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Universidad Nacional Autónoma De Honduras
Escuela de Matemática y Ciencias de la Computación
MM - 502 - Variable Compleja - I
1. Números Complejos
De nición 1.1 (Número Complejo)
Un número complejo es cualquier número de la forma z = a + bi donde a, b ∈ R y a i se denomina la unidad imaginaria.
Observación:
1.- El valor a se denomina parte real de z y la denotamos por Re(z).
2.- El valor b se denomina parte imaginaria de z y a denotamos por Im(z).
3.- Se denota el conjunto de todos los números complejos por C.
4.- Notar que un número real se puede representar por z = a + 0i y que se puede constatar que R ⊂ C
Ejemplo 1.
a.- El número imaginario z = 3 − 5 i tiene su partes real Re(z) = 3 y su parte imaginaria Im(z) = − 5
b.- El número imaginario puro z = 2i tiene su parte real Re(z) = 0 y su parte imaginaria Im(z) = 2
De nición 1.2 (Igualdad entre dos números complejos)
Dados dos números complejos z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i se dicen que son iguales si se cumple que a 1 = a 2 y b 1 = b 2.
Nota:
1.- Si Re(z 1 ) = Re(z 2 ) y Im(z 1 ) = Im(z 2 ) entonces z 1 = z 2.
De nición 1.3 (Operaciones con números complejos)
Dados los números complejos z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i, se de nen las operaciones:
- Suma: z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i ⇒ Re(z 1 + z 2 ) = a 1 + a 2 ; Im(z 1 + z 2 ) = b 1 + b 2
Ejemplo 1.
Dados z 1 = −3 + 2i y z 2 = 5 − 3 i entonces z 1 + z 2 = (−3 + 5) + (2 − 3)i = 2 − i
- Resta: z 1 − z 2 = (a 1 + b 1 i) − (a 2 + b 2 i) = (a 1 − a 2 ) + (b 1 − b 2 )i ⇒ Re(z 1 − z 2 ) = a 1 − a 2 ; Im(z 1 − z 2 ) = b 1 − b 2
Ejemplo 1.
Dados z 1 = 5 − 7 i y z 2 = −11 + 3i entonces z 1 − z 2 = (5 − (−11)) + (− 7 − 3)i = 16 − 10 i
- Multiplicación: z 1 ·z 2 = (a 1 +b 1 i)(a 2 +b 2 i) = (a 1 a 2 −b 1 b 2 )+(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i ⇒ Re(z 1 ·z 2 ) = a 1 a 2 −b 1 b 2 ; Im(z 1 ·z 2 ) = a 1 b 2 +a 2 b 1
Nota: Se utiliza el resultado i 2 = − 1 para la de nición de la multiplicación.
Ejemplo 1.
Dados z 1 = 3 + 5i y z 2 = 2 + 7i entonces z 1 · z 2 = ((3)(2) − (5)(7)) + ((3)(7) + (2)(5))i = (6 − 35) + (21 + 10)i = −29 + 31i
- División:
z 1
z 2
a 1 + b 1 i
a 2 + b 2 i
a 1 a 2 + b 1 b 2
a^22 + b^22
b 1 a 2 − a 1 b 2
a^22 + b^22
i
Ejemplo 1.
Dados z 1 = −2 + 3i y z 2 = 7 − 2 i entonces
z 1
z 2
(7)^2 + (−2)^2
(−2)^2 + (7)^2
i =
i = −
i
Observación:
1.- El elemento neutro para la suma es el número z = 0 + 0i, usualmente denotado solo por 0.
2.- El elemento neutro para la multiplicación es el numero z = 1 + 0i, usualmente denotado solo por 1.
3.- El inverso aditivo de z = a + bi es −z = −a − bi tal que z + (−z) = 0
Propiedad 1.
Dados los números complejos z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i y z 3 = a 3 + b 3 i se veri can las siguientes propiedades:
1.- Conmutatividad:
a.- z 1 + 2 = z 2 + z 1
b.- z 1 · z 2 = z 2 · z 1
2.- Asociatividad:
a.- z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3
b.- z 1 · (z 2 · z 3 ) = (z 1 · z 2 ) · z 3
3.- Distributividad:
a.- z 1 · (z 2 + z 3 ) = z 1 · z 2 + z 1 · z 2
De nición 1.4 (Conjugado de un número complejo)
Dado el número complejo z = a + bi denotamos y de nimos su conjugado como z = a − bi.
Ejemplo 1.
El número complejo z = 5 + 7i tiene por conjugado a z = 5 − 7 i.
Propiedad 1.
Dados los z 1 y z 2 en C, veri can las siguientes propiedades:
1.- z 1 + z 2 = z 1 + z 2 2.- z 1 · z 2 = z 1 + z 2 3.-
z 1
z 2
z 1
z 2
Observación:
1.- Dado z = a + bi, podemos expresar Re(z) =
z + z
2
y Im(z) =
z − z
2 i
2.- La división entre z 1 y z 2 , se puede desarrollar utilizando el conjugado z 2 de la forma
z 1
z 2
z 1
z 2
z 2
z 2
z 1 · z 2
z 2 · z 2
. Se puede veri car
que z 2 · z 2 = a^22 + b^22.
Ejemplo 1.
Dados z 1 = 3 − 5 i y z 2 = 7 − i, entonces
z 1
z 2
3 − 5 i
7 − i
3 − 5 i
7 − i
7 + i
7 + i
26 − 32 i
50
i Observación:
1.- El inverso multiplicativo de z es
z
tal que z ·
z
2.- Dado z = a + bi entonces
z
a + bi
a + bi
a − bi
a − bi
a − bi
a^2 + b^2
3.- Si z = a + bi y
z
a − bi
a^2 + b^2
entonce z ·
z
= (a + bi) ·
a − bi
a^2 + b^2
a^2 + b^2
a^2 + b^2
2. Plano Complejo
1.- Podemos asociar un número complejo z = x + yi al par ordenado (x, y), que representaremos en el plano complejo o plano - z.
2.- Asociaremos un vector cuyo punto inicial es el origen del plano complejo y su punto terminar es el punto (x, y).
Observación:
1.- Al relacionar con vectores los números complejo podemos ver que z 1 + z 2 = (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )
y que −z = −(x, y) = (−x, −y).
2.- Notar que también tienen las misma interpretaciones geométricas para la suma, resta y multiplicación por un escalar.
Ejemplo 4.
Dado z = − 1 − i tenemos que r = |z| =
2 y tan(θ) = 1 (En el tercer cuadrante)
nos da arg(z) para el cual obtenemos el valor de 5 π 4 , por lo que la representación polar de^ z^ es^ z^ =^
[
cos
5 π 4
5 π 4
)]
también para la representación polar podemos utilizar el Arg(z) el cual debe cumplir que −π < Arg(z) ≤ π por lo que Arg(z) = − 3 π 4
lo que implica que z =
[
cos
3 π 4
3 π 4
)]
Propiedad 4.1 (Multiplicación y división en la forma polar)
1.- Dados z 1 = r 1 [cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 )] y z 2 = r 2 [cos(θ 2 ) + i sin(θ 2 )], entonces z 1 · z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )]
y arg(z 1 · z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ).
2.- Dados z 1 = r 1 [cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 )] y z 2 = r 2 [cos(θ 2 ) + i sin(θ 2 )], entonces
z 1
z 2
r 1
r 2
[cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin(θ 1 − θ 2 )]
y arg
z 1 z 2
= arg(z 1 ) − arg(z 2 ).
Ejemplo 4.
Dados z 1 = 1 − i con Arg(z 1 ) = − π 4 y z 2 = −1 +
3 i con Arg(z 2 ) = 2 π 3 , con los se puede determinar que z 1 · z 2 =
3 + 1)i
con arg(z 1 · z 2 ) = −
π
4
2 π
3
5 π
12
y que
z 1
z 2
i con arg
z 1
z 2
π
4
2 π
3
11 π
12
Propiedad 4.2 (Potencias de un número complejo)
Dado z entonce z n = r n [cos(nθ) + i sin(nθ)] para n ∈ Z
Ejemplo 4.
Dado z = −1 +
3 i con Arg(z) = 2 π 3 determinamos z^5 utilizando el resultado anterior tendríamos que
z 5 = 2 5
[
cos
2 π
3
2 π
3
)]
[
i
]
3 i
Observación: Al tener z con |z| = r = 1 se concluye que z = cos(θ) + i sin(θ) combinando este hecho con la propiedad anterior
obtenemos que [cos(θ) + i sin(θ)]
n = cos(nθ) + i sin(nθ) este resultado se conoce como la formula de de Moivre.
Ejercicio 4.
- Llevar los siguientes números complejos a la forma z = x + yi:
a.-
(4 + 5i) + 2i^3
(2 + i)^2
2.- (3 + 6i) + (4 − i)(3 + 5i) +
2 − i
- Dado z = x + yi determinar:
a.- Im(2z + 4z − 4 i) b.- Re
1 z
c.- Im(z 2
- Muestre que z 1 · z 2 + z 1 · z 2 = 2Re(z 1 · z 2 )
- Gra car en el plano complejo los siguientes vectores:
a.- z 1 = 1 − i; z 2 = 1 + i; z 1 + z 2 ; z 1 − z 2
b.- z 1 = 4 − 3 i; z 2 = −2 + 3i; 2 z 1 + 4z 2 ; z 1 − z 2
- Dados z 1 = 1 + 5i; z 2 = − 4 − i; z 3 = 3 + i vértices de un triángulo.
Determine la longitud de la mediana de z 1 al lado z 3 − z 2.
- Determinar el modulo de
1 − 2 i
1 + i
2 − i
1 − i
- Muestre cuando se cumple que |z 1 + z 2 | = |z 1 | + |z 2 |.
- Muestre que |z| = | − z| y que |z| = |z|
- Determinar la forma polar de (Sin utilizar Arg(z) y utilizando Arg(z)):
a.- z = −
3 + i b.- z =
−1 + i
c.- z =
3 + i
- Determinar la forma z = x + yi para:
a.- z = 5
[
cos
7 π
6
7 π
6
)]
b.- z = 8
[
cos
11 π
4
11 π
4
)]
- Determinar z 1 · z 2 ,
z 1
z 2
y escriba el resultado en la forma z = x + yi cuando:
z 1 =
[
cos
π
4
π
4
)]
z 2 =
[
cos
π
12
π
12
)]
- Desarrollar:
a.- (−
6 i) 4 b.- (2 − 2 i) 5
