Estadística y Probabilidades: Variable Aleatoria - Prof. Chiok, Diapositivas de Estadística

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Universidad Ricardo Palma

Facultad de Ingeniería

Mg. Maria Chiok (^1) ESTADISTICA y PROBABILIDADES Prof. Mg. María Chiok Guerra [email protected]

Mg. Maria Chiok 2

TEMAS del Curso

1. Estadística Descriptiva Presentación de Datos Medidas de Resumen/Análisis
2. Regresión y Correlación
3. Probabilidad y Variables Aleatorias
4. Inferencia Estadística:
   • Muestreo
   • Estimación Estadística
     • Prueba de Hipótesis

CONTENIDO DEL CURSO

Mg. Maria Chiok 4

TEMAS del Curso

1. Variable Aleatoria
   • Discreta
   • Continua
2. Variable Aleatoria Discreta
   • Función de Probabilidad: p(x)
   • Función de Distribución: F(x)
   • Esperanza E(X) y Varianza V(X)
3. Variable Aleatoria Continua
   • Función de Densidad: f(x)
   • Función de Distribución: F(x)
   • Esperanza E(X) y Varianza V(X)

1. VARIABLE ALEATORIA: X

• Es una función matemática que hace corresponder a cada elemento del

espacio muestral, un número entero o real.

• EL DOMINIO DE X ES: 
  • Si el RANGO DE X ∈ Z : se tiene una Variable Aleatoria Discreta
  • Si el RANGO DE X ∈ R: se tiene una Variable Aleatoria Contínua  X(A) Mg. Maria Chiok 5

Z/R

• A X

2.2 Función de Distribución: F(x) Mg. Maria Chiok 7 Es una función que permite calcular probabilidades de la forma: F(x) = P( X ≤ x) En el caso particular de una variable aleatoria discreta: F(a) = P( X ≤ a) = ∑ p(x) 0  x  a

2.3 Ejemplo de V. A.: X discreta

• Sea el experimento aleatorio: tirar dos monedas Mg. Maria Chiok 8 a) Determinar el espacio muestral b) Determinar los valoraes de la VA c) ¿Cuáles son las probabilidades de cada valor de la VA? d) ¿Cuál es la Función de Probabilidad? Grafique e) ¿Cuál es la Función de Distribución?

2.3 Ejemplo de V. A.: X discreta

• Sea el experimento aleatorio: tirar dos monedas
• Si la v.a. X= número de caras. Se pide: Dibuje la Distribución de Probabilidad
  • Entonces, la Distribución de Probabilidad es:
  • X = { 0, 1, 2 } P(X=x) = { 1/4, 2/4, 1/4 } Mg. Maria Chiok 1 0 0

1 2 3 p(x)=P(X=x) N° de caras Distribución de Probabilidad

2.3 Ejemplo de V. A.: X discreta

• Sea el experimento aleatorio: tirar dos monedas
•  = { (c,c), (c,s), (s, c), (s, s) } Mg. Maria Chiok 1 1 Otra forma de presentación es:
• Si la v.a. X= número de caras, Determine: Función de Distribución
• X { (c,c) } = 2 X { (c,s) } = 1 X { (s,c) } = 1 X { (s,s) } = 0
• Los valores de la v.a. son: X = { 0, 1, 2 } y sus probabilidades son:
• P(X=0) = P{(s,s)}=¼ P(X=1) = P{(c,s),(s,c)}=2/4 P(X=2) = P{(c,c)}=¼
• Entonces, la Distribución de Probabilidad es:
• X = { 0, 1, 2 } P(X=x) = { 1/4, 2/4, 1/4 }
• X P(X=x) F(x) Donde:
• 0 ¼ ¼ P(X=x) es la Función de Probabilidad
• 1 2/4 ¾ F(x) = P( X ≤ x) es la Función de Distribución
• 2 ¼ (^4) /

2.3 Ejemplo - Esperanza y Varianza- VA Discreta

• Sea el experimento aleatorio: tirar dos monedas
• Si la v.a. X= número de caras. Determine: E(X) y V(X) Mg. Maria Chiok 1 3
• X^ p(x)^ x.p(x)^ x (^2) .p(x)
• (^0) ¼ 0 0 Donde: P(X=x)= p(x)
• 1 2/4 2/4 2/4 es la Función de Probabilidad
• 2 ¼ 2/ 4 4/
• 4/ 4 4/ 4 6/
• E(X)= 4/4 = 1 cara.
  • V(X)= E(X^2 )-(E(X))^2 = 6/4-(1)^2 =3/2 - 1=0.5 S(X)=0.7 ≈ 1 cara
  • Significa: Las desviaciones del número de caras respecto a la esperanza es una cara. Significa: Al repetir muchas veces el experimento aleatorio tirar dos monedas se obtiene en promedio una cara.

3. Distribución de variable aleatoria contínua Dada la variable continua X, le asignaremos f(x) y F(x) Función de densidad: f(x) = f x Es una función matemática, que presenta los valores de la variable aleatoria X, y sus respectivas ordenadas, tal que se cumplan las dos siguientes propiedades: Ax.1 f(x) >= 0 ,  x Є R Ax.2  f(x) dx = 1 ,  x Є R

3.2 Función de Distribución: F(x) Sea la variable aleatoria continua X a  f^ ( x ) dx^  x ^ R F ( a )= P ( X  a )= U

X

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3.3 Propiedades de F(x).-

X es v.a continua. Sean a,b constantes

P1. P(a^ ^ x ^ b)= F(b) – F(a)

P2. P(a  x  b)=

f(x) dx b

P3. Dado F(x): f(x)=dF(x)

dx

a

3. 4 Ejemplo Se desea estudiar el nivel de colesterol en cierto tipo de pollos. La función de densidad de la v.a. asociada es: f ( x ) = 1/ 2 x^0 ^ x^ ^1 0 _ otros _ casos

1. Obtener la Función de Distribución F(x)
2. Obtener: a) P(X<1.2) ; b) P(X>0.8); c) P( 1 < X < 1.5)

• Oct, 2009 Mg. Maria Chiok