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LA INTEGRAL INDEFINIDA.
Para abordar el concepto de la integral indefinida, tomaremos como base los conocimientos
de derivación estudiados en Matemática II.
Supóngase que se conoce la derivada de una función: f
'
x
= 3 x
2
, y se pregunta:
¿Cuál es la función que se derivó?
De acuerdo a los conocimientos de derivada una respuesta puede ser f ( x )= x
3
, entonces
surge otra pregunta:
¿Existirá otra función, diferente de f
x
= x
3
, cuya derivada es f
'
x
= 3 x
2
Sí, f
x
= x
3
¿Existirán más funciones, cuya derivada sea f
'
x
= 3 x
2
Sí, f ( x )= x
3
f
x
= x
3
f
x
= x
3
f
x
= x
3
− π
, etc.
Nótese como las funciones “originales”, difieren entre ellas por una constante; así, en
general, la función “original” se escribe como f
x
= x
3
c ∈ R .
En el lenguaje matemático, no se dice “la función original”, sino, la primitiva de 3 x
2
; es
decir, x
3
+ C
es la primitiva de 3 x
2
De tal forma que el problema a estudiar es:
“Dada una derivada, determinar su primitiva”; es decir,
“Dada una derivada, hallar cual es la función que se derivó”
Otras formas de llamarle a la “función original”: Primitiva, antiderivada o integral
indefinida.
En lenguaje cotidiano: ”La función original de 3 x
2
, es x
3
+ C
En lenguaje matemático: “La primitiva de 3 x
2
, es x
3
+ C
“La antiderivada de 3 x
2
, es x
3
+ C
“La integral indefinida de 3 x
2
, es x
3
+ C
¿Cómo se escribe matemáticamente?:
3 x
2
dx =¿ x
3
+ C ¿
Definición: Sea F una antiderivada de f , la integral indefinida de f con respecto a x, que se
denota por
f ( x ) dx , se define como:
f ( x ) dx = F ( x )+ C
Donde:
❑:es símbolo de integración
f ( x ) : es la función integrando
dx : Indica la variable de integración
F ( x ): Es una antiderivada de f
C : es la constante de integración
Ejemplos:
a) la integral indefinida de f
x
= e
x
es e
x
+ C
se escribe:
e
x
dx = e
x
+ C
b) La integral indefinida de
x
es ln ( x ) + c ;
se escribe:
x
dx =ln ( x )+ C
c) La integral indefinida de 10 x
9
es x
10
se escribe:
10 x
9
dx = x
10
+ C
Cuando la función integrando es sencilla, resulta fácil determinar la integral indefinida; pero,
que pasa si la función integrando es compleja, para esto se utilizan reglas y métodos. En el
caso de las reglas se les llama: Integrales Inmediatas, y en el caso de los métodos se les
llama: Métodos de Integración.
INTEGRALES INMEDIATAS.
Las integrales inmediatas son resultados que han sido demostrados matemáticamente como
válidos, y que en este estudio los utilizaremos como fórmulas.
Ejemplo: Si f ( x )= 7 x
2
, calcular su integral indefinida.
Solución:
f
x
dx =
7 x
2
dx = 7
x
2
dx = 5
x
3
+ C =
x
3
+ C
5. Si f ( x ) y g ( x )son funciones continuas, entonces
[ f ( x ) ± g ( x ) ] dx =
f ( x ) dx ±
g ( x ) dx .
Ejemplo: Sean las funciones f
x
= 2 x
3
y g
x
= 8 x
5
, calcular
[
f ( x ) − g ( x )
]
dx .
Solución:
[
f ( x ) − g ( x )
]
dx
f ( x ) dx −
g ( x ) dx
2 x
3
dx −
8 x
5
dx
x
4
x
6
+ C
Así:
[
f ( x ) − g ( x )
]
dx
x
4
4 x
6
+ C
Ejemplo: Sean las funciones f ( x )= 7 x
2
y g ( x )= 3 x
8
, calcular
[
f ( x ) + g ( x )
]
dx .
Solución:
[
f ( x ) + g ( x )
]
dx
f ( x ) dx +
g ( x ) dx
7 x
2
dx +
3 x
8
dx
x
3
x
9
+ C
7 x
4
x
9
+ C
Así:
[ f ( x ) + g ( x ) ] dx =
7 x
3
9
+ C
6. Si f
x
= e
x
, entonces
f ( x ) dx =
e
x
dx = e
x
+ C.
Ejemplo: Si f
x
= 39 e
x
, calcular su integral indefinida.
Solución:
f ( x ) dx =
39 e
x
dx = 39
e
x
dx = 39 e
x
+ C
7. Si
f ( x )=
x
, entonces
f ( x ) dx =
x
dx =ln| x |+ C
Ejemplo: Si
f ( x )=
x
, calcular su integral indefinida.
Solución:
f ( x ) dx =
x
dx = 40
x
dx = 40 ln| x |+ C
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de de
la cadena.
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable
t , de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx , sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes se fundamenta en la derivada del producto
de dos funciones:
d
dx
f ( x ). g ( x )
= g ( x ). f ' ( x )+ f ( x ). g' ( x )
En donde integrando se tiene:
d
dx
f ( x ). g ( x )
dx =
g ( x ). f ' ( x ) dx +
f ( x ). g ' ( x ) dx
f ( x ). g ( x )=
g ( x ). f ' ( x ) dx +
f ( x ). g ' ( x ) dx
Luego, resolviendo para
f ( x ). g' ( x ) dx
se tiene:
f ( x ). g' ( x ) dx = f ( x ). g ( x ) −
g ( x ). f ' ( x ) dx
Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du
= f'(x)dx , y al ser v = g(x) , dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la
igualdad anterior,
Cómo se resuelve una integral por partes?
Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el
resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del
segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es
el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las
identificaciones más convenientes, es una competencia a desarrollar.
No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma x
m
si m es
positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a x
m
dx. También
suelen identificarse con u las funciones ln x, y con dv, e
x
dx, , etc.
Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer
la identificación de dv , ésta debe contener siempre a dx.
Ejemplos de integración por partes
Ejemplo :
Solución:
Éste es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función,
ln x.
Se hace la identificación u = x
; diferenciando, du = 2 x dx
Aplicando la fórmula,
Así,
Llevando este resultado a (1),
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Sean P y Q dos polinomios, se dice que:
1 La fracción
P ( x )
Q ( x )
es una fracción propia , si el grado de P es menor que el grado de
Q (recuerda que el grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable)
2 Se dice que la fracción
P ( x )
Q ( x )
es una fracción impropia , si el grado de P es mayor o
igual que el grado de Q
Cuando la fracción
P ( x )
Q ( x )
es im propia , se realiza la división de polinomios para obtener
una fracción propia. Esto es:
P ( x )
Q ( x )
= R ( x )+
S ( x )
T ( x )
Donde: R(x) es un polinomio y,
S ( x )
T ( x )
es una fracción propia.
Así, el problema siempre será integrar una fracción propia.
CASO I: FACTORES LINEALES DISTINTOS
Ejemplo: Calcular ∫
2 x + 3
x
2
dx
.
Solución: 1. Examinamos si la fracción es propia o no.
El grado de 2x+3 es 1 y el grado de x
2
es 2, por lo tanto, la fracción
2 x + 3
x
2
es propia.
2 Se factoriza el denominador: x
2
x + 4
( x + 3 )
3 Se construyen la fracciones parciales: A sobre el primer factor + B sobre el
segundo factor +C sobre el tercer factor,…,etc.
2 x + 3
x
2
A
x + 4
B
x + 3
4. Se realiza la suma de fracciones:
2 x + 3
x
2
A ( x + 3 ) + B ( x + 4 )
( x + 4 ) ( x + 3 )
5. Se igualan los numeradores:
2 x + 3 = A ( x + 3 ) + B ( x + 4 )
6. Se determinan los valores de A y B:
Haciendo x+4=0 se obtiene x=-4.
Si x=-4, entonces se tiene:
2 (− 4 ) + 3 = A (− 4 + 3 ) + B (− 4 + 4 )
3 Se construyen la fracciones parciales:
150 x + 7
x
2
A
x + 5
B
x − 5
4. Se realiza la suma de fracciones:
150 x + 7
x
2
A ( x − 5 ) + B ( x + 5 )
( x + 5 ) ( x − 5 )
5. Se igualan los numeradores:
150 x + 7 = A ( x − 5 )+ B ( x + 5 )
6. Se determinan los valores de A y B:
Haciendo x+5=0 se obtiene x=-5.
Si x=-5, entonces se tiene:
❑
+ 7 = A (− 5 − 5 )+ B (− 5 + 5 )
− 743 =− 10 A
= A
= A
Haciendo x-5=0 se obtiene x=5.
Si x=5, entonces se tiene: 150 ( 5 ) + 7 = A ( 5 − 5 ) + B ( 5 + 5 )
757 = 10 B
= B
B =
7. Se sustituyen los valores de A y B:
150 x + 7
x
2
x + 5
x − 5
8. Luego se integra:
6 x
3
x
2
dx =
6 x dx +
150 x + 7
x
2
dx
6 x dx +
x + 5
dx +¿
x − 5
dx ¿
6 x dx +
x + 5
dx +¿
x − 5
dx ¿
¿ 3 x
2
ln| x + 5 |+
ln| x − 5 |+ C
Por lo tanto:
6 x
3
x
2
dx = 3 x
2
ln
x + 5
ln
x − 5
+ C
CASO II: FACTORES LINEALES REPETIDOS
Ejemplo: Calcular ∫
2 x + 3
x
2
dx
.
Solución: 1. Examinamos si la fracción es propia o no.
El grado de 2x+3 es 1 y el grado de x
2
es 2, por lo tanto, la fracción
2 x + 3
x
2
es propia.
4 Se factoriza el denominador: x
2
x + 3
x + 3
=( x + 3 )
2
5 Se construyen la fracciones parciales: A sobre el factor elevado a la uno + B
sobre el factor elevado al cuadrado +C sobre el factor elevado al cubo,…,etc.
2 x + 3
x
2
A
x + 3
B
( x + 3 )
2
4. Se realiza la suma de fracciones:
2 x + 3
x
2
= A ( x + 3 ) + B ¿
( x + 3 )
2
5. Se igualan los numeradores:
2 x + 3 = A ( x + 3 ) + B
6. Se determinan los valores de A y B:
Haciendo x+3=0 se obtiene x=-3.
Si x=-3, entonces se tiene: 2 (− 3 ) + 3 = A (− 3 + 3 ) + B
− 3 = B Ec. 1
Como ya no hay otro factor, entonces a “x” se le asigna cualquier valor.
Haciendo x=
Si x=1, entonces se tiene: 2 ( 1 )+ 3 = A ( 1 + 3 ) + B
¿ 4 A + B
Ec. 2
Luego sustituyendo La Ec.1 en la Ec. 2, se tiene:
5 ¿ 4 A +(− 3 )
5 + 3 = 4 A
8 = 4 A
