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RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.
x dx
5
k
x k
x x dx
51 6 5
( x x ) dx
^
k
x x k
x x k
x x x xdx x x dx 3
2 2 3
3 21 2
1 11 1 / 2
k
x x x 3
2
- dx
x x
x
Sol: x x x k 2 10
k
x x k
x x dx x x dx
x x
x 2
5 2
1 1 2
3 1 2
1
2
3 2
1
k x x x k
x x
2
5
(^) x
x dx 2 Sol: x x k 2 5
k
x x k
x k
x k
x dx x dx
x
x
x
x dx
2 5 2
1 5 2
3
2
3
2
1
2 2
- dx
x x x
2 Sol: x k x (^) x
^
x k
x x dx x x dx x (^) x x
1 2
3 21 2
3 2 2
x k x x
x k
x
x
x k
x x
^ 2
1 8 2
1 8
1 2
2
1
4 1 2
1
2
1 1
^4 x
dx Sol: x k 4 3 3
k x k
x k
x k
x x dx x
dx
4 3
4
3 4
1 3 4
1
4
1
(^4 )
- dx x
x
2
3
Sol: x x x k
x ^3 23 2
5 3 4
K
x x x dx x x dx x x x dx x
x
1 3
8 5 3
2 3
5 4
2 3
1 2
2
3
2
x x x K x x x K 3 5 3 8 3
1 3
**8 5
4**
x x x x K
(^5 23 )
. 3. 4
- dx x
L x
Sol: L x k 2 2
k
x dx f f dx x
dx x x
x
(Ln( )) '
Ln( )
Ln( )
2
x x dx
2 tg sec Sol: tg x k 2
k
x x x dx f f dx
(tg ) tg sec '
2 2 1
sen x cos x dx
2 Sol: k
x 3
sen 3
k
x x x dx f f dx
sen sen cos '
3 2 2
- x x dx
cos sen 3 Sol: k
x 4
cos 4
k
x x x dx x x dx f f
cos cos sen cos ( sen )
4
'
3 3
3
- dx x
x
cos^2
tg Sol: k
x 2
tg
2
k
x dx x
dx x x
x
f
f
tg
cos
tg cos
tg
2
'
2 2 (^1)
- dx x
x (^) sen^2
cotg Sol: k
x 2
cotg
2
k
x dx x
dx x x
x
cotg
sen
1 cotg sen
cotg
2
2 2
- dx x x
(^) cos tg 1
1 2 Sol: 2 tg x 1 k
k x k
x x dx x
dx x x
2 tg 1
(tg 1 ) (tg 1 ) cos
cos tg 1
1
2
1
2 2
dx x
x
1
L( 1 )
Sol: k
x
L ( 1 )
2
k
x dx x
dx x x
x
f f
L ( 1 )
L( 1 )
L ( 1 )
2
'
dx x
x
2 sen 1
cos Sol: 2 sen x 1 k
k x k
x dx x x dx x
x
f f
2 sen 1
( 2 sen 1 )
2
2 cos ( 2 sen 1 ) 2
2 sen 1
cos 2
1
2
1
' 1 / 2
- dx x
x
( 1 cos 2 )^2
sen 2 Sol: k x
2 ( 1 cos 2 )
k
x dx x x dx x
x
1
( 1 cos 2 )
2
2 sen 2 ( 1 cos 2 ) 2
( 1 cos 2 )
sen 2 1 2 2
k x
2 ( 1 cos 2 )
- dx
x
x
1 sen^2
sen 2 Sol: x k 2 2 1 sen
dx x x dx x x x dx x
x
f (^) f
1 / 2
2
1 2
'
2
1 2 2
sen 2 ( 1 sen ) 2sen cos ( 1 sen ) 1 sen
sen 2
k x k
x
2
2
1 2 2 1 sen
( 1 sen )
- dx x
x
(^) cos^2
tg 1 Sol: x k
3 (tg 1 ) 3
k x k
x dx x
dx x x
x
3
2
3
2
2
1
2 (tg^1 ) 3
(tg 1 )
cos
(tg 1 ) cos
tg 1
- dx x
x
( 2 3 sen 2 )^3
cos 2 Sol: k x
( 2 3 sen 2 )
k
x dx x x dx x
x
2
( 2 3 sen 2 )
6
6 cos 2 ( 2 3 sen 2 ) 6
( 2 3 sen 2 )
cos 2 2 3 3
k x
( 2 3 sen 2 )
- dx
x
x
^3 cos^4
sen 3 Sol: k x
(^3) cos 3
k x
k
x dx x xdx x
x
f f
^3
3
1
3
4
'
(^3 4) cos 3
cos 3
3
3sen 3 cos 3 3
cos 3
sen 3
4 / 3
2 Ln x dx
x
Sol:
3 Ln
3
x k
2 3 Ln 2 1 Ln Ln 3
x dx x x dx k x x
x
dx
5 2
Sol: L 5 2 x k 2
dx f k x k f
f dx x x
dx
Ln 5 2 2
Ln
- dx x x
x
(^) 2 Sol: L x 2 x 3 k 2
dx x x k x x
x dx x x
x dx x x
x
L 2 3
2 2 2
Ln
dx
x x
Sol: Ln Ln x k
Ln | | Ln | Ln | Ln Ln
dx dx (^) x f dx f k x k x x x f
tg xdx Sol: Lncos x k
dx x K x
x dx x
x x dx Lncos cos
sen
cos
sen tg
tg 2 xdx Sol: Lcos 2 x k 2
dx x K x
x dx x
x x dx Lncos 2 2
cos 2
2 sen 2
2
cos 2
sen 2 tg 2
ctg xdx Sol: Lnsen x k
dx x K x
x x dx
Lnsen sen
cos ctg
ctg(5 x 7 ) dx Sol: Lsen(5 x 7 ) k 5
dx x K x
x dx x
x x dx
Lnsen(5 7 ) 5
sen(5 7 )
5 cos(5 7 )
5
sen(5 7 )
cos(5 7 ) ctg(5 7 )
x
dx
ctg 3
Sol: L cos 3 x k 3
dx x K x
x dx x
x x dx x
dx Lncos 3 3
cos 3
3 sen 3
3
cos 3
sen 3 tg 3 ctg 3
dx
x
3
ctg Sol: k
x 3
3Lsen
K
x dx x
x
dx x
x
dx
x
3 Lnsen
sen
cos 3
sen
cos
ctg
e e dx x x (ctg ) Sol: e k x L sen
dx e K e
e e e e dx x x
x x x x
Lnsen sen
(cos ) (ctg )
dx
x x 4
tg 4 ctg Sol: k
x x 4
Ln cos 4 4 Ln sen 4
Sol:
dx x
x
dx x
x dx x
x
x
x dx
x x
sen
cos
cos 4
sen 4
sen
cos
cos 4
sen 4
4
tg 4 ctg
k
x dx x x
x
dx x
x
Lncos 4 4 Ln sen 4
sen
cos 4
cos 4
4 sen 4
4
- dx x
x
2 sen 3
cos Sol: Ln( 2 sen x 3 ) k 2
dx x k x
x dx x
x
Ln( 2 sen 3 ) 2
2 sen 3
2 cos
2
2 sen 3
cos
x x
dx
( 1 )arc tg
(^) 2 Sol: Ln arctg x k
dx x k x
x x x
dx
Ln arctg arctg
( 1 )arctg
2 2
cos^2 x ( 3 tg x 1 )
dx Sol: Ln( 3 tg x 1 ) k 3
dx x k x
x dx x
x x x
dx
Ln( 3 tg 1 ) 3
3 tg 1
cos
3 tg 1
cos
cos ( 3 tg 1 )
2 2 2
57. ^
e dx
2 x^2 Sol: e k
x
4 4
e dx e dx e dx e k
x x x x
2 2 4 4 4 4
e dx
3 x Sol: e k x 3 3
e dx e dx e k x x x
3 3 3 3
e dx
x x 5 Sol: k
e x x Ln 5 1
k
e e k e
e edx e
e dx e dx
x x x x x x x
Ln 5 1
Ln( 5 )
( 5 ) Ln( 5 ) Ln( 5 )
e a dx 5 x 5 x Sol: k a
a e
x x
5 L
5 5
a k a
a adx e a
e a dx e dx 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 Ln
5 Ln 5 Ln
k a
a e
x x
5 L
5 5
e x dx
x x ( 2 )
(^243) Sol: e k
x x
(^2) 4 3
2
e x dx e x dx e k
x x x x x x
(^24 )
2
- dx a b
a b x x
x x
2 ( ) Sol: x k a b
a
b
b
a
x x
L L
dx a
b
b
a dx a b
b
a b
a dx a b
a a b b dx a b
a b x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x x x
x x
x x 2 2
2 2 2 2 2
x k a
b
a
b b
a
b
a
dx a
b
b
a
x x x x 2
Ln
Ln
x k a
b
b b a
a
a b
x x 2 Ln Ln
Ln Ln
x k a b
a
b
b
a
x k a b
a
b
a b
b
a
x x x x
L L
Ln Ln Ln Ln
dx e
e x
x
Sol: e k x Ln( 3 4 ) 4
dx e k e
e dx e
e (^) x x
x
x
x
Ln( 3 4 ) 4
cos 5 xdx Sol: sen 5 x k 5
xdx xdx f x f xdx f x k x k
sen 5 5
5 cos 5 '( ) cos ( ) sen ( ) 5
cos 5
- dx
x
sen Sol: k
x 3
3 cos
k
x dx f x f xdx f x k
x dx
x ) 3
'( ) sen ( ) cos ( ) 3 ( cos 3
sen 3
1 3 3
sen
k
x 3
3 cos
- sec(^7 x^^2 ) dx
2
Sol: tg(^7 x^ ^^2 ) k 7
x dx 7 sec( 7 x 2 ) dx f '( x )sec f ( x ) dx tg f ( x ) k 7
sec ( 7 2 ) 2 2 2
tg( 7 x 2 ) k 7
x x dx
2 cos 3 Sol: x k 2 sen 3 6
x x dx x x dx x k
sen( 3 ) 6
6 cos( 3 ) 6
cos( 3 ) 2 2 2
9 4 x^2
dx Sol: k
x ) 3
arcsen( 2
2 2 2 2 2
(^9 4) x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
k
x
f x
f xdx
x
dx
arcsen( 2
2 2
a^2 b^2 x^2
dx Sol: k a
bx
b
arcsen( )
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 1
a
bx
dx a
b
b
a
a
a
bx
dx
a
a
bx a
dx
a
b x a
dx
a b x
dx
k a
bx
f x b
f xdx
a
bx
dx a
b
b
arcsen( )
2 2
- dx e
e x
x
Sol: e k x Ln( 3 4 ) 4
dx e k f x
f x dx e
e dx e
e (^) x x
x
x
x
Ln( 3 4 ) 4
- dx e
e x
x
^2
2
Sol: e k
x Ln( 2 ) 2
dx e k f x
f x dx e
e dx e
e (^) x x
x
x
x
Ln( 2 ) 2
2 2
2
2
2
- dx e
e x
x
1 ^2
Sol: e^ k
x arctg( )
dx f x k e k f x
f x dx e
e dx e
e (^) x x
x
x
x
arctg ( ) arctg( ) 1 ( ( ))
2 2 2
1 2 x^2
dx Sol: arctg( 2 x ) k 2
dx x k f x
f x
x
dx
x
dx
x
dx
arctg( 2 ) 2
2 2 2 2
4 x^2
dx Sol: k
x ) 2
arctg( 2
k
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
arctg( 2
2 2 2 2
(^) x^4 a^4
xdx Sol: k a
x
a
arctg( ) 2
2
2
2
2
2
2
(^22)
2 4
2
(^42)
4
4 4
4
4 4
4 4
1
a
x
dx a
x a
a
a
x
xdx
a
a
x
xdx
a
a
x a
xdx
x a
xdx
k a
x
a
a
x
dx a
x
a
arctg( ) 2
2
2
2 2
2
2
2 2
a x
xdx 2 2 sen
cos Sol: k a
x
a
sen arctg(
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 sen 1
1 cos
sen 1
1 cos
sen ( 1
cos
sen
cos
a
x
xdx
a
a
x
xdx
a
a
x a
xdx
a x
xdx
k a
x
a
a
x
xdx a a
a
x
xdx a a a
sen arctg(
sen 1
cos
sen 1
cos
2 2 2
k t k t k
t xdt tdt t dt x
t dx x
x (^) 2 3 2 3
3
2
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
x k 3 ( 1 ) 3
- dx
x 1 x
Sol: 4 1 x k
x dx f f dx x
dx x x
dx x x
1 2
1
k x k
x
2
1
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio 1 x t , calculamos dx : dx dt dx xdt x
y
sustituimos en nuestra integral:
k t k t k
t dt t dt t
xdt x t
dx x x
2 1
1
2
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
4 1 x k
x x 1 dx Sol: x x ^2 k
3 2
5 ( 1 ) 3
Hacemos la sustitución 1 1 2 2 x t x t
Calculamos la diferencial de x : dx 2 t****. dt y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:
k
t t x x dx t t tdt t t dt t t dt 5 3
5 3 2 2 2 2 4 2
t t k x x ^2 k
3 2
5 5 3 ( 1 ) 3
x x dx 2 7 ( 5 3 ) Sol: x k 2 8 ( 5 3 ) 80
Directamente:
k
x x x dx x x dx f f dx 8
2 8 2 7 2 7 7
x k
2 8 ( 5 3 ) 80
Por sustitución:
Hacemos x
dt x t xdx dt dx 10
2 y sustituimos en nuestra integral
k x k
t t dt x
dt x x dx xt
2 8
8 2 7 7 7 ( 5 3 ) 80
x x dx 10 ( 2 5 ) Sol: k
x x
12 11
Por sustitución:
Hacemos dx dt
t x t x 2
y sustituimos en nuestra integral
t dt t t dt t t dt
t x x dx ( 5 ) 4
10 10 10 11 10
k
x x k
t t
12 11 12 11
xe dx
x Sol: e x k x ( 1 )
Por el método de integración por partes:
xe e dx xe e k x e k dv e dx v e
u x du dx xe dx x x x x x x x
x
x x dx x x x k x ^ x k
Ln( ) Ln( ) Ln( ) 1
x sen xdx Sol: sen x x cos x k
Por el método de integración por partes:
x x xdx dv xdx v x
u x du dx x xdx cos cos sen cos
sen
x x xdx x x x k
cos cos cos sen
x xdx
2
cos Sol: x x x k
x
cos 2
sen 2
2
Por el método de integración por partes, hacemos u x du dx y dv xdx 2 cos
Para calcular el valor de v recurrimos a las razones trigonométricas del ángulo mitad y
tendremos que 2
1 cos 2 cos
2 x x
. Por tanto,
sen 2 ) 2
( 1 cos 2 ) 2
1 cos 2 cos
2 dx xdx x x
x v xdx
En consecuencia:
x xdx x x x x sen 2 x ) dx 2
sen 2 ) 2
cos
2
x k
x x x x x xdx x x x cos 2 4
sen 2 ) 2
sen 2 ) 2
sen 2 ) 2
2 2 2
x x x k
x x k
x x x x cos 2 8
sen 2 4
cos 2 8
sen 2 4
2 2 2
e xdx
x cos Sol: e x x k
x
(sen cos ) 2
e x e xdx dv xdx v x
u e du e dx I e xdx
x x
x x x sen sen cos sen
cos
e x e xdx
x x sen sen
Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la que
pretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella hacemos:
sen cos
x x u e du e dx
dv x dx v x
Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:
I e x e xdx e x x e x e dx x x x x x sen sen sen cos cos ( )
e x x e x e dx x x x sen cos cos
es decir, volvemos a la misma integral que pretendemos calcular. Entonces:
(sen cos ) sen cos 2 sen cos 2
x x x x x e^ x^ x I e x x e I I e x x e I
En consecuencia:
k
e x x I e xdx
x x
(sen cos ) cos
Ln(1 x ) dx Sol: x ( 1 x )Ln( 1 x ) k
dx x
x x x dv dx v x
dx x
u x du x dx 1
1 Ln(1 )
Ln(1 ) Ln(1 )
dx x
dx x x x
x dx x x x
x x x 1
Ln(1 ) 1 1
Ln(1 ) 1
Ln(1 )
x Ln(1 x ) x Ln(1 x ) k x Ln(1 x ) x Ln(1 x ) k
x ( 1 x )Ln( 1 x ) k
