¡Descarga Interpolación de Lagrange y Hermite: Polinomios interpoladores - Prof. Mondelo y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtol 3Interpolaci´o Polin`
omica
Suposem que tenim una fam´ılia de funcions
R^ →^ R^ que depenen de^ n^ + 1 par`ametres,Φ(x;^
a,... , a)^0 n on^ a,... , as´on els par`ametres.^0 n^
Suposem tamb´e que tenim^ n^ + 1 punts n {(x, y)}. El^ problema d’interpolaci´iii=
no per Φ, {(x, y)}consisteix aiii=^ determinar^ a,... , aperqu`e^0 n^ Φ(x;^ a,... , ai^0 n
) =^ y,^ i^ = 0^ ÷^ n.i n Els {(x, y)}es diuen^ punts de suportiii=^
n, els {x}abscisses de suportii=^ n i els {y}ordenades de suportii=^
. Es diu que el problema d’interpolaci´o ´es^ lineal^ si Φ depen linealment dels parametres,Φ(x;^ a,... , a) =^ aΦ(^0 n^00
x) +^ aΦ(x) +^...^ +^ aΦ(x),^11 nn per exemple, la^ interpolaci´o polinomial
,^2 nΦ(x; a,... , a) = a+ ax +^ ax+^...^ +^ ax, 0 n 0 12 n o la^ interpolaci´o trigonom`etrica
, ix^ i^2 x^ inxΦ(x; a,... , a) = a+ ae+^ ae+^...^ +^ ae. 0 n 0 12 n Exemples d’interpolaci´o no lineal s´on la
interpolaci´o racional, na+^ ax^ +^...^ +^ ax^0 1 nΦ(x; a,... , a, b,... , b) =^ , 0 n 0 mm^ b+^ bx^ +^...^ +^ bx^0 1 m i la^ interpolaci´o exponencial, Φ(x;^ a,... , a, λ,... , λ) =^0 n^0 n
λx^ λx^ λx^01 n ae+^ ae+^...^ +^ ae. 01 n
66 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3 Abans de l’aparici´o de les calculadores, la principal aplicaci´
o de la in- terpolaci´o era obtenir, a partir de taules, valors no tabulats (de funcionstrigonometriques, logar´ıtmiques, distribucions de probabilitat,... ). En l’ac-tualitat, la interpolaci´o continua essent una eina fonamental per l’aproxima-ci´o de funcions, que ´es el fonament d’altres m
etodes num`erics, alguns dels quals els veurem durant el curs.En aquest cap´ıtol nom´es tractarem la interpolaci´
o polinomial.
3.1^ Interpolaci´o de Lagrange 3.1.1^ Exist`encia i unicitat Denotem per Πel conjunt de polinomis de graun^
≤^ n. El problema d’inter- polaci´o de Lagrange consisteix a, donats
n^2 {(x, y)}⊂^ R, amb^ x^6 =^ xperiii^ j^ i=^ i^6 =^ j, trobar^ P^ ∈^ Πtal quen^ P^ (x) =^ yi
,^ i^ = 0^ ÷^ n.^ i
Proposici´o 3.1.1^ El problema d’interpolaci´
o de Lagrange (3.1) t´e soluci´o ´unica. Prova:^ Per a veure’n l’exist`encia de soluci´
o, anem a construir-la expl´ıcitament. Definim(x^ −^ x)^...^ (x^ −^0 L(x) =^ i
x)(x^ −^ x)^...^ (x^ −^ x)i−^1 i+1n. (x− x)... (x− x)(x−^ x)^...^ (x−^ x)i 0 i i−^1 i^ i+1i^ n Els polinomis^ L,... , L∈^ Πs’anomenen^0 n^ n^
polinomis b`asics de Lagrange, i verifiquen^ L(x) =ij^
{^1 si^ i^ =^ j,^0 si^ i^6 =^ j. Aleshores^ P^ (x) =^ yL(x) +^ yL^001
(x) +^...^ +^ yL(x)^ ∈^ Π 1 nnn verifica^ P^ (x) =^ y, per^ i^ = 0^ ÷^ n.ii Per veure’n la unicitat, suposem que
P, Q^ ∈^ Πverifiquen^ P^ (x)^ =n^ i Q(x) =^ yper^ i^ = 0^ ÷^ n.^ Aleshoresii^
P^ −^ Q^ ∈^ Πt´e^ n^ + 1 zeros dife-n^ rents,^ x,... , x. Pel teorema fonamental de l’`^0 n
algebra, necess`ariament ha de ser el polinomi zero, i per tant^ P^ =
Q.^
Els polinomis basics de Lagrange donen un m
etode de calcul del polinomi interpolador.^ Tot i que ´es interessant des del punt de vista te
oric, altres
3.1 Interpolaci´o de Lagrange^
m`etodes que veurem m´es endavant s´
on m´es adequats per calculs efectius. No obstant aixo, la f´ormula de Lagrange pot ser interessant en situacions enles quals s’han de resoldre molts problemes d’interpolaci´
o per les mateixes abscisses de suport. Prova:^ (una altra) Anem a imposar la condici´
o d’interpolaci´o (3.1) a un polinomi gen`eric^ P^ (x) =^ a+^0
n ax +... + ax. 1 n Obtenim^ a+^ ax+^ ax^0 10
2 n+... + ax= yn 00 0 2 n a+ ax+ ax+... + ax= y 0 11 2 n 11 1 , ... 2 n a+ ax+ ax+... + ax= y 0 1 n 2 nn n n que ´es un sistema lineal (n^ + 1)^ ×^
(n^ + 1). Tindr`a soluci´o ´unica si i nom´
es si el determinant de la seva matriu de coeficients ´
es no nul. El determinant esmentat ´es^ ∣^ ∣^2 n∣∣^1 xx...^ x^0 ∣^0 0 ∣^2 n∣∣∏^1 xx...^ x^1 ∣^1 1 ∣^ =^ ∣^ ....∣....∣∣.^.^.^ .∣∣^ i>j^2 n∣∣^1 xx...^ xn^ n^ n
n−^1 n∏∏ (x− x) =^ (x−^ x),i j i^ j^ j=0^ i=j+ que es diu determinant de Vandermonde.
3.1.2^ Algorisme de Neville Considerem els punts de suport^ {(x
n, f)}i, per a^ k^ ≤^ n,^ {i, i,... , iii^01 i=^ } ⊂k {^0 ,^1 ,^2 ,... , n}, denotem per^ Pi,i^01
∈^ Π,...,ik^ k
el polinomi que resol el problema d’interpolaci´
o P(x) = f, j = 0^ ÷^ k.^ (3.3)i,i,...,iii 01 j j (^) k Exemple 3.1.2^ Suposem que treballem amb punts de suport
{(0,^ 1),^ (1,^ 3),^ (3,^ 2)}.
Amb les notacions anteriors^ n^ =
2, (x, f)^ =^ (0,^ 1), (x, f)^ =^0011
(1,^ 3),
(x, f) = (3,^ 2). Aleshores^22
68 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3
-^ P(x) ´es el polinomi de grau zero que satisf`^0
a^ P(x) =^ f, i.e.^ P(0) = 1.^0000 Amb les notacions anteriors,^ P=^ P^0
, amb^ i= 0.i^0
-^ P(x) ´es el polinomi de grau^ ≤^ 1 que satisf`^0 ,^2
a^ P(x) =^ fi^ P(x) =^0 ,^200 0 ,^22 f, ´es a dir,^ P(0) = 1,^ P(3) = 2.^20 ,^20 ,^2
Amb les notacions anteriors, P=^ Pamb^ i= 0,^ i= 2.^0 ,^2 i,i^0 1 01 • P(x) ´es el polinomi de grau^ ≤^ 2 que satisf`^0 ,^1 ,^2
a^ P(0) = 1,^ P(1) =^0 ,^1 ,^20 ,^1 ,^2 3,^ P(3) = 2.^0 ,^1 ,^2
Vegem la recurrencia que d´ona lloc a l’algorisme de Neville en forma deproposici´o. Proposici´o 3.1.3^ Se satisfa^ P(x)^ =^ f,^ ii
(x^ −^ x)P(ii,i,...,i^0 12 k^ P(x) = (^) i,i,...,i 01 k x)^ −^ (x^ −^ x)P(x)ii,i,...,ik^01 k−^1.^ (3.5)^ x−^ xii^0 k^ Prova:^ La igualtat (3.4) ´es trivial. Per veure (3.5), denotem per
R^ la part dreta de la igualtat i provem que satisf`
a (3.3) i (3.2), llavors, per unicitat de la interpolaci´o de Lagrange, tindrem
´ R = P. Es clar quei 0 i 1 ...ik (^) R(x) = P(x) = f,ii,...,iii 0 0 k− (^1 0 0) R(x) = P(x) = f,ii,...,iiik 1 k k k^ degut a les propietats d’interpolaci´o de
Pi^ P. Finalmenti,...,ii,...,i^01 k−^1 k^ (x− x)f− (x− x)fiiiiiij 0 j j jk^ R(x) =^ =^ f,^ j^ = 1^ ÷^ k^ −^1 ,iij j^ x− xiik 0 com vol´ıem veure.^
Donat^ x, suposem que volem avaluar
P^ (x), on^ P^ ´es el polinomi interpo- lador de Lagrange amb punts de suport
n {(x, f)}.^ Segons les notacionsiii= anteriors,^ P^ (x) =^ P(x).^0 ,^1 ,...,nL’organitzaci´o dels calculs de la recurr
encia (3.4), (3.5) en la seg¨uent taula k = 0 k = 1^ k^ = 2 xf= P(x) 0 0 0 P(x) 0 , (^1) xf= P(x) P(x) 1 1 10 ,^1 ,^2.. P(x)^. 1 , (^2) xf= P(x) (^2 2 ) ......
3.1 Interpolaci´o de Lagrange^
La quantitat^ fl’anomenarem^ i,...,i^0 k^
difer`encia dividida d’ordre^ k^ aplicada als arguments^ x,... , x.ii^0 k^ M´es formalment: Definici´o 3.1.5^ Sigui^ f^ :^ R^ →^
kR funci´o, {x}⊂^ R^ diferents dos aii=^ dos.^ Definim la difer`encia dividida d’ordre
k^ de^ f^ aplicada als arguments x,... , x, que denotarem per^ f^ [x^0 k^0
,... , x], com el coeficient de grau m´k
es gran del polinomi interpolador de Lagrange amb punts de suport
k {(x, f (x))}.iii= Proposici´o 3.1.6 (recurrencia de les difer
encies dividides)^ Per^ x^ ∈^ R, se satisf`a^ f^ [x
] =^ f^ (x), i, per^ n^ ∈^ N,^ x,... , x⊂^ R^ diferents dos a dos,^0 n^ f^ [x,... , x^1 f^ [x,... , x] =^0 n
]^ −^ f^ [x,... , x]n^0 n−^1.^ (3.10) x−^ xn^0 Prova:^ La primer igualtat ´es `obvia. La segona se segueix de (3.9) prenent k^ =^ n, i= 0, i= 1,... , i=^ n.^0 1 n^
Proposici´o 3.1.7^ El polinomi interpolador de Lagrange amb punts de suportn {(x, f^ (x))}´esiii=0^ P(x)^ =^ f^ [x] +^ f^ [x, x](x^ −n^001
x) +^ f^ [x, x, x](x^ −^ x)(x^ −^ x)^001201 +... + f [x, x,... , x](x^ −^ x)(x^ −^ x)^...^ (x^ −^ x). 01 n^01 n−^1 Prova:^ Tenint en compte que^ Pi
(x) =^ f, se segueix de (3.8) prenenti 0 0 k^ =^ n, i= 0, i= 1,... , i=^ n.^0 1 n^
El c`alcul del polinomi interpolador de Lagrange mitjan¸
cant les difer`encies dividides de Newton se sol organitzar en una taula semblant a la de l’algo-risme de Neville, tal com s’il·lustra en el seg¨
uent Exemple 3.1.8^ Volem trobar el polinomi interpolador de Lagrange amb elspunts de suport de l’exemple 3.1.4:
(^2) {(x, f)}donats perii i=0^ i (^0 1 2) x (^0 1 3) i (^) f (^1 3 2) i
72 J.M. Mondelo. M`
etodes Numerics. Cap´ıtol 3 La taula de diferencies dividides ´es^ x= 0^ f^ [x] = 1^0 03 f^ [x, x] =^01
−^1 = 2 1 −^0 −^1 /^2 −^2 x= 1 f [x] = 3 f^ [x, x, x] =^ =^ − 1 10123 −^0
56 2 −^31 f [x, x] = =^ − 123 −^1 2 x= 3 f [x] = 2 (^2 2) que s’omple per columnes, d’esquerra a dreta (observeu com es tradueix larecurr`encia (3.10) sobre la taula). El polinomi interpolador ´ es, d’acord amb la proposici´o 3.1.7,^ P^ (x)^ =^ f^ [x] +^ f^ [x, x](x^ −^001
x) +^ f^ [x, x, x](x^ −^ x)(x^ −^ x)^0012015 = 1 + 2x − x(x − 1). 6 Noteu que els coeficients que entren al polinomi interpolador s´
on els de la part de dalt de la taula de difer`encies dividides.Anem a trobar el polinomi interpolador per Neville:^ x= 0^ P(x) =^ f= 1^0 00 P(x^0 ,^1
) = 2x^ + 1^52 17 x= 1 P(x) = f= 3 P=^ −x+^ x^ + 1 1 11 0 ,^1 ,^2 6 6 x^7 P(x) =^ −+^1 , (^22 2) x= 3 P(x) = f= 2 2 22 on els c`alculs intermitjos per completar la taula s´
on (x^ −^ x)P(x)^ −^ (x^ −^ x^01 P(x) = (^0) , 1 )P(x)(x^ −^ 0)3^ −^ (x^ −^ 1)1 10 =^ x− x^11 0 = 2 x + 1 (x^ −^ x)P(x)^ −^ (x^ −^ x^12 P(x) = (^1) , 2 )P(x)x^721 =^ −+ x− x^2 22 (x^ −^ x)P(x)^ −^ (x^ −^01 ,^2 P(x) = (^0) , 1 , 2 x)P(x)^51720 ,^12 =^ −x+ x^ + 1 x− x^6 6 2 El polinomi interpolador ´es, per tant,^ P^ (x) =^ −
5172 x+ x^ + 1, 6 6
3.1 Interpolaci´o de Lagrange^
que coincideix amb el que hav´ıem calculat amb difer`
encies dividides (expandiu- lo). A m´es,^ f^ [x, x]^ =^2 =^ coeficient de grau m`^01
axim de^ P,^0 ,^1 f^ [x, x]^ =^ −^1 /^2 =^ coeficient de grau m`^12
axim de^ P,^1 ,^2 f^ [x, x, x]^ =^ −^5 /^6 =^ coeficient de grau m`^012
axim de^ P,^0 ,^1 ,^2 d’acord amb la definici´o 3.1.5.Tot i que aqu´ı ho hem fet amb finalitats il
·lustratives, noteu que no ´es eficient trobar l’expressi´o general del interpolador pel m`
etode de Neville, donat que requereix manipulaci´o simb`
olica. El m`etode de Neville ´es adequat per a avaluar el polinomi interpolador a un punt una ´
unica vegada.^ ▽
3.1.4^ Comparaci´o entre els diversos m`
etodes
Hem vist tres metodes de calcul del polinomi interpolador de Lagrange: usarpolinomis b`asics de Lagrange (demostraci´
o del teorema 3.1.1), l’algorisme de de Neville (secci´o 3.1.2) i les difer`encies dividides de Newton (secci´
o 3.1.3). Si hem d’avaluar el polinomi interpolador de Lagrange
P^ ∈^ Πcorres-n^ ponent a determinats punts de suport
n {(x, f)}una ´unica vegada (periii=^ exemple, nom´es necessitem^ P^ (3)), la millor opci´
o ´es usar l’algorisme de Ne- ville, donat que ens estalvia construir expl´
ıcitament^ P^ (x). Si hem d’avaluar^ P^ a diversos punts, llavors ´
es m´es eficient construir expl´ıcitament^ P^ (x) mitjan¸cant les difer`
encies dividides de Newton, i llavors avaluar-lo tants cops com calgui (aprofitant l’esquema de Horner (3.7)).L’expansi´o en polinomis b`asics de Lagrange ´
es d’interes principalment teoric. No obstant, hi ha una situaci´
o pr`actica en la que pot ser interessant, i ´es quan hem de treballar amb diversos polinomis interpoladors amb lesmateixes abscisses de suport. Concretament, si definim(x^ −^ x)^...^ (x^ −^0 L(x) =^ i
x)(x^ −^ x)^...^ (x^ −^ x)i−^1 i+1n, (x− x)... (x− x)(x−^ x)^...^ (x−^ x)i 0 i i−^1 i^ i+1i^ n llavors el polinomi interpolador de Lagrange amb punts de suport
n {(x, f)}iii= ´es^ P^ (x) =^ fL(x) +^ f^00
L(x) +^...^ +^ fL(x). 11 nn Si ara necessitem el polinomi interpolador amb punts de suport
n {(x, g)}iii= (o sigui, nom´es canviem les ordenades de suport), el podem escriure com^ Q(x) =^ gL(x) +^ g^00
L(x) +^...^ +^ gL(x), 11 nn on les^ L(x) s´on les mateixes d’abans.i
74 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3
3.1.5^ Error a la interpolaci´
o de Lagrange
Teorema 3.1.9^ Sigui^ f^ : [a, b]^ →^ R
n+1n de classe C,^ {x}⊂^ [a, b]^ diferentsii=^ dos a dos,^ P^ ∈^ Πpolinomi interpolador de Lagrange amb punts de suportn^ n {(x, f^ (x))}. Aleshores,^ ∀x^ ∈^ [a, biii=
], (n+1)f^ (ξ(x)) f (x) − P (x) = ω(x),n^ (n^ + 1)!^ on^ ω(x) = (x^ −^ x)(x^ −^ x)^...^ (x^ −^01
x)^ i^ ξ(x)^ ∈ 〈x,... , x, x〉^ ´es una funci´n^0 n
o desconeguda de^ x. Prova:^ Fixem^ x^ ∈^ [a, b].^ Si^ x^ =^
xper^ i^ ∈ {^0 ,... , n}, aleshores podemi^ escollir^ ξ(x). Suposem^ x /∈ {x,... , x^0
}.n Considerem la funci´o F (x) := f (z) − P^ (z)^ −^ ω(z)S(x), on^ S(x) =^
f^ (x)^ −^ P^ (x)^ ω(x) (recordeu que^ x^ est`a fixada, i noteu que
S(x) ´es constant respecte de^ z). ´Es immediat comprovar que^ F^ t´e^ n+2 zeros (respecte de
z):^ x,... , x, x.^0 n Ordenem-los i canviem-los de nom: siguin(0)(0)(0)^ {ξ, ξ,... , ξ^0 1 n
}^ :=^ {x,... , x, x}^0 n+ (0)(0)(0)(0) amb ξ< ξ<... < ξ< ξ^ n^0 1 n+
.^ Apliquem el teorema de Rolle^ n^
cops:(0)^ F^ t´e^ n^ + 2 zeros:^ {ξ^ i
n+1} i=0Rolle(1)(1)(0)(0)′ n+1 =⇒ F t´e n + 1 zeros: {ξ},^ ξ∈^ (ξ, ξ) i i=1^ i^ i−^1 i^ Rolle(2)(2)(1)(1)′′ n+1 =⇒ F t´e n zeros: {ξ},^ ξ∈^ (ξ, ξ) i i=2^ i^ i−^1 i^ ... Rolle(n)(n)(n−1)(n−1)n+1(n) (^) =⇒ F t´e 2 zeros: {ξ},^ ξ∈^ (ξ, ξ) i i=n^ i^ i−^1 i^ Rolle(n+1)(n+1)(n)(n)n+1(n+1) (^) =⇒ F t´e 1 zero: {ξ},^ ξ∈^ (ξ, ξ) i i=n+1^ i^ i−^1 i^ Llavors tenim(n+1)(n+1)0 =^ F^ (ξ) =^ f^ n+^
(n+1)(n+1) (ξ)^ −^ (n^ + 1)!S(x), n+^
3.1 Interpolaci´o de Lagrange^
Observaci´o 3.1.13^ Noteu que el que hem provat equival a dir que pern {x}diferents dos a dos existeix^ ii=^
ξ^ ∈ 〈x,... , x〉^ tal que^0 n (n)f^ (ξ) f [x,... , x] =^. 0 n^ n!^ Noteu tamb´e que l’ordre de la derivada ´
es el nombre d’arguments menys un. ▽ Proposici´o 3.1.14 (simetria de les difer`
nencies dividides) Siguin {x}⊂ii=^ [a, b]^ diferents dos a dos,^ f^ :^ R^ →^ R
funci´o,^ σ^ ∈^ Spermutaci´o. Aleshoresn^ f [x,... , x] =^ f^ [x,... , x]. 0 nσ(0)σ(n) Prova:^ En les notacions de la proposici´
o de la recurrencia de l’algorisme de Neville,^ f^ [x,... , x] ´es el coeficient de grau m^0 n
axim de^ P, i^ f^ [x,... , x]^0 ,...,nσ(0)σ(n) ´es el coeficient de grau m`axim de^ Pσ
. Per`o^ Pi^ Presolen(0),...,σ(n)^0 ,...,n^ σ(0),...,σ(n)^ el mateix problema d’interpolaci´o de Lagrange, i, per unicitat de soluci´
o del problema d’interpolaci´o de Lagrange, han de ser iguals.
3.1.6^ Diferencies dividides amb arguments repetits Observeu que, tal com hem definit les difer
encies dividides de Newton, per a poder avaluar^ f^ [x,... , x], hem de demanar^0 n
x^6 =^ xper^ i^6 =^ j^ (si no, a lai^ j^ recurr`encia donada per la proposici´
o 3.1.6, un dels denominadors s’anul
·la). El seg¨uent teorema d´ona una definici´
o alternativa de les diferencies dividides, en el cas que la funci´o de partida sigui prou regular, que permet repetirarguments. Aixo ho voldrem fer, per exemple, per a poder avaluar l’expressi´
o de l’error (3.11) per^ x^ qualsevol. Teorema 3.1.15^ Suposem^ f^ : [a, b
n] → R de classe C, siguin^ n^ ≥^ 1 i n {x}⊂^ [a, b]^ diferents dos a dos. Aleshoresii=0^ ∫^ ∫^1 t^1 f^ [x,... , x]^ =^ dt^0 n^100
∫^ tn−^1 dt...^ dt 2 n^0 (n) ×f (t(x− x) +^...^ +^ t(x−^ x) +^ x) (3.12)nn n−^111 Prova:^ Exercici per quan hagueu estudiat integrals m´
ultiples.^ Es fa per inducci´o, comen¸cant pel cas^ n^ = 1.^
D’acord amb el teorema anterior, t´e sentit la seg¨
uent
78 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3 Definici´o 3.1.16^ Sigui^ f^ : [a, b]^ →
n R de classe C,^ n^ ≥^1 , i siguin^ {x n}ii= qualssevol. Definim^ ∫^ ∫^1 t^1 f^ [x,... , x]^ =^ dt^0 n^100
∫^ tn−^1 dt...^ dt 2 n^0 (n) ×f (t(x− x) +^...^ +^ t(x−^ x) +^ x)nn n−^111 00 Amb aquesta nova definici´o de diferencies dividides, podem provar: Proposici´o 3.1.17^ Se satisfa: (a)^ f^ [x,... , x]^ t´e la mateixa regularitat en^0 n
(n) x,... , xque f. En parti- 0 n cular, ´es almenys cont´ınua.(b) Per^ σ^ ∈^ S,^ f^ [x,... , x] =^ f^ [x,... , xn^0 nσ(0)
].σ(n) (c) Si^ x^6 =^ x,^0 n f^ [x^1 f^ [x,... , x] =^0 n
,... , x]^ −^ f^ [x,... , x]n^0 n−^1.^ x−^ xn^0 (d) Per^ x,... , x∈^ R^ qualssevol, existeix^0 n^
ξ^ ∈ 〈x,... , x〉^ tal que^0 n (n)f^ (ξ) f [x,... , x] =^. 0 n^ n!^ Prova:^ (a) S’obt´e dels teoremes de continu¨
ıtat i derivabilitat sota signe integral(en diverses variables). (b) S’obt´e raonant per continu¨ıtat a partir del cas
n {x}diferents dos aii=^ dos.(c) S’obt´e tamb´e raonant per continu¨ıtat a partir del cas
n {x}diferentsii=^ dos a dos.(d) Per la propietat (b), podem suposar
x≤^ x≤^...^ ≤^ x(reordenem si^0 1 n^ no).Com que 0^ ≤^ t,... , t≤^ 1, tenim^1 n−^1
x+^ t(x−^ x) +^...^ +^ t(x−^0 11 0 n−^1 n^ x)^ ∈^ [x, x] =^ 〈x,... , x〉. Per continu¨n−^10 n^0 n
(n)^ ıtat de f a^ 〈x,... , x〉,^0 n
3.2 Interpolaci´o d’Hermite^
existeixen constants^ m, M >^ 0 tals que
(n) m ≤ f (x)^ ≤^ M^ per^ x^ ∈ 〈x,... , x〉, i, per tant, de (3.12)^0 n^ ∫^ ∫^ ∫^1 tt^1 n−^1 m^ dt^ dt...^ dt^ ≤^12 n^000 ︸^ ︷︷^ ︸^ =1/n!
f^ [x,... , x]^0 n^ ∫^ ∫^ ∫^1 tt^1 n−^1 ≤ M^ dt^ dt...^ dt^ ,^12 n^000 ︸^ ︷︷^ ︸^ =1/n! d’on^ m^ ≤^ n!f^ [x,... , x^0
]^ ≤^ M,n (n) i, per continu¨ıtat de f , existeix un valor ξ^ ∈ 〈x,... , x〉^ tal que^0 n (n) f (ξ) =^ n!f^ [x,... , x].^0 n
Aquest resultat ens ser`a d’utilitat per estimar l’error a f´
ormules d’inte- graci´o numerica al seg¨uent cap´ıtol. 3.2^ Interpolaci´o d’Hermite 3.2.1^ Existencia i unicitat En aquesta secci´o volem trobar polinomis dels quals, a m´
es de prescriure’n valors, volem prescriure valors de les seves derivades.Concretament, donatsm^ • {x}⊂^ R, verificant^ x<... < xi^0 i=^
(abscisses d’interpolaci´o),m m • {n}⊂^ N^ (ordres m`axims de derivaci´ii=^ o decrementats en una unitat), (k) • {y}⊂^ R^ (ordenades d’interpolaci´i=0÷m,k=0÷n−^1 i^ i
o), cerquem^ P∈^ Πambn^ n^ n+^ n+^...^0
+^ n=^ n^ + 1m^ tal que(k)(k)^ P^ (x) =^ y,^ i^ = 0i^ n^ i^
÷^ m,^ k^ = 0^ ÷^ n−^1 .i^
80 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3 Exemple 3.2.1^ Suposem que cerquem
P∈^ Πverificant^5 5 P(1) = 1, P(2) = 4,^ P(3) = 6, 555 ′′P (1) = 2, P (2) = 5, 55 ′′P (1) = 3. 5 Llavors, en les notacions anteriors,^ x= 1,^ x^0
= 2,^ x= 3, (^1 2) n= 3, n= 2,^ n= 1, (^0 1 2) (0)(0)(0)y= 1, y= 4,^ y= 6, 0 1 2 (1)(1)y= 2, y= 5, 0 1 (2)y= 3. 0
Proposici´o 3.2.2^ El problema d’interpolaci´
o d’Hermite t´e soluci´o ´unica. Prova:^ Vegem primer la unicitat. Siguin
P, P∈^ Πsoluci´o del problema^12 n^ d’interpolaci´o d’Hermite. Aleshores(k)(k)(k)^ P^ (x) =^ P^ (x) =^ y,ii^1 2 i^
i^ = 0^ ÷^ m,^ k^ = 0^ ÷^ n−^1 .i^ Aleshores el polinomi^ Q^ :=^ P−^ P^1
t´e^ n+^ n+^...^ +^ n=^ n^ + 1 zeros 2 0 1 m^ comptant multiplicitats. Com que ´
es de grau^ ≤^ n, pel teorema fonamental de l’ Algebra necessariament^ Q^ = 0.Per veure’n l’exist`encia, considerem un polinomi general
P^ (x) =^ c+^0 n^ cx +... + cxde grau^ ≤^ n.^ P^ (x) ser` 1 n a soluci´o del problema d’interpolaci´
o d’Hermite sii(k)(k)^ P^ (x) =^ y,^ i^ = 0i^ i^
÷^ m,^ k^ = 0^ ÷^ n−^1 .i^ Aquest ´es un sistema d’equacions lineals en
c,... , c, de^ n+n+.. .+n=^0 n^0 1 m^ n^ + 1 equacions i^ n^ + 1 inc`ognites. Com que sabem que t´
e soluci´o ´unica, la seva matriu de coeficients necess`ariament ´
es no singular, i per tant t´e soluci´o.
3.2 Interpolaci´o d’Hermite^
i, per tant, el polinomi interpolador d’Hermite buscat ´
es P(x)^ =^ f^ [x] +^ f^ [x, x](x^ −^ x) +^50000
(^2) f [x, x, x](x − x) (^00003 3) +f [x, x, x, x](x − x)+ f [x, x, x, x, x](x^ −^ x)(x^ −^ x 00010000110
(^3) +f [x, x, x, x, x, x](x − x)(x^ − 0001120 (^2) x) 1 (^312) = 1 + 2(x − 1) + (x^ −^ 1)−^ (x^2 (^33 3) − 1)+ (x^ −^ 1)(x^ −^ 2) (^2 1332) −(x − 1)(x − 2). 8 (j)(j) Comproveu que P (x) = y.^ i i^
3.2.3^ Error a la interpolaci´
o d’hermite
Tenim un resultat an`aleg al del cas de Lagrange. Teorema 3.2.4^ Sigui^ f^ : [a, b]^ →^
n+1R de classe C,^ {x,... , x} ⊂^0 m [a, b], x< x<... < x,^ {n,... , n} ⊂^0 1 m^0 m
N,^ n+^...^ +^ n=^ n^ + 1. Sigui^ P^0 m^
eln polinomi interpolador d’Hermite corresponent, i.e.,(k)(k)^ P^ (x) =^ f^ (x),^ iii^ n^
= 0^ ÷^ m,^ k^ = 0^ ÷^ n−^1 .i^ Aleshores, per tot^ x^ ∈^ [a, b]^ existeix
ξ∈ 〈x,... , x, x〉^ tal quex^0 m (n+1)f (ξ)xnnn^0 1 m^ f (x) − P(x) = (x^ −^ x)(x^ −^ x)...^ (x^ −^ x).n^01 m (n + 1)! Prova:^ Nom´es fem un cas particular (en general ´
es molt pesat). Suposem m^ = 2,^ n= 2,^ n= 1,^ n= 3, d’on^0 1
n^ = 5.Fixem x ∈ [a, b]. Si x = xper a algun^ i, ens serveix qualsevoli
ξ.x Suposem^ x^6 =^ xper^ i^ = 0^ ÷^ m^ i definimi^ F^ (x) :=^ f^ (z)^ −^ P(z)^ −^ (^5
(^23) x − x)(x^ −^ x)(x^ −^ x)S(x), 012 on^ S(x) =^
f^ (x)^ −^ P(x)^5 ,^23 (x − x)(x^ −^ x)(x^ −^ x) 012 (noteu que^ S^ no depen de^ z). Per simplificar la notaci´o, particularitzem encara m´
es i suposem que^ x^ ∈ [x, x]. Aleshores, degut a les propietats de interpolaci´^12
(^84) o de P, F t´e zeros 5 J.M. Mondelo. Metodes Numerics. Cap´
ıtol 3 x, x, x, x. Escrivim-los ordenats i repetits amb multiplicitats, i apliquem^012 el teorema de Rolle sis vegades:^ F^ s’anul·la a^ xx^0
xx^ xxx 0 1 2 2 2 (1)(1)(1)′ (^) =⇒ F s’anul·la a xξξξxx 0 2 22 3 4 (2)(2)(2)(2)′′ (^) =⇒ F s’anul·la a ξξξξx^22 3 4 5 (3)(3)(3)(3)′′′ (^) =⇒ F s’anul·la a ξξξξ 3 4 5 6 (4)(4)(4)(4) (^) =⇒ F s’anul·la a ξξξ^4 5 6 (5)(5)(5) (^) =⇒ F s’anul·la a ξξ^5 6 (6)(6) (^) =⇒ F s’anul·la a ξ.^6 on l’element de cada fila esta inclos a l’interval obert format per dos elementsm´es propers de la fila anterior. Definim
(6) ξ:= ξ∈ 〈x, x, x, x〉, i tenimx (^0126) (6)(6)0 = F (ξ) = f (ξ) − 6!S(x),xx d’on^ f^ (x)^ −^ P(x)^52 (x^ −^ x)(x^ −^ x)(x^01
(6)f (ξ)x= S(x) = (^3) − x)^ 6! 2 i nom´es cal multiplicar per (x^ −^ x)^0
23 (x^ −^ x)(x^ −^ x).^12
Observaci´o 3.2.51.–^ El problema d’interpolaci´o de Lagrange es recupera prenent
n=^ n=^0
...^ =^ n= 1.m^ 2.– Per^ m^ = 1, el polinomi interpolador d’Hermite ´
es el polinomi de Taylor, donat que^ n=^ m^ + 1,^0 P(x)^ =^ f^ [x] +^ f^ [x, x](xn^000
(^2) − x) + f [x, x, x](x − x) (^00000) n+1n +... + f [x,... , x](x − x), 000 i, per la proposici´o 3.1.17 (d),j+1^ f^ [x,^.. ., x] =^00
(j)f (x)^0.^ j!^ De fet, l’error d’interpolaci´o d’Hermite ´
es, en aquest cas, la resta de Lagrange del polinomi de Taylor:(nf^ f^ (x)^ −^ P(x) =^ n
+1)(ξ)xn+1(x^ −^ x).^0 (n^ + 1)!^ ▽
3.3 Interpolaci´o per splines^
3.3^ Interpolaci´o per splines Comencem aquesta secci´o fent paleses algunes limitacions de la interpolaci´
o de Lagrange, que fan necessari considerar altres tipus d’interpolaci´
o. Suposem que volem aproximar^ f^
:^ [a, b]^ →^ R.^ Prenem^ a^ =^ x<^0 x<... < x=^ b^ i considerem^1 n^
P(x) polinomi interpolador de Lagran-n nge a {(x, f (x))}.^ Pot semblar que pujant el grau podem millorar ar-iii=0bitr`ariament l’aproximaci´o, ´es a dir,
n→∞ ∀x ∈ [a, b], P(x) −→^ f^ (x). Aix`o no ´n es cert en general.^1 0.8^ 0.6^ 0.4^ 0.2^0 -1.5^ -1^ -0.
1./(1+5.x*2) 0 0.5^1 1.5^2 Figura 3.2: Gr`afica de f (x) = 1/(1 + (5x)). Exemple 3.3.1^ [Runge, 1901] Considerem la funci´
o (^1) f (x) = , (^2) 1 + (5x) ∞ que ´es de classe C(R). Per^ n^ ∈^ N n, prenem {x}equiespaiats a [−^1 ii=^
,^ 1]:
(^2) x= −1 + i ,^ i^ = 0^ ÷^ n,i n i denotem per Pel polinomi interpolador de Lagrange amb punts de suportn (^) n {(x, f (x))}.iii=0Es pot demostrar anal´ıticament que^ P(x)^9 f^ (x) pern n^ → ∞^ en un entorn de^ x^ = 1 i^ x^ =^ −1. A la pr`
actica, s’observen grans oscil·lacions del polinomi interpolador al voltant de 1 i
−1.^
Voldr´ıem un procediment interpolador que •^ Mantingu´es una certa regularitat globalment.
86 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3
-^ Permet´es millorar l’aproximaci´o arbitr`
ariament en augmentar el n´umero de nodes.Una manera natural d’aconseguir el segon punt seria usar no un polinomiinterpolador de grau elevat, sin´o diversos polinomis interpoladors de graum´es petit. Llavors, si volem tenir regularitat globalment, cal que empalminde manera suau. Aix`o porta de manera natural a la noci´
o de spline. Definici´o 3.3.2^ Donat un interval tancat
n [a, b], direm que ∆ := {x}n’´esii=^ una^ partici´o^ si^ a^ =^ x< x<... < x^0
< x=^ b. Els punts^ xs’anomenenn− 1 n^ i^ nodes. Definici´o 3.3.3^ Un^ spline de grau^
np associat a la partici´o ∆ := {x}ii= d’un interval tancat^ [a, b]^ ´es una funci´o^ s
p−^1 : [a, b] → R de classe Cverificant s∈ Π, ∀i = 0 ÷ n − 1 .|[x,x] pii+ Denotarem per^ S(∆)^ el conjunt d’splines de graup
p^ associats a^ ∆. Nom´es treballarem amb splines c´ubics (s´
on els m´es emprats). n Definici´o 3.3.4 Siguin {(x, y)}iii= (^2) ⊂ Ramb^ x< x<... < x. Anome-^0 1 n narem^ spline c´ubic interpolador^ amb punts de suport
n^2 {(x, y)}⊂^ Rtotiii=^ n s ∈ S({x})^ verificant 3 ii=0^ s(x) =^ yii ,^ i^ = 0^ ÷^ n. Exemple 3.3.5^ Als punts de suport
(^2) {(x, y)}donats per la taulaii i=0^ i (^0 1 2) x (^0 1 2) i (^) y (^1 0 3) i correspon l’spline c´ubic interpolador^ {^ s(x) = 1^ −^2 x^0 s(x) =
(^3) + x,^ si^ x^ ∈^ [0,^ 1],^2 3 s(x) = 3 − 8 x + 6x−^ x,^ si^ x^ ∈^ [1,^ 2]. 1 Podeu comprovar que:^ s(0) = 1,^ s(1) =^00
s(1) = 0,^ s(2) = 3,^11 ′′s(1) = s(1) = 1 01 ′′′′ s(1) = s(1) = 6 01
3.3 Interpolaci´o per splines^
on^ α=^ s(x)^ =^ yi^ ii
,i y−^ y^2 M+^ Mi+1^ ii^ i+1′β= s(x) = −^ h,i ii+1 i^ h^6 i+1 1 Mi′′γ= s(x) = ,i i i 2 2 1 M−^ Mi+1^ i′′′δ= s(x) = .i i i 66 hi+ ′′ (recordeu que s(x) =^ Mper definici´ii^ i^ o dels moments).Anem a deduir equacions per als moments imposant continu¨ıtat de la primera derivada: per^ i^ = 1^ ÷^ n^ −^ 1, volem′^ s(x^ i−^1
′) = s(x).ii i Usant (3.16) i (3.17), obtenim^ hy−^ yii^ i−^1 M+^ −^ (M−ii^2 hi
hi M)i− (^16) hy−^ yhi+1i+1^ ii+1= −M+ −^ (M−^ M)(3.18)ii+1^ i 2 h^6 i+ d’on^ h^ h+^ hii^ i+1^ M+^ M+^ Mi−^1 i^6
hy−^ yy−^ yi+1i+1^ ii^ i−^1 =^ −^ i+1^6 h^ hi+1i i, multiplicant per 6/(h+^ h), obtenimi^ i+1^ μM+ 2M+^ λMii−^1 i^ ii
=^ d,^ i^ = 1^ ÷^ n^ −^1 ,^ (3.19)+1 i essenthhii+1^ μ=^ ,^ λ=^ ,^ i^ i^ h+^ h^ h+^ hi^ i+1i^ i+
(^6 y−^ yy−^ yi+1^ ii^ i−d= −^ i h+ h^ hi i+1i+ ) (^1) hi Com que cal determinar^ M,... , M^0
(total^ n^ + 1 coeficients), ens calen 2n equacions m´es. Volem que tinguin la mateixa forma que (3.19). Cas d’Hermite.^ Hem d’imposar^ h^1 ′′^ y=^ s(x) =^ −M^000
y−^ yh^1 01 + −^ (M−^ M),^1 0 h^6
90 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3 d’on^ h^ h^1 M+^ M^013
y−^ y 11 0 ′= −^ y,^06 h^1 que, multiplicant per 6/h, equival a^12 M+^0
λM=^ d,^ (3.20)^01 amb^ λ= 1,^ d=^0
(^ ) 6 y−^ y^1 0 ′ −^ y^.^0 h^ h 11 Tamb´e volem^ hn′′^ y=^ s(x) =^ M+nn^ n^ n−^12
y−^ yhn^ n−^1 n −^ (M−^ M),n^ n−^1 h^6 n d’on^ h^ hn^ M+^ Mn−^1 n^6
y−^ ynn^ n−^1 ′= y− , n 3 hn que, multiplicant per 6/h, equival an^ μMnn−^1
- 2M=^ d,^ (3.21)n^ n amb^ μ= 1,^ d=^ n^ n^
(^ ) 6 y−^ yn^ n−^1 ′^ y−^.^ n^ h^ hnn Cas natural.^ En aquest cas, volem′′0 =^ s(x) =^ M⇐⇒^2 M^00
+^ λM=^ d,^ amb^ λ=^ d= 0 (^01 00 0) ′′0 = s(x) = M⇐⇒ μM+ 2M=^ d,^ amb^ μ=^ d= 0nn nn− 1 n^ nn^ n^ (3.22)Ajuntant (3.19) amb (3.20) i (3.21), i (3.19) amb (3.22), hem provat Proposici´o 3.3.7^ Siguin^ {(x, y)}ii
n^2 ⊂^ Rpunts de suport,^ x<... <^0 i=^ nx. Sigui s ∈ S({x})^ el corresponent spline c´n 3 ii= ubic interpolador, amb condicions d’extrem o b´e d’Hermite (
′′′′′′s(x) =^ y,^ s(x) =^ y, per^ y, y∈^0 n^0 n^0 n^
R
′′ donats) o b´e naturals (s(x) =^ s^0 ′′(x) = 0).^ Aleshores, els moments den l’spline satisfan el seg¨uent sistema d’equacions^ ^2 λ^0 ^ μ^2 λ^1 1 ^...... .^.^ .^ μ^2 λn−^1 n
^ ^ ^ ^ M^ d^00 ^ M^ d^11 ^.^ ...^ =..^ M^ d− 1 n−^1 n−^1 μ 2 M^ dn nn
3.3 Interpolaci´o per splines^
on, per^ i^ = 1^ ÷^ n^ −^1 , hhii+1^ μ=^ ,^ λ=^ ,^ i^ i^ h+^ h^ h+^ hi^ i+1i^ i+
(^6 y−^ yy−^ yi+1^ ii^ i−d= −^ i h+ h^ hi i+1i+ ) (^1) hi i, a m´es,^ •^ en el cas herm´ıtic,^ λ=^1 ,^ d^0
(^ ) 6 y−^ y^1 0 ′= −^ y^ ,^0 h^ h 11 (^ ) 6 y−^ yn^ n−^1 ′μ= 1 , d= y−^ ,n n n^ h^ hnn • en el cas natural, λ= d= μ=^ d= 0. 0 0 n n^ Observaci´o 3.3.8 Obviament, a la pr actica, en el cas natural podem posar M=^ M= 0 i prescindir de la primera i darrera equacions.^0 n^
Cas peri`odic.^ Una de les condicions de periodicitat ´
es ′′′′ s(x) = s(x) ⇐⇒ M= M, 0 n 0 n i per tant nom´es cal determinar^ M
,... , M.^ Aix´ı, a les equacions (3.19) 1 n nom´es cal afegir-ne una.′′Imposem^ s(x) =^ s(x):^0 n^0 n−^1 hy−^ y^11 0 −M+^ −^ (M−^01 2 h^1
h^1 M) (^06) hy−^ yhnn^ n−^1 n= M+ −^ (M−^ M)nn^ n−^12 h^6 n Com que^ M=^ Mi^ y=^ y, si definim^0 n^0 n
y:=^ y,^ h:=^ h,^ M:=^ Mn+1^1 n+1^1 n+^
1 (correspon a estendre l’spline per periodicitat), l’equaci´
o anterior ´es l’equaci´o (3.18) per^ i^ =^ n. El sistema d’equacions queda, llavors,^ μM+^2 M^10
+ λM= d 12 1 μM+ 2 M+ λM= d 21 2 23 2 ..^ ,. μM+ 2 M+ λM= dn− 1 n− 2 n− 1 n− 1 n n− 1 μM+ 2 M+ λM= dnn− 1 n nn+1 n i, com que^ M=^ Mi^ M=^ M, hem provat^0 n^ n+1^1
92 J.M. Mondelo. M`
etodes Num`erics. Cap´ıtol 3 Proposici´o 3.3.9^ Siguin^ {(x, y)}ii
n⊂^ R^ punts de suport amb^ x<... <^0 i=^ nx, y= y, i sigui s ∈ S({x}n 0 n 3 ii= )^ el corresponent spline interpolador pe- ri`odic. Aleshores els seus moments satisfan^ ^2 λμ^1
^ ^ ^ ^ M^ d 111 μ 2 λ^ M^ d 2 222 ^ .^ ....... ..^ =^ ,.. ... μ 2 λ^ M^ dn− 1 n− 1 n−^1 n−^1 λμ 2 M^ dn n nn on hhii+1^ μ=^ ,^ λ=^ ,^ i^ i^ h+^ h^ h+^ hi^ i+1i^ i+
( 6 y−^ yy−^ yi+1^ ii^ i−d= −^ i h+ h^ hi i+1i+ ) (^1) hi i s’enten^ y=^ y,^ h=^ h.n+1^1 n+1^1 Exemple 3.3.10^ Anem a determinar l’spline c´
ubic interpolador amb punts de suport donats per la seg¨uent taula:^ i^0
(^1 2 3 4) x (^1 2 3 4 5) i (^) y (^2 4 3 1 2) i (^) Primer trobem els moments, que satisfan el sistema d’equacions ^ ^ ^ ^ 2 λ^ M^ d (^000) μ 2 λ^ M^ d (^1 111) μ 2 λ^ M=^ d (^2 222) ^ μ 2 λ^ M^ d 3 333 μ 2 M^ d 4 44 Com que sabem^ M=^ M= 0 (l’spline ´^0
es natural), podem eliminar la primera i ´ultima equacions i la primera i ´
ultima inc`ognites, de manera que ens queda^ ^ ^2 λ^1 ^ μ^2 λ^2 2 μ^23
^ ^ ^ ^ M^ d^11 ^ ^ M=^ d^22 M^ d^33 on hhii+1^ μ=^ ,^ λ=^ ,^ i^ i^ h+^ h^ h+^ hi^ i+1i^ i+
(^6 y−^ yy−^ yi+1^ ii^ i−d= −^ i h+ h^ hi i+1i+ ) 1 , hi
