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Interpolaci´on de Hermite
Definici´on (polinomio osculante). Sean x 0 ,... , xn ∈ [a, b] n´umeros distintos y mi ≥ 0 un entero no negativo asociado a xi para i ∈ {0,... , n}. Supongamos que f ∈ Cm[a, b], donde m = max{m 0 ,... , mn}. El polinomio osculante que aproxima f es el polinomio P de menor grado que concuerda con la funci´on f y con todas sus derivadas de orden ≤ mi en xi para cada i ∈ {0,... , n}:
P(k)(xi) = f(k)(xi), 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ k ≤ mi.
Grado del polinomio osculante.
deg(P) ≤ M = n +
∑^ n
i= 0
mi.
Caso particular: polinomio de Taylor. Corresponde a n = 0 (un punto).
Caso particular: polinomio de Lagrange. Corresponde a m 0 =... = mn = 0 (no hay condiciones para las derivadas).
Caso particular: polinomio de Hermite. Cuando m 0 =... = mn = 1.
- Teorema (existencia y unicidad del polinomio de Hermite). Sean x 0 ,... , xn ∈ [a, b] n´umeros distintos, f ∈ C^1 [a, b]. Entonces existe un ´unico polinomio H que concuerde con f y f′^ en x 0 ,... , xn. Este polinomio est´a dado por
H(x) =
∑^ n
j= 0
f(xj)Hj(x) +
∑^ n
j= 0
f′(xj) ^Hj(x),
donde Hj(x) = ( 1 − 2 (x − xj)L j′ (xj))L^2 j (x), H^j(x) = (x − xj)L^2 j (x).
Aqu´ı
Lj(x) =
0 ≤k≤n k 6 =j
x − xk xj − xk
Interpolaci´on de Hermite, p´agina 1 de 2
- Construcci´on del polinomio de Hermite usando diferencias divididas. Defi- namos puntos z 0 ,... , z2n+ 1 por medio de
z2j = z2j+ 1 = xj, i ∈ {0,... , n}.
y ponemos las condiciones
f[z2j] = f[z2j+ 1 ] = f(xj), f[z2j, z2j+ 1 ] = f′(z2j) = f′(xj).
Calculemos las dem´as diferencias divididas como siempre. Entonces
H(x) =
2n∑+ 1
k= 0
f[z 0 ,... , zk](x − z 0 ) · · · (x − zk− 1 ).
- Ejemplo. Construyamos el polinomio de Hermite que concuerde con f y f′^ en los puntos x 0 = − 1 , x 1 = 2 , si
f(− 1 ) = −9, f′(− 1 ) = 10, f( 2 ) = 12, f′( 2 ) = 13.
Tabla de diferencias divididas (los datos iniciales est´an escritos con azul):
z 0 = − 1 f[z 0 ] = − 9 z 1 = − 1 f[z 1 ] = − 9 f[z 0 , z 1 ] = 10 z 2 = 2 f[z 2 ] = 12 f[z 1 , z 2 ] = 7 f[z 0 , z 1 , z 2 ] = − 1 z 3 = 2 f[z 3 ] = 12 f[z 2 , z 3 ] = 13 f[z 1 , z 2 , z 3 ] = 2 f[z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ] = 1
Respuesta: H(x) = x^3 − x^2 + 5x − 2.
- Ejercicio. Construya el polinomio de Hermite que concuerde con f y f′^ en los puntos − 3 , 2 , si f(− 3 ) = −29, f′(− 3 ) = 47, f( 2 ) = 6, f′( 2 ) = 17.
Haga la comprobaci´on.
- Ejercicio. Construya el polinomio de Hermite que concuerde con f y f′^ en los puntos −1, 0, 2, si
f(− 1 ) = 5, f′(− 1 ) = 12, f( 0 ) = 2, f′( 0 ) = −7, f( 2 ) = −40, f′( 2 ) = −51.
Haga la comprobaci´on. Respuesta: H(x) = x^5 − 4x^4 + x^2 − 7x + 2.
Interpolaci´on de Hermite, p´agina 2 de 2
