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■ Evaluar un límite mediante el uso de las propiedades de los límites.
■ Desarrollar y usar una estrategia para el cálculo de límites.
■ Evaluar un límite mediante el uso de técnicas de cancelación y de racionalización.
■ Evaluar un límite mediante el uso del teorema del encaje.
Propiedades de los límites
En la sección 1.2 se vio que el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a c no depende del valor
de f en x c. Sin embargo, puede darse el caso de que este límite sea f ( c ). En esta situación,
se puede evaluar el límite por sustitución directa. Esto es:
lím
x c
f x f c . Sustituir x por c.
Las funciones con este buen comportamiento son continuas en c. En la sección 1.4 se
examinará con más detalle este concepto.
TEOREMA 1.1 ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS
Si b y c son números reales y n un entero positivo:
DEMOSTRACIÓN Para comprobar la propiedad 2 del teorema 1.1, es necesario demostrar que
para todo d 0 existe un D 0 tal que U x c U d siempre que 0 U x c U D. Para lograrlo,
elegir D d. Entonces, la segunda desigualdad lleva implícita a la primera, como se mues-
tra en la figura 1.16. Con esto se realiza la comprobación. (Las comprobaciones de las demás
propiedades de los límites de esta sección se encuentran en el apéndice A o se analizan en
los ejercicios.)
EJEMPLO 1 Evaluación de límites básicos
a ) b ) c )
TEOREMA 1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con los límites
siguientes:
1. Múltiplo escalar:
2. Suma o diferencia:
3. Producto:
4. Cociente:
5. Potencias:
Figura 1.
siempre que
lím
x c
f x n^ Ln
lím K 0
x c
f x g x
L
K
lím
x c
f x g x LK
lím
x c
f x g x L K
lím
x c
b f x bL
y lím
x c
lím g x K x c
f x L
x
=
=
c
c
c
c
c
E
E
D D
D
D
E
E
f ( c ) = c
y f ( c ) = x
NOTA Cuando se tengan nuevas notaciones o símbolos en matemáticas, hay que cerciorarse de conocer cómo se leen. Por ejemplo, el límite del ejemplo 1 c se lee “el límite de x^2 cuando x se aproxima a 2 es 4”.
Cálculo analítico de límites
SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 59
lím
x c
lím xn^ cn
x c
lím x c
x c
b b
lím
x 2
lím x^2 22 4
x 4
lím x 4
x 2
60 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades
EJEMPLO 2 Límite de un polinomio
Propiedad 2.
Propiedad 1.
Ejemplo 1.
Simplificar.
En el ejemplo 2, se observa que el límite (cuando x m 2) de la función polinomial
p ( x ) 4 x^2 3 es simplemente el valor de p en x 2.
Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales y
racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado.
TEOREMA 1.3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
Si p es una función polinomial y c un número real, entonces:
Si r es una función racional dada por r ( x ) p ( x )Y q ( x ) y c un número real tal que
q ( c ) NJ 0, entonces
EJEMPLO 3 Límite de una función racional
Encontrar el límite: lím x 1
x^2 x 2
x 1
Solución Puesto que el denominador no es 0 cuando x 1, se puede aplicar el teorema
1.3 para obtener
Las funciones polinomiales y racionales son dos de los tres tipos básicos de funciones
algebraicas. El siguiente teorema se refiere al límite del tercer tipo de función algebraica: el
que contiene un radical. Ver la demostración de este teorema en el apéndice A.
TEOREMA 1.4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL
Si n es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda c si n es impar, y
para toda c 0 si n es par:
EL SÍMBOLO DE RAÍZ CUADRADA
El primer uso de un símbolo para denotar a la raíz cuadrada data del siglo XVI. Al principio, los matemáticos emplearon el símbolo q, que tiene sólo dos trazos. Éste se eligió por su parecido con una r minúscula, para representar la palabra latina radix , que significa raíz.
lím
x 2
4 x^2 3 lím x 2
4 x^2 lím
x 2
lím
x 2
p x p 2 4 22 3 19.
lím
x c
r x r c
p c q c
lím
x c
p x p c .
lím
x c
^ nx nc
lím
x 1
x^2 x 2
x 1
4 22 3
(^4) lím x 2
x^2 lím x 2
62 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades
Una estrategia para el cálculo de límites
En las tres páginas previas se han estudiado diversos tipos de funciones cuyos límites pueden
calcularse mediante sustitución directa. Lo anterior, aunado al teorema siguiente, permite
desarrollar una estrategia para calcular límites. Ver la demostración de este teorema en el
apéndice A.
TEOREMA 1.7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN PUNTO
Sea c un número real y f ( x ) g ( x ) para todo x p c en un intervalo abierto que contiene
a c. Si existe el límite de g ( x ) cuando x se aproxima a c , entonces también existe el
límite de f ( x ) y
EJEMPLO 6 Cálculo del límite de una función
Encontrar el límite:
Solución Sea f ( x ) ( x^3 1)Y( x 1). Al factorizar y cancelar factores, f se puede escribir
como
De tal modo, para todos los valores de x distintos de x 1, las funciones f y g coinciden,
como se muestra en la figura 1.17. Puesto que el lím x m 1 g ( x ) existe, se puede aplicar el teorema
1.7 y concluir que f y g tienen el mismo límite en x 1.
Factorizar.
Cancelar factores idénticos o factores comunes.
Aplicar el teorema 1.7.
Usar sustitución directa. Simplificar.
UNA ESTRATEGIA PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
1. Aprender a reconocer cuáles límites pueden evaluarse por medio de la sustitución
directa (estos límites se enumeran en los teoremas 1.1 a 1.6).
2. Si el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a c no se puede evaluar por sustitución
directa, tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo x distinto
de x c. [Seleccionar una g tal que el límite de g ( x ) se pueda evaluar por medio
de la sustitución directa.]
3. Aplicar el teorema 1.7 para concluir de manera analítica que
lím lím
x c x c
x g x g c
m m
e ( ) ( ) ( ).
4. Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión.
f y g coinciden salvo en un punto
Figura 1.
AYUDA DE ESTUDIO Cuando se aplique esta estrategia al cálculo de límites, re- cordar que algunas funciones no tienen límite (cuando x se aproxima a c ). Por ejemplo, el siguiente límite no existe
lím x m 1
x^3 1 x 1
lím
x m 1
S x^2 x 1 D
lím
x m 1
S x 1 DS x^2 x 1 D
x 1
lím
x m 1
x^3 1
x 1
lím
x m 1
S x 1 DS x^2 x 1 D
x 1
lím
x m c
f S x D lím x m c
g S x D.
lím
x m 1
x^3 1
x 1
f S x D x p 1.
S x 1 DS x^2 x 1 D S x 1 D
x^2 x 1 g S x D,
x 2 1 1
2
3
y f ( x ) x
(^3 ) x 1
x 2 1 1
2
3
g ( x ) x^2 x 1
y
SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 63
Técnicas de cancelación y de racionalización
En los ejemplos 7 y 8 se muestran dos técnicas para calcular límites de manera analítica.
La primera utiliza la cancelación de factores comunes y la segunda, la racionalización del
numerador de una fracción.
EJEMPLO 7 Técnica de cancelación
Encontrar el límite:
Solución Aunque se trata del límite de una función racional, no se puede aplicar el teorema
1.3 debido a que el límite del denominador es 0.
La sustitución directa falla.
Puesto que el límite del numerador también es 0, numerador y denominador tienen un factor
común : ( x 3). Por tanto, para toda x p 3, se cancela este factor para obtener
Empleando el teorema 1.7, se sigue que
Aplicar el teorema 1.7.
Usar sustitución directa.
Este resultado se muestra de forma gráfica en la figura 1.18. Observar que la gráfica de la
función f coincide con la de la función g ( x ) x 2, sólo que la gráfica de f tiene un hueco
en el punto (3, 5).
En el ejemplo 7, la sustitución directa produce la forma fraccionaria 0Y0, que carece
de significado. A una expresión como 0Y0 se le denomina forma indeterminada porque no
es posible (a partir sólo de esa forma) determinar el límite. Si al intentar evaluar un límite
se llega a esta forma, debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no
tenga 0 como límite. Una manera de lograrlo consiste en cancelar los factores idénticos o
comunes , como se muestra en el ejemplo 7. Otra manera consiste en racionalizar el nume-
rador , como se hace en el ejemplo 8.
CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Puesto que las gráficas de
difieren sólo en el punto (3, 5), la configuración normal de una herramienta de grafi-
cación podría no distinguir entre ellas. No obstante, debido a la configuración de puntos
(“pixeles”) y a los errores de redondeo, quizá sea posible encontrar configuraciones de
pantalla que distingan las gráficas. De manera específica, aplicando el zoom repetidas
veces cerca del punto (3, 5) en la gráfica de f , la herramienta de graficación podría
mostrar fallas o irregularidades que no existen en la gráfica real (ver la figura 1.19). Si se
modifica la configuración de pantalla, podría obtenerse la gráfica correcta de f.
lím
x m 3
x^2 x 6
x 3
lím
x m 3
S x 3 D 0
lím
x m 3
x^2 x 6
x 3
lím
x m 3
S x^2 x 6 D 0
f S x D x p 3.
x^2 x 6
x 3
S x 3 DS x 2 D
x 3
x 2 g S x D,
lím
x m 3
x^2 x 6
x 3
lím
x m 3
S x 2 D
f no está definida para x 3
Figura 1.
NOTA En la solución del ejemplo 7, cerciorarse de distinguir la utilidad del teorema de factorización del álgebra. Este teorema establece que si c es un cero de una función polinomial, enton- ces ( x c ) es un factor del polinomio. Por tanto, si se aplica sustitución direc- ta a una función racional y se obtiene
puede concluirse que ( x c ) es un factor común de p ( x ) y de q ( x ).
1 2 1
2 1
2
4
3
5
x
f ( x ) x
(^2) x 6 x 3
y
3
5
3 +
Irregularidades
D D
E
( 3, 5)
5 + E
Gráfica incorrecta de f
Figura 1.
f S x D y g S x D x 2
x^2 x 6
x 3
r S c D
p S c D q S c D
SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 65
Teorema del encaje
El siguiente teorema se refiere al límite de una función que está “encajada” entre otras dos,
cada una de las cuales tiene el mismo límite en un valor dado de x , como se muestra en la
figura 1.21 (ver la demostración de este teorema en el apéndice A).
TEOREMA 1.8 TEOREMA DEL ENCAJE
Si h ( x ) f ( x ) g ( x ) para todos los x en un intervalo abierto que contiene a c , por la
posible excepción de la propia c , y si
entonces el lím x m c^ f^ S x D^ existe y es igual a L.
En la demostración del teorema 1.9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje (también
se le llama teorema del emparedado o del pellizco).
TEOREMA 1.9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
DEMOSTRACIÓN Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de x , se presenta
la demostración utilizando la variable U, donde U denota un ángulo agudo positivo medido
en radianes. En la figura 1.22 se muestra un sector circular encajado o emparedado entre
dos triángulos.
Al multiplicar cada expresión por 2Ysen U resulta
tomando sus recíprocos e invirtiendo las desigualdades se obtiene:
Puesto que cos U cos ( U) y (sen U)Y U [sen ( U)]Y( U), se concluye que esta des-
igualdad es válida para todo U distinto de cero dentro del intervalo abierto ( PY2, PY2). Por
último, dado que lím cos U 1 y lím 1 1, se puede aplicar el teorema del encaje para con-
Um 0 Um 0
cluir que lím (sen U)Y U 1. La demostración del segundo límite se deja como ejercicio para
Um 0
el lector (ver el ejercicio 123).
Teorema del encaje
Figura 1.
lím
x m c
h S x D L lím x m c
g S x D
lím
x m 0
1 cos x
x
lím 0
x m 0
sen x
x
Sector circular utilizado para demostrar
el teorema 1.
Figura 1.
Área del triángulo Área del sector Área del triángulo
sen U
r
U
r
tan U
r r
Q
Q
tan
1
Q 1
Q
Q
1
sen
cos U b
sen U
U
b 1.
cos U
r
U
sen U
r 1
y
x
g g
f
h
c
f
h
f queda aquí
h ( x ) b f ( x ) b g ( x )
x 1
Q
Q
Q Q
(1, 0)
(1, tan )
(cos , sen )
y
66 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades
EJEMPLO 9 Un límite en el que interviene una función trigonométrica
Encontrar el límite:
Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 0Y0. Para
resolver este problema, se puede escribir tan x como (sen x )Y(cos x ) y obtener
Ahora, puesto que
se puede obtener
(Ver la figura 1.23.)
EJEMPLO 10 Un límite en el que interviene una función trigonométrica
Encontrar el límite:
Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 0Y0. Para
resolver este problema, se puede escribir el límite como
Al ser ahora y 4 x y observar que x m 0 si y sólo si y m 0, se puede escribir
(Ver la figura 1.24.)
TECNOLOGÍA Utilizar una herramienta de graficación para confirmar los límites de
los ejemplos y del conjunto de ejercicios. Por ejemplo, las figuras 1.23 y 1.24 muestran
las gráficas de:
Observar que la primera gráfica parece contener el punto (0, 1) y la segunda al punto
(0, 4), lo cual respalda las conclusiones obtenidas en los ejemplos 9 y 10.
El límite de f ( x ) cuando x se aproxima
a 0 es 1
Figura 1.
El límite de g ( x ) cuando x se aproxima
a 0 es 4
Figura 1.
2
4
P 2
P 2
f ( x ) = tan x^ x
2
6
P 2
P 2
g ( x ) = sen 4 xx
lím
x m 0
tan x
x
S 1 DS 1 D
lím
x m 0
tan x
x
(^) lím x m 0
sen x
x
lím
x m 0
cos x
lím
x m 0
sen 4 x
x
lím
x m 0
sen 4 x
x
(^4) lím x m 0
sen 4 x
4 x
y g S x D
sen 4 x
x
f S x D .
tan x
x
4 S 1 D
(^4) lím y m 0
sen y
y
lím
x m 0
sen 4 x
x
(^4) lím x m 0
sen 4 x
4 x
y lím
x m 0
cos x
lím 1
x m 0
sen x
x
lím
x m 0
tan x
x
lím
x m 0
sen x
x ^
cos x
Multiplicar y dividir entre 4.
Aplicar el teorema 1.9(1).
68 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades
En los ejercicios 45 a 48, encontrar el límite de la función (si existe). Escribir una función más simple que coincida con la dada salvo en un punto. Utilizar una herramienta de graficación para confirmar el resultado.
En los ejercicios 49 a 64, encontrar el límite (si existe).
En los ejercicios 65 a 76, determinar el límite (si existe) de la función trigonométrica.
65. 66.
Análisis gráfico, numérico y analítico En los ejercicios 77 a 84, utilizar una herramienta de graficación para representar la función y estimar el límite. Emplear una tabla para respaldar la conclusión. Posteriormente, calcular el límite empleando métodos analíticos.
En los ejercicios 85 a 88, encontrar
En los ejercicios 89 y 90, utilizar el teorema del encaje para calcu-
lar lím
x m c
f X x C.
En los ejercicios 91 a 96, utilizar una herramienta de grafica- ción para representar la función dada y las ecuaciones y | x | y y | x | en una misma ventana. Usando las gráficas para visuali- zar el teorema del encaje, calcular lím f ( x ). x m 0
**91. 92.
- 96.**
Desarrollo de conceptos
97. En el contexto del cálculo de límites, analizar qué se quiere decir mediante las funciones que coinciden en todo salvo en un punto. 98. Elaborar un ejemplo de funciones que coinciden en todo salvo en un punto. 99. ¿Qué se quiere decir con indeterminación o forma indeter- minada? 100. Explicar el teorema del encaje. 101. Redacción Utilizar una herramienta de graficación para hacer la representación de
en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f ( x ) y g ( x ) cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un breve párrafo en el que se explique por qué
lím x m 1
x^3 1 x 1
lím x m 2
x^3 8 x 2
x límm 1
2 x^2 x 3 x 1
lím x m 1
x^2 1 x 1
lím $ x m 0
S x $ x D^3 x^3 $ x
lím $ x m 0
S x $ x D^2 2 S x $ x D 1 S x^2 2 x 1 D $ x
lím $ x m 0
S x $ x D^2 x^2 $ x
lím $ x m 0
2 S x $ x D 2 x $ x
lím x m 0
F 1 YS x 4 DG S 1 Y 4 D x
lím x m 0
F 1 YS 3 x DG S 1 Y 3 D x
x^ límm 3
x 1 2 x 3
lím x m 4
x 5 3 x 4
lím x m 0
2 x 2 x
lím x m 0
x 5 5 x
lím x m 4
x^2 5 x 4 x^2 2 x 8 x límm 3
x^2 x 6 x^2 9
lím x m 3
3 x x^2 9
lím x m 4
x 4 x^2 16
Sugerencia : Encontrar lím x m 0
2 sen 2 x 2 x ^
3 x 3 sen 3 x
lím .
x m 0
sen 2 x sen 3 x
lím t m 0
sen 3 t 2 t
x m^ lím PY 4
1 tan x x m^ lím PY 2 sen x cos x
cos x cot x
lím Fm P
lím F sec F h m 0
S 1 cos h D^2 h
lím x m 0
tan^2 x x
lím x m 0
sen^2 x x
lím Um 0
cos Utan U U
lím x m 0
sen x S 1 cos x D x^2
lím x m 0
3 S 1 cos x D lím x m 0 x
sen x 5 x
lím x m 2
x^5 32 x 2
lím x m 0
F 1 YS 2 x DG S 1 Y 2 D x
lím x m 0
sen x lím x m (^0) (^3) x
sen x^2 x
lím x m 0
cos x 1 lím t m 0 2 x 2
sen 3 t t
lím $ x m 0
f X x $ x C f X x C $ x****.
b (^) \ x a \ b f S x D b b (^) \ x a \
c a
4 x^2 b f S x D b 4 x^2
c 0
h S x D x cos
x
f S x D x sen
x
f S x D (^) \ x \ sen x f S x D (^) \ x \ cos x
f S x D x cos x f S x D (^) \ x sen x \
lím x m 0
h S x D 1.
f S x D x , g S x D sen x , y h S x D
sen x x
50. (^) x 0
3 x x^2 2 x x 0 l mÓ
x x^2 x
49. l m Ó
lím x m 16
4 x x 16
lím x m 0
x 2 2 x
f x x^2 4 x
f x
x 3
f x x
f x 3 x 2
sen x
SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 69
102. Redacción Utilizar una herramienta de graficación para re- presentar
en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f ( x ) y g ( x ) cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un breve párrafo en el que se explique por qué lím h ( x ) 0. x m 0
Objeto en caída libre En los ejercicios 103 y 104, utilizar la función de posición s ( t ) 16 t^2 500, que da la altura (en pies) de un objeto que lleva cayendo t segundos desde una altura de 500 pies. La velocidad en el instante t a segundos está dada por
103. Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500 pies, ¿a qué velocidad estará cayendo luego de 5 segundos? 104. Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500 pies, ¿cuánto tiempo tardará ésta en llegar al suelo? ¿A qué velocidad se producirá el impacto?
Objeto en caída libre En los ejercicios 105 y 106, utilizar la función de posición s ( t ) 4.9 t^2 200, que da la altura (en metros) de un objeto que cae desde una altura de 200 m. La velocidad en el instante t a segundos está dada por
105. Determinar la velocidad del objeto cuando t 3. 106. ¿A qué velocidad golpeará el suelo? 107. Encontrar dos funciones f y g tales que lím x m 0 f ( x ) y lím x m 0 g ( x ) no
existan, pero sí lím [ x m 0 f ( x ) g ( x )], si existe.
108. Demostrar que si lím x m c (^) f ( x ) existe y lím [ x m cf ( x ) g ( x )] no existe,
entonces lím x m c g ( x ) tampoco existe.
109. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1.1. 110. Demostrar la propiedad 3 del teorema 1.1. (Se puede utilizar la propiedad 3 del teorema 1.2). 111. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1.2. 112. Demostrar que si lím x m c f ( x ) 0, entonces lím x m c \ f ( x )\ 0. 113. Demostrar que si lím x m c f ( x ) 0 y \ g ( x )\ M para un número fijo
M y todas las x p c , entonces lím x m c f ( x ) g ( x ) 0.
114. a ) Demostrar que si lím \ f ( x )\ 0, entonces lím f ( x ) 0. x m c x m c ( Nota : Este ejercicio es inverso al del problema 112.) b ) Demostrar que si lím f ( x ) L entonces lím U f ( x )U U L U. x m c x m c [ Sugerencia : Utilizar la desigualdad UU f ( x )U U L UU U f ( x ) L U.] 115. Para pensar Encontrar una función f que muestre que el recíproco del ejercicio 114 b no es verdadero. [ Sugerencia : Bus- car una función f tal que lím x m c U f ( x )U U L U, pero donde lím x m c f ( x ) no exista.]
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 117 a 122, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre.
119. Si f ( x ) g ( x ) para todos los números reales distintos a x 0, y
123. Demostrar la segunda parte del teorema 1.9 probando que
y
Calcular (si es posible) lím f ( x ) y lím g ( x ). x m 0 x m 0
125. Razonamiento gráfico Considerar a ) Determinar el dominio de f. b ) Utilizar una herramienta de graficación para hacer la repre- sentación de f. ¿Resulta evidente el dominio de f a partir de la gráfica? Si no es así, explicar por qué. c ) Utilizar la gráfica f para calcular lím f ( x ). x m 0 d ) Confirmar la respuesta del apartado c ) utilizando el método analítico. 126. Aproximación
a ) Calcular
b ) Utilizar el resultado del apartado anterior para obtener la aproximación cos x y 1 ,N x^2 para x cercanas a 0. c ) Aplicar el resultado del apartado b ) para estimar cos (0.1). d ) Utilizar una herramienta de graficación para estimar cos (0.1) con cuatro decimales. Comparar el resultado con el del apartado c ).
127. Para pensar Al utilizar una herramienta de graficación para generar una tabla con el fin de estimar lím [(sen x )Y x ], un estu- x m 0 diante concluye que el límite, y no 1, era 0.01745. Determinar la probable causa del error.
f x x , g x sen^2 x y h x
sen^2 x x
lím t a
s a s t a t
lím t a
s a s t a t
entonces
Si entonces
donde
Si para todas las entonces lím x m a
f S x D < lím x m a
g S x D.
f S x D < g S x D x p a ,
f S x D (^)
x b 2 x > 2
lím x m 2
f S x D 3,
lím f S c D L. x m c
f S x D L ,
lím x m 0
lím g S x D L. x m 0
f S x D L ,
lím x m P
sen x x
lím x m 0 \
x
x
g S x D (^)
x ,
si x es racional si x es irracional.
f S x D
sec x 1 x^2
lím x m 0
1 cos x x^2
Para discusión
x 2
x 2 x 2
116. Sea f x . Encontrar LÓM f x.
Sean f S x D (^) 0, 1,
si x es racional si x es irracional
lím x m 0
1 cos x x
