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BLOQUE II: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 7

INTEGRAL DEFINIDA.

CÁLCULO DE ÁREAS

RESUMEN TEÓRICO

Matemáticas Empresariales.

• 1. Integral Definida
• 1. Métodos de Integración
• 1. Aplicaciones
  • 3.1. Cálculo de áreas de recintos limitados por funciones
  • 3.2. Funciones continuas de distribución de probabilidad
• 1. Funciones Eulerianas
  • 4.1. Función Gamma:  :(^0 ,)
  • 4.2. Función Beta: :( 0 ,) ( 0 ,)

Matemáticas Empresariales. 4

Observación 2

Dadas dos particiones P y Q, si P es más fina que Q :

s ( Q , f ( x )) s ( P , f ( x )) Área ( S ) S ( P , f ( x )) S ( Q , f ( x )

La aproximación al valor del área es mejor cuanto más fina es la partición.

Definición 6

Se dice que 𝑓 es integrable en [a, b] si para cualquier secuencia de particiones P𝑛 ∶ D(P𝑛) ⟶ 0

lim 𝑛

𝑠(P𝑛, 𝑓) = lim 𝑛

𝑆(P𝑛, 𝑓) = 𝑆

A este límite le llamamos Integral de f(x) entre a y b.

𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Si 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏] o tiene un número finito de discontinuidades en [𝑎, 𝑏] y es acotada

entonces es integrable

Propiedades

b b b

a a a

f x  g x dx  f x dx  g x dx

  

b b

a a

k f x dx  k f x dx

 

b

a

k dx  k b  a



a

a  f^ x dx^ 

b a

a b

f x dx   f x dx

 

b c b

a a c

f x dx  f x dx  f x dx

  

a  c  b ;

Teorema fundamental del cálculo

Sea 𝑓(𝑥): 𝑅 → 𝑅, continua en [𝑎, 𝑏]

Se define 𝐹(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑡 𝑎 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏].^ Entonces: 𝐹(𝑥) es derivable y 𝐹′(𝑥) = f(x)

Regla De Barrow

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

.

Matemáticas Empresariales. 5

EJEMPLO 1. CALCULAR

1 1 2 0 2 0

x

x

x

dx L x L L L

x





2. Métodos de Integración

Integración por partes

El intervalo de integración afecta también a primer término, es decir:

= [𝑢(𝑏)𝑣(𝑏) − 𝑢(𝑎)𝑣(𝑎)] − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

EJEMPLO 2. Calcular

(^1) 2𝑥 0

2𝑥

2𝑥

2𝑥

2𝑥

1

0

2𝑥

]

𝑥=

𝑥=

2𝑥

1

0

2𝑥

]

𝑥=

𝑥=

2𝑥

]

𝑥=

𝑥=

2

2

Cambio de variable

El método que conocemos nos permite obtener una primitiva tras efectuar un cambio de

variable, habría que deshacer el cambio para obtener una primitiva sobre las variables

originales y posteriormente aplicar la regla de Barrow. Lo habitual es adaptar el recinto de

integración a las nuevas variables y aplicar directamente la regla de Barrow.

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Si efectuamos el cambio 𝑡 = 𝑔(𝑥) 𝑑𝑡 = 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥

𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 𝑡 = 𝑔(𝑎) 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑏 𝑡 = 𝑔(𝑏)

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)

Matemáticas Empresariales. 7

Área=∫ (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = [𝑥 −

𝑥^2 2 ] 0

1 1 0

1 0 − [

𝑥^2 2 − 𝑥] 0

1 = 1 −

1 2 −

1 2 − 1 = 2 (

1 2 )=

También es posible calcular el área del siguiente modo:

Área=2 ∫ (1 − 𝑥)𝑑𝑥 = 2 [𝑥 −

𝑥^2 2 ] 0

1

1 0 2 (1 −^

1 2 ) = 2 (

1 2 ) = 1

Es decir, calculando el área por encima del eje “ x ” y luego multiplicando por dos.

3.2. Funciones continuas de distribución de probabilidad

Una función continua y derivable F(x) se dice que es función de distribución de probabilidad si

es monótona no decreciente y F(-) = 0 F()=1.

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑑𝐹(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

−∞

𝑥

−∞

La función 𝑓(𝑥) = 𝐹´(𝑥) se denomina función de densidad de probabilidad

𝑃(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Ejemplo:

Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑒−2𝑥^ 𝑥 > 0 una función de densidad de probabilidad. Obtenga su función de distribución y

calcule la probabilidad del intervalo (1,3).

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥 −∞ = ∫^ 2𝑒

𝑥 −2𝑡𝑑𝑡 = 0 −𝑒

−2𝑡]𝑡 = 𝑥 𝑡 = 0

= −𝑒−2𝑥^ − (−𝑒−0) = 1−𝑒−2𝑥^ (x>0)

𝑃(1,3) = ∫ 2𝑒−2𝑡𝑑𝑡 = 𝐹(3) − 𝐹(1) =

3

1

𝑒−2^ − 𝑒−

y

1

0 1 x

𝑦 = 1 − 𝑥

𝑦 = 𝑥 − 1

Matemáticas Empresariales. 8

4. Funciones Eulerianas

4.1. Función Gamma:  :( 0 ,)

Se define p x e dx

  p   x    0

1 ( ). p>

Propiedades

1. Para cada p  1 , ( p )( p  1 )( p  1 );

Consecuencia:

• ( p )( p  1 )! si p es un número natural!

1. p

p ax a

p x e dx

0

    (^)  (a>0)

Ejemplos

3

4 0

2 

   x e dx x

x e dx x^3 0

    .

Para que esta integral represente una ( p ), es decir, para encontrar el valor de p ,

tenemos que hacer un cambio de variable:

x t x t dx t dt t dt 23 1 3

1 3 13 3

        

         x^ e dx  t e t dt  t t e dt

x t 23 t 0

23 16

12

0

13 0

12 3

0

     t^ e dt

t .

Matemáticas Empresariales. 10

  (^)  

 ^         

 2

(^112)

0

(^12313)

0

(^112)

0

3 312

x x dx t t t dt t t dt 