Llista 2. Probabilitat (Grups 1-2-3-4).
1. Una variable aleat`oria discreta Xpren els valors i= 1,2,3satisfent P(X=i) = k·1
i.
a) Determina el valor de k.
b) Troba la funci´o de distribuci´o de X.
c) Calcula l’esperan¸ca, la vari`ancia de Xi la desviaci´o est`andard de X.
Soluci´o:
a) S’ha de verificar k·(1
1+1
2+1
3)=1i per tant k=6
11 .
b) La funci´o de distribuci´o de X´es
FX(x) =
0 si x < 1
6
11 si 1 ≤x < 2
18
22 si 2 ≤x < 3
1 si 3 ≤x
.
c)E[X] = 6
11 ·(1 ·1
1+ 2 ·1
2+ 3 ·1
3) = 18
11
E[X2] = 6
11 ·(12·1
1+ 22·1
2+ 32·1
3) = 36
11
var[X] = 36
11 −18
11 2=396−324
121 =72
121 ;pvar[X] = 6√2
11
2. Volem vendre una asseguran¸ca al propietari d’una casa valorada en 200000 euros. A partir de
dades estad´ıstiques podem estimar que la probabilitat de p`erdua total al llarg d’un any ´es de
0,004, d’una p`erdua del 50 % ´es de 0,02 i d’una del 25 % ´es de 0,08. Quant haurem de cobrar
anualment al client si, suposant que no hem de pagar per cap altra tipus de p`erdua, volem treure
un profit de 300 euros cada any?
Soluci´o:
Sigui Xla variable aleat`oria que mesura la p`erdua total observada al final de l’any. Segons
l’enunciat, Xpot prendre els valors amb les probabilitats associades seg¨uents,
x0 50000 100000 200000
PX(x) 0,8960 0,08 0,02 0,004
Ha de ser p−E[X] = 300. Com E[X] = 6800, la prima a cobrar ´es de 7100 euros.
3. Una variable aleat`oria t´e funci´o de massa,
x−2 1 3
PX(x)1
3
1
6
1
2
Calcula E[X],E[2X+ 5] iE[X2].
Soluci´o:
E[X] = (−2) ·1
3+ 1 ·1
6+ 3 ·1
2= 1. Per la linealitat de l’esperan¸ca E[2X+ 5] = 2 ·E[X] + 5 = 7.
Finalment E[X2]=(−2)2·1
3+ 12·1
6+ 32·1
2= 6; recordem que, en general, E[X2]6= (E[X])2.
