Integrales Impropias:
1. Si 𝑓 es continuo en el intervalo [𝑎,∞),
entonces:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=lim
𝑏→∞∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∞
𝑎
2. Si 𝑓 es continuo en el intervalo (−∞,𝑏],
entonces:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥= lim
𝑎→−∞∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑏
−∞ 𝑑𝑥
3. Si 𝑓 es continuo en el intervalo (−∞,∞),
entonces:
∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+ ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
𝑐
𝑐
−∞
∞
−∞
Función Gamma
Γ(𝑥)=∫ 𝑡𝑥−1𝑒−𝑡𝑑𝑡,𝑥>0
∞
0
La letra es convergente para x > 0
a) Γ(𝑥+1)=𝑥Γ(𝑥),∀ x > -1
b) Γ(1)=1
c) Γ(𝑛)=(𝑛−1)!,∀𝑛∈ Z+
d) Γ(1
2)=√𝜋
e) Γ(−1
2)=−2√𝜋
f) ∫𝑒−𝑢2𝑑𝑢=√𝜋
2
∞
0
g) Γ(𝑥).Γ(1−𝑥)=𝜋
sin(𝜋𝑥),0<𝑥<
1
h) Γ(𝑛+1
2)=(2𝑛)!√𝜋
(4𝑛).(𝑛!),𝑛=0;1;2;…
Función beta
𝛽(𝑥,𝑦)=∫𝑡𝑥−1(1−𝑡)𝑦−1𝑑𝑡
1
0
Esta integral converge para valores de “x>0
e y>0”; y es impropia para valores “x<1 o
y<1”
a) 𝛽(𝑝,𝑞)=Γ(𝑝) Γ(𝑞)
Γ(𝑝+𝑞)
b) 𝛽(𝑝,𝑞)=𝛽(𝑞,𝑝)
c) 𝛽(𝑝,𝑞)=∫𝑥𝑝−1(1−𝑥)𝑞−1𝑑𝑥 ;
1
0p,q>0
d) 𝛽(𝑚,𝑛)=2∫sin2𝑚−1(𝑥)cos2𝑛−1𝑑𝑥
𝜋2
⁄
0
Forma polar o trigonométrica
e) 𝛽(𝑚,𝑛)=∫𝑥𝑚−1
(1+𝑥)𝑚+𝑛𝑑𝑥
+∞
0
Coordenadas polares
P(r,𝜃) = P(x,y)
Sexagesimal ↔ radial
𝑆
180° = 𝑟
𝜋
- De coordenadas polares a rectangulares
{𝑥=𝑟cos𝜃
𝑦=𝑟sin𝜃
- De coordenadas rectangulares a polares
{𝑟=√𝑥2+𝑦2
𝜃=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1
2)
Grafica de coordenadas polares
𝜃
r
𝜃
r
0°=0
120°=2𝜋
3
30°=𝜋
6
135°=3𝜋
4
45°=𝜋
4
150°=5𝜋
6
60°=𝜋
3
180°=𝜋
90°=𝜋
2
Masa, centro de gravedad, centro masa y
centroide
a) Centro de masa de un sistema
unidimensional
o Centro masa (𝑥∗)
𝑥∗=𝑚1𝑥1+𝑚2𝑥2+𝑚3𝑥3+⋯+𝑚𝑛𝑥𝑛
𝑚1+𝑚2+𝑚3+⋯+𝑚4
▪ 𝑥= distancia
▪ 𝑚= masa
▪ 𝑥∗= centro masa
b) Centro de masa de un sistema
bidimensional
o De dos o más puntos
▪ Momento en x
𝑀𝑥=(𝑚)(𝑦1)
