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INTEGRACIÓN
INTEGRALES INDEFINIDAS. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA.
Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. Diremos que F es una
función primitiva de f , o simplemente una primitiva de F , si F tiene por derivada f.
F es primitiva de f ⇔ F '( x ) = f ( x )
En notación diferencial:
F es primitiva de f ⇔ d F ( x ) = f ( x ) ⋅ dx
La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el
nombre de INTEGRACIÓN. Si existe la función F se dice que la función f es integrable.
Una función puede tener varias primitivas, por ejemplo, la función f ( x ) = 2 x , podría
tener como primitias las funciones
F 1 ( x ) = x^2 , F 2 ( x ) = x^2 +2, F 3 ( x ) = x^2 -7 ya que
F 1
' ( x ) = F 1 ' ( x ) = F 1 ' ( x ) = f(x)
Teniendo en cuenta esto, podríamos demostrar la siguiente
Proposición.
Sean f , F , G tres funciones definidas de D en R , tal que F y G son dos primitivas de f****.
Entonces, la función F − G es otra función de D en R y además es constante.
De otro modo:
Dos primitivas de una misma función se diferencian a lo sumo en una constante.
En efecto, si F y G son primitivas de la misma función f , quiere decir que F '( x ) = f ( x )
y G '( x ) = f ( x ).
Restando, miembro a miembro, ambas igualdades, tendremos:
F '( x ) − G '( x ) = 0 ⇒ ( F − G )'( x ) = 0 ⇒ ( F − G )( x ) = cte. ⇒ F ( x ) − G ( x ) = cte. ⇒
⇒ F ( x ) = G ( x ) + cte.
DEFINICIÓN.
Dada una función f , se llama integral indefinida de f al conjunto de sus infinitas primitivas
{ F + K }.
La integral indefinida se representa por ∫ f ( x ). dx
El símbolo ∫ se lee «integral de...» y f ( x ). dx se llama integrando. El número real K
recibe el nombre de «constante de integración».
Para la determinación de una primitiva es necesario conocer la constante de integración;
para ello necesitamos alguna otra condición, como puede ser el valor que toma la función
primitiva en un punto del dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.
Ejemplo:
1. Halla una primitiva de la función f ( x ) = 2 x , cuya gráfica pasa por el punto P (1,3).
Las primitivas de f son de la forma F ( x ) = x 2
Puesto que la gráfica pasa por P (1,3), tendremos
F (1) = 3 ⇔ 3 = 1 + K ⇔ K = 2
Por tanto, la primitiva pedida será F ( x ) = x 2
2. Hallar la ecuación de la primitiva de la función f ( x ) = e x que pasa por el punto P (0,4).
Las primitivas de f son de la forma F ( x ) = e x
Puesto que la gráfica pasa por P (0,4), tendremos
F (0) = 4 ⇔ 4 = e 0
Por tanto, la primitiva buscada será F ( x ) = e x
PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRACIÓN.
Integral de la suma o diferencia.
La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de la integrales de dichas funciones.
∫(^ f^ ±^ g )( x ). dx^ =^ ∫ f^ ( x ). dx^ ±^ ∫ g ( x ). dx
Integral del producto de un número real por una función.
La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la integral de la función.
∫ k.^ f^ ( x ). dx^ =^ k^ ∫ f^ ( x ). dx
EJEMPLOS:
Tipo potencial:
Tipo logarítmico:
Tipo exponencial:
TRIGONOMÉTRICAS
Tipo seno:
Tipo coseno:
Tipo tangente:
Tipo cotangente:
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Dada una integral, se debe reconocer primero si es un tipo de integral inmediata o si se
puede reducir a alguno de ellos haciendo transformaciones elementales ; en caso
contrario, habrá que aplicar los métodos de integración.
Integrales obtenidas por transformaciones elementales
Integración mediante sustitución o cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar la
integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de
integrar.
Dada la integral f ( x ) dx , si hacemos el cambio de variable x = g(t), entonces
tenemos que:
x g ( t ) y dx g ( t ) dt ( derivando )
por lo que la integral inicial queda transformada en f ( x ) dx f ( g ( t )) g ( t ) dt
Ejemplo
x xdx 2 2
Se hace el cambio dt t
t dx
x^1 ln 2
La integral quedaría así: k
arctgt dt t
t
t
ln 2
ln 2
y deshaciendo el cambio de variable tendríamos:
dx arctg k x x x
^
ln 2
Ejemplo
dx e
e e x
x x
2
Se hace el cambio dt t
e t dx x^1
La integral quedaría así: dt t t k t t
t t
2 ln| 1 | 2
2
y deshaciendo el cambio de variable tendríamos:
dx e e k e
e e x x x
x x
2 ln|^1 |
2
Ejemplo
^ x dx
2 4
Se hace el cambio x 2 sent dx 2 cos tdt
La integral quedaría así:
dt t sent t k
t x dx tdt
2 2 cos 2
1 cos 2 4 4 cos 4 2 2
y deshaciendo el cambio de variable tendríamos:
k
x x x x dx arcsen
2 2
x x dv e dx v e
u x du dx
Solución:
xe dx xe e k
x x x
Ejemplo
e xdx x cos
Hacemos:
x x dv e dx v e
u x du senxdx
cos
con lo que tendríamos:
e^ xdx ^ e x e senxdx
x x x cos cos
volviendo a integrar por partes e^ senxdx
x
tendríamos
x x dv e dx v e
u senx du xdx
cos
con lo que e senxdx e senx e xdx
x x x cos
y al final tendríamos:
e^ xdx ^ e x e senx e xdx
x x x x cos cos cos
entonces
e xdx e x e senx k x x x
cos 2
cos
Integración de funciones racionales
Lo primero es ver si puede ser una integral inmediata de los tipos siguientes:
Si vemos que no podemos transformarla en inmediata, pasamos al siguiente método.
Método de descomposición en fracciones simples
1er caso. Grado del numerador menor que el grado del
denominador.
a. Raíces del denominador reales simples y distintas
- Desomponemos el denominador en producto de factores.
- Descomponemos la fracción original en suma de fracciones simples.
- Reducimos a común denominador.
- Igualamos los numeradores
- Determinamos los coeficientes A y B dando a x los valores que anulen el
denominador.
c. Descomposición de una fracción parcial que contiene un
factor cuadrático irreducible.
A cada factor cuadrático reducible ax^2 + bx + c figure en el denominador de una
fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma
siendo A y B constantes a determinar.
El denominador se factoriza así:
Se procedería así:
Operando se obtienen los siguientes coeficientes: A = 3, B = 1 y C = - 5
Otro ejemplo:
Se factoriza el denominador:
con lo que tendríamos esta descomposición:
Operando obtendríamos: A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0
Otra forma de operar:
Q(x) tiene raíces Imaginarias simples
Si Q(x) tiene una raíz compleja de la forma a + ib también tiene una raíz
conjugada a - ib, así Q(x) admite como divisor el polinomio de segundo grado:
(x-a+ib)(x-a-ib) = (x-a)^2 -(ib)^2 = (x-a)^2 + b^2 ya que i^2 = -
En consecuencia para cada par de raíces imaginarias habrá que considerar una fracción
simple de la forma:
2 2 ( x a ) b
Mx N
La integración de una fracción simple de este tipo dará lugar a una función logarítmica
y a un arcotangente.
Para su integración recomendable expresar la fracción de la forma:
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )
( ) ( ) x a b
N Ma
x a b
M x a
x a b
Mx Ma Ma N
x a b
Mx N
Ejemplo
Calcular dx x x x
x x
3 2
2
Factorizamos el denominador de la fracción:
3 2 2 x x x x x x
La ecuación x 2
- 2x + 5 = 0 tiene raices imaginarias simples 1 + 2i , 1 - 2i
Se procedería así:
3 2 2
2
x
Mx N
x
A
x x x
x x
Operndo tendríamos los coeficientes A = 2, M = 6 y N = 4
dx x x
x x x 2 2
3 2
Tendríamos esta descomposición:
2 2 2 2 2
3 2
x x
Cx D
x x
Ax B
x x
x x x
Operando obtendíamos:
A = 2, B = -1, C = 4, D = -
2º caso. Grado del numerador mayor o igual que el grado del
denominador.
Se hace la división ( )
Q x
P x
con lo que quedaría ( )
Re ( ) ( )
( ) ( ) Re
( )
Q x
sto C x Qx
C xQx sto
Qx
P x
y como el grado del resto es menor que el grado de Q(x), la integral queda reducida al
caso anterior: grado del numerador menor que el grado del denominador.
