TAREA II ´
ALGEBRA SUPERIOR I DIANA AVELLA ALAMINOS
1. Sean A:= B:= {x∈R| − 1≤x≤1}y considera el subconjunto C:=
{(x, y)|x2+y2= 1}de A×B. ¿Es este conjunto una funci´on de Aen B?
2. Prueba que si f:A→Bes inyectiva y E⊆A, entonces f−1[f[E]] = E.
3. Prueba que si f:A→Bes suprayectiva y H⊆B, entonces f[f−1[H]] = H.
4. Encuentra dos funciones fygde RaRtales que f6=g, pero f◦g=g◦f.
5. Denotemos por [x] a la parte entera de cualquier n´umero real x, es decir, [x] es
el m´aximo entero menor o igual a x. Sea f:N+→Zdada por f(n) = (−1)n£n
2¤.
Demuestra que fes biyectiva.
6. Sea f:Q+→Zdada por f¡n
m¢= 2n3mdonde n
mes una fracci´on simplificada
(es decir, nymno tienen factores comunes). Demuestra que fes inyectiva.
7. Sean f:A→B,g:B→Ctales que g◦fes inyectiva. Demuestra que fes
inyectiva.
8. Sean f:A→B,g:B→Ctales que g◦fes sobre. Demuestra que ges
sobre.
9. Halla f:A→Byg:B→Ctales que fes inyectiva pero g◦fno lo es.
10. Halla f:A→Byg:B→Ctales que ges suprayectiva pero g◦fno lo es.
11. Halla f:A→Byg:B→Ccon fes inyectiva, gsobre pero g◦fni
inyectiva ni sobre.
12. Halla f:A→Byg:B→Ctales que fno es sobre, gno es inyectiva pero
g◦fes biyectiva.
13. Prueba que N×N∼N.
14. Prueba que [0,1] ∼R.
15.Sea Runa relaci´on sim´etrica y transitiva. Sea (x, y)∈R, por ser Rsim´etrica
(y, x)∈R. Tenemos entonces (x, y)∈Ry (y, x)∈Ry por transitividad concluimos
que (x, x)∈R. ¿Podemos entonces decir que la simetr´ıa y la transitividad implican
la reflexividad?
16. Numerando las propiedades 1. reflexividad, 2. simetr´ıa y 3. transitividad da
relaciones, si es que existen, que cumplan 1 y 2 pero no 3; 1 y 3 pero no 2; 2 y 3
pero no 1; 1 pero no 2 y 3; 2 pero no 1 y 3; 3 pero no 1 y 2.
17. Encuentra todas las posibles particiones de {a, b, c, d}y encuentra para cada
una la relaci´on de equivalencia asociada.
18. Definamos la relaci´on R⊆Z×Zde la siguiente forma: (n, m)∈Rsi y s´olo
si 7 divide a n−m. Prueba que es relaci´on de equivalencia y encuentra la partici´on
de Zasociada a R.
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