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UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. ................................................................................... 1
2.- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES ................................................ 1
3.- LA INTEGRAL DEFINIDA. ..................................................................... 3
4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ..................................... 3
5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL ................... 4
6.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.................................... 5
7.- ACTIVIDADES ....................................................................................... 9
8.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES ................................................... 24
1.- INTRODUCCIÓN.
Como ya vimos en la unidad anterior, el Cálculo Integral ha sido desarrollado a lo largo de la historia de las matemáticas a partir del problema de calcular áreas encerradas bajo curvas. Científicos tan importantes como Arquímedes, Kepler o Newton dedicaron gran parte de sus estudios a resolver este problema.
La idea de sumar infinitos trozos de áreas de figuras sencillas (normalmente rectángulos) para “rellenar” figuras de lados curvos, ha sido la clave durante los siglos para resolver el problema. Esta idea es el fundamento de la Integral Definida, cuyo desarrollo formal y riguroso se debe, sobre todo al trabajo de Riemann y es la base de los contenidos que abordaremos durante esta unidad.
Definición 1: Sea
2.- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES
[ a b ,^ ] un intervalo en^ ^. Se llama^ partición^ de dicho intervalo a todo
conjunto P a b [ , (^) ] = (^) { x (^) 0 , x 1 (^) , x 2 ,....... xn } de puntos tales que a^ =^ x 0^ <^ x 1^ <^ x 2^ <^ ......^ <^ xn^ =^ b ,
es decir a todo conjunto de puntos ordenados de menor a mayor tales que el primero es a y el último b. Llamamos diámentro de una partición a la mayor de las distancias entre los puntos de la partición, es decir, al máximo de las diferencias x 1 (^) − x 0 (^) , x 2 (^) − x 1 (^) , ......, x (^) n − xn (^) − 1.
Diremos que una partición P a b [ , (^) ] de un intervalo es más fina que otra Q a b [ , ] si está
contenida en la primera, es decir si Q a b [ , (^) ] ⊂ P a b [ , ]. Decimos que una partición es
regular si divide al intervalo en partes iguales. Designaremos por
Pn (^) [ a b , (^) ] (^) = (^) { x 0 (^) , x 1 (^) , x 2 ,....... xn }a dichas particiones en las que el diámetro es
b a n
Nota 1: Obsérvese que para obtener particiones cada vez más finas de un intervalo,
basta tomar nuevos puntos en la de partida, así, por ejemplo, si P (^) [1,5 ] = (^) {1,3,5 }, podemos
obtener Q (^) [1,5 ] = (^) {1,2,3,5 } que es más fina que la anterior y R (^) [1,5 ] = (^) {1,2,3,4,5 }. Es
evidente ver también que los diámetros de las mismas van bajando paulatinamente y si se sigue indefinidamente, su diámetro tenderá a 0.
Definición 2: Sea
En lo que sigue de unidad nos centraremos en el caso de funciones continuas o continuas a trozos para facilitar las definiciones y cálculos ya que el desarrollo general de la integral definida se escapa de los objetivos del curso. No obstante, hemos de insistir en que se puede desarrollar, con no demasiada dificultad, el caso general
f : (^) [ a b , (^) ]→ una función continua y sea P a b [ , (^) ] ={ x 0 (^) , x 1 (^) , x 2 ,....... xn }
una partición del intervalo. Llamamos:
- Suma superior de Riemann de la función f para la partición P a b [ , (^) ] a la suma:
1
n i i i n n n i
S f P M x x (^) − M x x M x x M x x −
= ∑ − = − + − + + − , siendo cada
M i el máximo de la función f en cada intervalo (^) [ x (^) i − 1 , xi ]
- Suma inferior de Riemann de la función f para la partición P a b [ , ] a la suma:
1
n i i i n n n i
s f P m x x (^) − m x x m x x m x x −
= ∑ − = − + − + + − , siendo cada
m i (^) el mínimo de la función f en cada intervalo (^) [ xi (^) − 1 , xi ]
Nota 2: A la vista gráfica son evidentes las siguientes apreciaciones:
- Para cada partición P a b [ , ] , se cumple que s f P ( , (^) ) ≤ S f P ( , ), es decir, en cada
partición, la suma inferior es menor que la superior.
- Si Q a b [ , ] es una partición más fina que P a b [ , (^) ], se cumple que
s f P ( , ) ≤ s f Q ( , ) ≤ S f Q ( , ) ≤ S f P ( , ), es decir, cuanto más fina es una partición, más
próximas están entre sí las sumas inferior y superior.
- Parece lógico pensar que tomando particiones cada vez más finas, las sumas inferiores y superiores se acercan entre sí a un valor común que, en el caso de funciones positivas, parece ser el área encerrada entre la curva y el eje de abscisas.
Proposición 2: (Teorema del valor medio integral) Sea
f : (^) [ a b , (^) ]→ una función continua. Entonces existe un
punto c ∈ (^) [ a b , ] que cumple que (^) ( ) ( )( )
b a
∫ f^ x dx^ =^ f^ c^ b^ − a.
Gráficamente esto significa que existe un punto intermedio
que cumple que el rectángulo de base b − a y altura f ( c )
tiene igual área a la encerrada por la curva.
Definición 4: Sea
5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
f : (^) [ a b , ] → una función continua. Entonces llamamos función
integral de f en el intervalo (^) [ a b , (^) ]a la función F : (^) [ a b , ] → definida por (^) ( ) ( )
x
F x = ∫ a f t dt.
Nota 4: Cuando la función f es positiva,
gráficamente el valor de F ( x ) en cada punto x
coincide con el área bajo la curva y = f ( x )entre a y
x. Por eso también se le conoce con el nombre de función área.
Proposición 3: (Teorema fundamental del cálculo integral) Sea f : (^) [ a b , ] → una
función continua. Entonces, la función integral ( ) ( )
x a
F x = ∫ f t dt es derivable en ( a b , )y se
cumple que F ' ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ( a b , ).
Nota 5: Como consecuencia del teorema anterior tenemos que si f es continua y g es una
función derivable, entonces, la función ( ) ( )
g x ( )
F x = ∫ a f t dt es derivable y
F ' ( x ) = f ( g ( x )) g ' ( x ) ∀ x ∈( a b , )
Incluso se puede extender a que si g y h son derivables, entonces ( ) ( )
( )
g x ( ) h x
F x = ∫ f t dt es
derivable y F ' ( x ) = f ( g ( x )) g ' ( x ) − f ( h x ( )) h ' ( x ) ∀ x ∈( a b , )
Proposición 4: (Regla de Barrow) Sea f : (^) [ a b , ] → una función continua y
sea G : (^) [ a b , (^) ]→ una primitiva de f. Entonces, (^) ( ) ( ) ( )
b
∫ a f^ x dx^ =^ G b^ − G a
Proposición 5: (Teorema de cambio de variable) Sea f : (^) [ a b , (^) ]→ una función
continua y sea x = g t ( ) un cambio de variable siendo g y g’ continuas en (^) [ c d , (^) ]. Entonces,
' siendo
b d a c
g c a f x dx f g t g t dt g d b
Es importante observar que con la regla de Barrow aparece la primera relación directa entre la integral definida y la indefinida y, por lo tanto, la relación entre al cálculo
diferencial y el cálculo integral. Esta regla supone, sin lugar a dudas, la herramienta más efectiva para el cálculo de integrales definidas.
Ejemplo 1: Hallemos la derivada de la función ( ) 0 ln (^) ( 2 4 )
x
F x = ∫ t + dt definida en [ 0,+ ∞ ).
Es evidente que la función del integrando es continua por ser composición de funciones continuas (polinomio y logaritmo). Así pues, aplicando el teorema fundamental del cálculo
integral, tendremos que F es derivable y que F ' (^) ( x (^) ) = f (^) ( x (^) ) = ln (^) ( x^2 + (^4) )en (^) ( 0,+ ∞ (^) ).
Ejemplo 2: Hallemos el valor de algunas integrales definidas:
a) (^) [ ]
/2 (^) / 0 cos^^ x dx^ sen^ x^0 sen^2 sen0^1 0
∫ =^ =^ −^ =^ −^ =
b) (^) [ ]
(^3 ) 1 1
dx ln x ln3 ln1 ln x
∫ =^ =^ −^ =
c) ( ) ( )
5 2 0
siedo 2 3 2
x si x f x dx f x x si x
Es evidente que f no es continua en (^) [ 0,5] , pero sí lo es a trozos. Por tanto, utilizando la
propiedad de la integral (proposición 1c), calculamos dichas integrales por separado:
( )
3 2 5 2 2 5 2 5 0 0 2 2 0
8 1 2 3 3 ( 2) ( 0 0) 3 3 34 (25 15) 4 6 3
x f x dx x dx x dx x x x
(^) − − = − + + − = (^) + (^) + ^ − = + − − + +
∫ ∫ ∫
d) Calculemos el valor de la integral
2 2 1
ln x dx
∫ x
de dos formas distintas.
- La manera más fácil y la que usaremos es hallar la integral indefinida primero:
2 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 1 1
ln ln ln ln ln ln 2 ln 1 ln 2 3 3 3 3 3
t x x t x x dx (^) dx t dt C C dx x (^) dt x x
- La otra forma es utilizando el teorema de cambio de variable para integrales definidas:
2 3 ln 2 3 3 2 ln 2 2 ln 2 2 1 ln1 0 0
ln ln ln 2 0 ln 2 3 3 3
t x x t dx (^) dx t dt t dt x (^) dt x
Se proponen las actividades 1, 2 y 3.
6.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Las aplicaciones de la integral definida en la matemática moderna son múltiples y de enorme utilidad, no solo en la Matemática, sino en la Física, la Química, la Ingeniería y las Ciencias en general. Centrándonos en las Matemáticas, las más importantes son el cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de curvas. En este curso, únicamente abordaremos el cálculo de áreas entre curvas, dejando el resto para estudios posteriores.
Ejemplo 3: Hallemos el área entre la curva y = − x 2 + 3 y el eje de
abscisas en el intervalo [ −2,2 ].
Lo primero que hemos de hacer es un pequeño estudio gráfico. Es evidente que se trata de una función positiva, por lo tanto el área pedida es la integral definida en el intervalo:
3 2 (^2 2 22 ) 2 0 0
par (^) x A (^) − x dx x dx x u
^
Ejemplo 4: Hallemos ahora la de la curva y = x^3 − x entre
x = 0 y x = 2.
Vemos sus raíces, que fácilmente son x = −1 , x = 0 y x = 1 y
hacemos un esbozo de su gráfica entre 0 y 2.
(^2 3 1 3 ) 0 0 1 4 2 1 4 2 2 2 0 1
A x x dx x x dx x x dx
x x x x u
- Caso 2: Área encerrada entre dos curvas.
Si se trata de dos funciones f y g tales que f ( x ) ≥ g ( x ) ∀ x ∈ [ a b , ], el área encerrada
entre las curvas en dicho intervalo es siempre ( ( ) ( ))
b
A = ∫ a f x − g x dx
independientemente del signo de cada una y de los cortes con los ejes, si los hay.
Veamos esta conclusión en distintos casos:
( ) ( ) (^ ( ) ( ))
b b b a a a
A = ∫ f x dx − ∫ g x dx = ∫ f x − g x dx
( ) ( ) (^ ( ) ( ))
b b b a a a
A = ∫ − g x dx − ∫ − f x dx = ∫ f x − g x dx
( ) ( ) (^ ( ) ( ))
b b b a a a
A = ∫ f x dx + ∫ − g x dx = ∫ f x − g x dx
Si se trata de dos funciones f y g tales que se cortan el algún punto, simplemente tenemos que hallar dichos puntos de corte y separar en dos integrales como las del caso anterior y sumar las áreas.
Esto es:
Nota 6: Es evidente que el eje de abscisas puede ser considerado también una función, de hecho es la función y = 0. Así pues, podemos decir, que en todos los casos, el área
entre dos curvas se obtiene hallando en cada intervalo, el valor de la integral de la resta de la que está por encima menos la que está por debajo. También se pueden restar sin tener en cuenta cuál está por encima y cuál por debajo y tomar el valor absoluto de cada integral. Si no hay dos curvas, sino una sola y el eje de abscisas, consideramos el eje de abscisas como la segunda función, que es y = 0 , como hemos
dicho antes.
Ejemplo 5: Hallemos el área entre las curvas y = x^2 − 2 y la bisectriz del primer y tercer
cuadrante.
Lo primero que hemos de hacer es calcular los puntos de corte de las dos gráficas que vienen dados por el sistema:
y x^2 y x
y cuyas soluciones son: x = − 1 y x = 2. Un
simple esbozo de ambas gráficas nos indica que la recta está por encima. Así pues, el área pedida viene dada por:
2 3 2 (^2 ) 1 1
x x A x x dx x − −
Ejemplo 6: Hallemos ahora el área limitada por las
curvas y = sen2 x e y = cos x en el intervalo 0, 2
Lo primero que hemos de hacer es ver los puntos de corte e intentar hacer un esbozo gráfico lo más aproximado posible.
Para hallar los puntos de corte, resolvemos el sistema:
1 2 (^ )^ (^ )
c b a c b a
A A A f x g x dx f x g x dx
f x g x dx
1 2 (^ (^ )^ (^ )^ )^ (^ (^ )^ (^ ))
c b a c
A = A + A = ∫ f x − g x dx + ∫ g x − f x dx
Actividad 9: Dos hermanas heredan una parcela que han de repartirse en partes iguales.
La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x^2 y la recta y = 1. Deciden
dividir la parcela mediante una recta horizontal. Halla el valor de a.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO
Actividad 10: Calcula las siguientes integrales definidas:
a)
(^1 ) 0
∫ x^ x^ +^1 dx b)^
0 e x cos x dx
π
∫ c)^
1 0 2
dx
∫ x +
d)
3 (^2 )
dx
∫ x x −
e) 0 sen x cos x dx
π
Actividad 11: Razona cuál de las dos integrales siguientes es mayor sin calcularlas: (^1 ) 0 0 e −^^ x^ dx y e − xdx
Actividad 12: Determina los extremos relativos de la función (^) ( ) 0 ( 2 )
x
f x = ∫ t − t dt
Actividad 13: Sabemos que ( ) 2 ( )
0
x
∫ f^ t dt^ =^ x^ + x ,^ siendo^ continua^ en^ ^.^ Determina
razonadamente el valor de f ( 2 ).
Actividad 14: En el intervalo (^) [ −4,4 (^) ]se define la función (^) ( ) 2 0
x
F x = ∫ − t dt
a) ¿Cuánto vale F ' 2( )? b) ¿Cuánto vale F ( 4 )?
Actividad 15: Dada parábola f (^) ( x (^) ) = x^2 , halla el punto c ∈ (^) [ 0,2] tal que el área que
encierra la parábola con el eje OX en el intervalo (^) [ 0,2 (^) ]sea igual a la de un rectángulo de
base 2 y altura f ( c ). ¿Qué teorema asegura la existencia de c?
Actividad 16: Dada la función f ( x ) = x + 2 ⋅ x − 2 , calcula ( )
3 0
∫^2 f^ x dx
Actividad 17: Calcula el área de la región limitada por la curva (^2) 2
x y x
y las rectas
x = 2 , x = 3 e y = 0
Actividad 18: Calcula el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones:
x = y^2 , x + 2 y = 3 , y = 0 , x = 2
Actividad 19: Calcula el área de la región del plano comprendida entre las parábolas:
y = x^2 − 6 x + 5 , y = 5 + 6 x − x^2.
Actividad 20: Halla el área limitada por la curva y^ =^ x^3 +^1 y la recta
y = x + (^).
Actividad 21: Halla el área limitada por las curvas y = sen x e y = sen2 x entre el origen
de coordenadas y el siguiente punto de corte entre ambas.
Actividad 22: Halla el área limitada por la curva y = x^3 y la bisectriz del primer y tercer
cuadrante.
Actividad 23: Halla el área limitada por las curvas (^22)
y x e y x
Actividad 24: Determina el área de la superficie limitada por el eje OX y las curvas de
ecuaciones ln^
x y x e y e
Actividad 25: Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones
f ( x ) = x^2 y g ( x )= x^3 − 2 x.
Actividad 26: La siguiente gráfica representa la función f : 0,7[ ]→ .
Sea F : 0,7[ ]→ la función definida por (^) ( ) ( ) 0
x
F x = ∫ f t dt
a) Calcula F ( 4 ) y F ( 7 )
b) Dibuja la gráfica de F.
Actividad 27: De una función integrable f : (^) [ −1,1 (^) ]→ se sabe que para cada valor de x,
se verifica f ( x ) ≤ 1 + x^2. De los números: − 3 , − 2 , − 1 , 2.5 y 2.75, ¿cuáles
pueden ser el valor de la integral ( )
1 1 f x dx
Actividad 28: De las funciones continuas f g , : → se sabe:
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( )
2 3 3 2
∫ 1 f^ x^ +^ g^ x^ dx^ =^3 ,^ ∫ 2 3 f^ x^ −^ g^ x^ dx^ =^3 ,^ ∫ 1 f^ x dx^ =^3 ,^ ∫ 12 f^ x dx =^3
Calcula, si es posible, ( )
3 1
∫ g^ x dx , y, si no es posible, di por qué.
Actividad 29: La gráfica de la función f adjunta corresponde a una función cuadrática.
a) Determina la expresión algebraica de f.
b) Calcula el área de la región sombreada.
Actividad 38: (2003) Sea la función f : → definida por f ( x ) = 2 x^3 − 6 x + 4. Calcula el
área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativo de la función.
Actividad 39: (2003) Considera las funciones f g , : → definidas por f ( x ) = 6 − x^2
y g ( x )= x.
a) Dibuja el recinto acotado que está limitado por las gráficas de f y g. b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
Actividad 40: (2004) Considera la función f : → definidas por f ( x )= x x.
a) Dibuja la región acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante. b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.
Actividad 41: (2004) Considera la función f : → definidas por f ( x ) = e x^ + 4 e − x.
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2.
Actividad 42: (2004) Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la superficie sombreada.
Actividad 43: (2004) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta
y = 2 x y por las curvas
2 (^2) e 2
x y = x y =.
Actividad 44: (2004) Calcula
0 2 2
dx
∫− x + x +
Actividad 45: (2004) Considera la integral definida
9 1
I dx x
a) Expresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables 1 + x = t. b) Calcula I.
Actividad 46: (2004) Sea f : → la función definida por ( ) 2
f x = − x + x +.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada y = 1 , teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa_._
b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.
Actividad 47: (2004) Considera las funciones f : 0,( +∞ (^) )→ y g : → definidas,
respectivamente, por f ( x ) = Ln x y g ( x ) = 1 − 2 x , siendo Ln x el logaritmo neperiano de x.
Calcula el área del recinto limitado por las rectas x = 1 y x = 2 y las gráficas de f y g.
Actividad 48: (2004) Determina b sabiendo que b > 0 y que el área del recinto limitado
por la parábola de ecuación
2 1 3
y x b
y los ejes coordenados es igual a 8.
Actividad 49: (2004) Determina b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva (^) y = x^2 y la recta (^) y = bx es igual a (^) 9 / 2.
Actividad 50: (2005) Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : → definida por
f ( x ) = x e^2 x y a su función derivada f´.
a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f´. b) Calcula el área de la región sombreada.
Actividad 51: (2005) Considera la función f : → definidas por ( ) 2
x f x e − =.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f, la recta de ecuación x = 2 y la recta tangente obtenida en a).
Actividad 52: (2005) Se sabe que la función f : 0,[ +∞ )→ definida por
2
ax si x f x (^) x si x x
, es continua en [ 0,+∞)
a) Halla el valor de a.
b) Calcula ( )
10 0 ∫ f^ x dx
Actividad 53: (2005) Sea f : → la función definida por ( )
2
x si x
f x
x si x
^ +^ ≤
−^ >
a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica. b) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas.
Actividad 54: (2005) Calcula ( )
0 1 Ln 2 x dx −
∫ + , siendo Ln el logaritmo neperiano.
Actividad 63: (2006)
a) Sea f : → la función definida por f ( x ) = ax^2 + b. Halla los valores de a y b
sabiendo que ( )
6 ∫ 0 f^ x dx^ =^6 y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en el punto de abscisa 3 vale -12.
b) Sea f : → la función definida por f ( x ) = x^2 + px + q. Calcula los valores de p y q
sabiendo que la función f tiene un extremo en (^) x = − 6 y su valor en él es − 2.
Actividad 64: (2006) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función
f ( x ) = sen x y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de
abscisas x^ = π^ 0 y x =^.
Actividad 65: (2006) Sean las funciones f y g : 0,[ +∞ )→ dadas por f ( x ) = x^2
y g ( λx ) x = , donde λ es un número real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo
que el área del recinto limitado por las gráficas de ambas es
Actividad 66: (2006) Sea f : 0,2( )→ la función definida por
Ln 0 1 ( ) Ln 2 1 2
x si x f x x si x
^ <^ ≤
−^ <^ <
siendo Ln la función logaritmo neperiano.
a) Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.
b) Calcula ( )
1, 0 ∫ f^ x dx.
Actividad 67: (2006) f : → la función definida por 2
a si x f x x x si x
a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x + 2 = 0 y x − 2 = 0.
Actividad 68: (2007) Sea la función f : → definida por f ( x ) = x x − 2.
a) Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 2. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
Actividad 69: (2007) Sean f : → y g : → las funciones mediante f ( x ) = x^3 + 3 x^2
y g ( x ) = x + 3.
a) Esboza la gráfica de f y de g calculando sus puntos de corte. b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g.
Actividad 70: (2007) Considera las funciones f : → y g : → definidas
por f ( x ) = ex −^1 y g ( x ) = e^1 −^ x.
a) Esboza la gráfica de f y de g y determina su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g.
Actividad 71: (2007) Sea f : → la función definida por ( ) ( )
2 f x = x x − 3.
a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Haz un esbozo la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
Actividad 72: (2007) Sea f : ( −2,0 )→ la función ( ) 2
α si x x f x xβ si x
−^ <^ ≤ −
a) Determina α y β sabiendo que f es derivable.
b) Calcula ( )
1 2 f x dx
− ∫−
Actividad 73: (2007) Sea f : → la función definida por
x 0
αx si x f x e − si x
+^ <
a) Determina el valor α sabiendo que f es derivable. b) Haz un esbozo la gráfica de f.
c) Calcula ( )
1 ∫ − 1 f^ x dx.
Actividad 74: (2007) Calcula β > 0 para que el recinto limitado por las gráficas de las
funciones de f : → y g : → definidas por f ( x ) = x^2 y g ( xβ ) = − x^2 + 2 2 sea 72
(unidades de área).
Actividad 75: (2007) Sea f : → la función definida por f x ( )= x^2.
a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su área.
Actividad 76: (2008) Dadas las funciones (^) f : 0,( +∞) → y g : 0,( +∞ (^) )→ definidas
por f ( x )= x y g ( x ) = 3 x. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
Actividad 77: (2008) Sea f : → la función definida por f x ( )= ax^3^ + bx^2 + cx + d. Se
sabe que f tiene un máximo local en x = 1 , que el punto (0,1) es un punto de inflexión de
su gráfica y que (^) ( )
1 0
9 4 ∫^ f^ x dx^ =. Calcula a, b, c y d.
Actividad 86: (2008) Sea f : → la función definida por
x x si x f x x si x
−^ >
a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f. c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.
Actividad 87: (2008) Calcula (^2) ( ) 1 ln
e ∫ x^ x dx (Ln denota logaritmo neperiano).
Actividad 88: (2008) Sea g : → la función dada por 3 2
g x = x − x + x
a) Esboza la gráfica de g. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto x = 2. c) Calcula el área del recinto limitado la gráfica de g y el eje de abscisas.
Actividad 89: (2009) Considera las funciones f , g : → definidas por
f ( x ) = x y g ( x ) = 6 − x^2.
a) Esboza el recinto limitado por sus gráficas. b) Calcula el área de dicho recinto.
Actividad 90: (2009) La recta tangente a la gráfica de la función f : → definida
por f x ( ) = mx^2 + nx − 3 , en el punto ( 1, − 6 ), es paralela a la recta y = − x.
a) Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de la recta tangente. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función , la recta tangente del apartado anterior y el eje de ordenadas.
Actividad 91: (2009) La curva 2
y = x divide al rectángulo de vértices
A ( 0,0) , B ( 2,0) , C ( 2,1) y D ( 0,1)en dos recintos.
a) Dibuja dichos recintos. b) Halla el área de cada uno de ellos.
Actividad 92: (2009) Sea (^) f : → la función definida por f x ( ) = x x − 1
a) Esboza la gráfica de f. b) Comprueba que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f en el
punto de abscisa (^) x = 0. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.
Actividad 93: (2009) Considera la curva de ecuación y = x^3 − 3 x.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = − 1. b) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y = 2.
Actividad 94: (2009) Sea f : 0,( +∞ )→ la función definida por f x ( ) = 1 + ln( x ), siendo ln
la función logaritmo neperiano.
a) Comprueba que la recta de ecuación
y 1 x e
= + es la recta tangente a la gráfica de g
en el punto de abscisa x = e. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado a).
Actividad 95: (2009) Se consideran las funciones f : 0,[ +∞ )→ y g : → definidas
por f ( x ) = 3 x , ( ) 2
g x = x.
a) Haz un esbozo de sus gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.
Actividad 96: (2009)
a) Calcula ∫ x sen x dx
b) Sean las funciones f , g : → definidas por f ( x ) = − x^2 + 1 , g ( x )= x − 1. Calcula el
área del recinto limitado por sus gráficas.
Actividad 97: (2009) Las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : 0,( +∞ )→
definida por ( ) ( )
f x ln x x
= + y a la de su derivada f ′: 0, ( +∞ )→ (ln denota logaritmo
neperiano).
a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f´. b) Calcula el área de la región sombreada.
Actividad 98: (2009) Sean f : → y g : → las funciones definidas
por f ( x ) = x^2 + x y g ( x ) = 2.
a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. Esboza dichas gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
Actividad 99: (2009) Calcula un número positivo a, menor que 4, para que el recinto
limitado por la parábola de ecuación y = x^2 , y las dos rectas de ecuaciones
y = 4 e y = a , tenga un área de 28 / 3 unidades cuadradas.
Actividad 100: (2010) Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola (^) y = x^2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades
cuadradas.
Actividad 101: (2010) Calcula ( )
2 0 sen
π
∫^ x^ dx.^ Sugerencia: Efectúa el cambio^ x^ = t
