observador.

Se deduce que el número total de polos del conjunto planta - observador de

estado es la suma de los producidos por cada uno por separado.

OTROS COMANDOS MATLAB

Además de los indicados, otros comandos para el diseño y simulación

de esquemas de control en el espacio de estados, son:

 Devuelve la evolución temporal de la salida y de los estados ante una cierta

condición inicial x 0 de los estados.

 Devuelve una descripción en espacio de estados en forma canónica

controlable, separando los subespacios controlables y no controlables.

 Devuelve una descripción en espacio de estados en forma canónica

observable, separando los subespacios observables y no observables

OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO

Si algunas de las variables de estado se

pueden medir con precisión, entonces

no necesitan estimarse.

Suponiendo que el vector de estado x

es un vector de dimensión n y que el

vector de salida y es un vector de

dimensión m medible. Como las m

variables de salida son combinaciones

lineales de las variables de estado,

entonces necesita estimarse sólo n – m

variables de estado. El observador de

orden reducido será de (n – m)-ésimo

orden.

……

Desarrollando la ecuación anterior, es posible escribir las expresiones de los

estados medibles,

1

11

1

12

2

1

y no medibles

2

21

1

22

2

2

Reagrupando la expresión de estados medibles para separar lo conocido de

lo que hay que estimar,

1

11

1

1

12

2

Respecto a la salida, si se considera que el vector es completamente medible,

la ecuación y ( t) = Cx ( t) se puede escribir como:

1

2

…..

Entonces, el modelo del observador de estado de orden reducido será,

ሶ

𝑥 ො

2

𝑡 = 𝑨

22

− 𝑲

0

𝑨

12

ෝ 𝒙

2

𝑡 + 𝑨

21

𝒙

1

𝑡 + 𝑩

2

𝒖 𝑡 + 𝑲

0

ሶ 𝒙

1

− 𝑨

11

𝒙

1

𝑡 − 𝑩

1

𝒖(𝑡)

Pero, se establece para la ecuación de salida, y(t) = x

1

(t), por tanto, la ecuación final

del observador de orden reducido es

ሶ

𝐱 ො

2

𝑡 = 𝐀

22

− 𝐊

0

𝐀

12

ෝ𝒙

2

𝑡 + 𝑩

2

− 𝑲

0

𝑩

1

𝒖 𝑡 + 𝑲

0

ሶ 𝑦 𝑡 + 𝑨

21

− 𝑲

0

𝑨

11

𝑦 𝑡

De la expresión anterior se deduce que la ecuación característica del observador de

orden reducido, que en este caso es mínimo, es:

𝑠𝑰 − 𝑨

22

• 𝑲

0

𝑨

12

= 𝑠 − 𝑝

1

𝑠 − 𝑝

2

… 𝑠 − 𝑝

𝑛−𝑚

= 0

donde se ha supuesto que el vector de salida (medible) es de orden m.

En la ecuación última, hay n – m incógnitas: k

o 1

, k

o 2

, ...,

ko(n - m)

y n – m coeficientes

conocidos (polos) ubicados por el diseñador, con lo cual, para calcular los elementos

de la matriz de ganancia basta con igualar los coeficientes.