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CONTINUIDAD Y N ´UMEROS IRRACIONALES
POR EL
Sr. R. DEDEKIND
Primera edici´on 1872. Quinta edici´on 1927.
Traducci´on provisional y comentarios por J. Bares y J. Climent.
Dedicado a mi querido padre Consejero ´aulico secreto, Profesor, Doctor en Derecho Julius Levin Ulrich Dedekind con ocasi´on de su 50o^ aniversario de actividad profesional en Brunswick, el 26 de abril de 1872
Las consideraciones que componen el objeto de este breve escrito [op´uscu- lo] datan del oto˜no del a˜no 1858. Me encontraba entonces, en tanto que pro- fesor del Polit´ecnico federal de Z¨urich, obligado por primera vez a exponer los elementos del c´alculo diferencial, y sent´ı en esta ocasi´on, m´as vivamen- te todav´ıa que antes, cu´an falta est´a la aritm´etica de una fundamentaci´on aut´enticamente cient´ıfica. A prop´osito del concepto de una magnitud va- riable que tiende hacia un valor l´ımite fijo y ciertamente para demostrar el teorema de que toda magnitud que crece constantemente, pero no m´as all´a de todo l´ımite, debe necesariamente tender hacia un valor l´ımite, busqu´e refu- gio en las evidencias geom´etricas. Ahora tambi´en [Todav´ıa hoy, considero que en el primer curso sobre c´alculo diferencial, esta llamada a la intuici´on geom´etrica se revela (resulta) extremadamente ´util en el plano did´actico, e incluso indispensable a qui´en no quiera perder demasiado tiempo], admitir de este modo a la intuici´on geom´etrica en la primera ense˜nanza del c´alculo diferencial me parece, desde el punto de vista did´actico, extraordinariamen- te ´util, en verdad imprescindible, si no se quiere perder demasiado tiempo. Pero nadie negar´a, por supuesto, que este tipo de introducci´on al c´alculo diferencial, no puede en absoluto tener ninguna pretensi´on de cientificidad. Fue para m´ı entonces tan poderoso este sentimiento de insatisfacci´on [Por mi parte, este sentimiento de insatisfacci´on me obnubilaba entonces hasta tal punto] que tom´e la firme decisi´on de reflexionar el tiempo que hiciera fal- ta hasta que hubiera encontrado una fundamentaci´on puramente aritm´etica y perfectamente rigurosa de los principios del an´alisis infinitesimal. Se di- ce muy frecuentemente que el c´alculo infinitesimal se ocupa de magnitudes continuas, y sin embargo no se proporciona nunca una explicaci´on de esta continuidad, e incluso la exposiciones m´as rigurosas del c´alculo diferencial no fundamentan sus demostraciones sobre la continuidad, sino que o bien apelan, m´as o menos conscientemente, a representaciones geom´etricas, o a representaciones permitidas [sugeridas] por la geometr´ıa, o bien se apoyan en teoremas que[, por su parte,] nunca son demostrados de manera pura- mente aritm´etica. Uno de ellos es, p.ej., el teorema mencionado m´as arriba, y una investigaci´on m´as precisa me convenci´o de que este teorema, o cual- quier otro equivalente a ´el, puede [podr´ıa] ser considerado en cierto modo [cierta medida] como un fundamento suficiente para el an´alisis infinitesimal. 1
No se trataba entonces m´as que de descubrir su aut´entico origen en los ele- mentos de la aritm´etica y de conseguir [adquirir por ello mismo] con ello al mismo tiempo una aut´entica [verdadera] definici´on de la esencia de la continuidad. Lo consegu´ı el 24 de noviembre de 1858 y pocos d´ıas despu´es, comuniqu´e el resultado de mi[mis] reflexi´on [reflexiones] a mi querido amigo Dur`ege, lo cual ocasion´o una larga y animada discusi´on. Despu´es he expues- to [expuse], desde luego, a alg´un que otro alumno esta[s] idea[s] sobre una fundamentaci´on cient´ıfica de la aritm´etica, y he dado una conferencia sobre este tema aqu´ı en Brunswick en la asociaci´on cient´ıfica de los profesores, pero no pod´ıa decidirme verdaderamente a [consagrarle[s] una publicaci´on] publicarla[s] efectivamente, porque en primer lugar la exposici´on no es muy f´acil, y porque adem´as el asunto es muy poco fruct´ıfero [fecundo]. Entretan- to, hab´ıa pensado ya m´as o menos, a pesar de todo, elegir este tema como objeto de mi escrito de celebraci´on, cuando hace pocos d´ıas, el 14 de marzo, lleg´o a mis manos, gracias a la amabilidad de su muy estimado autor, el tratado Los elementos de la teor´ıa de las funciones, de E. Heine (Crelles Journal, vol. 74), que me confirm´o [anim´o] en mi intenci´on. En lo esencial coincido por completo con el contenido de este escrito, como no podr´ıa ser de otro modo, pero confieso que, francamente [sinceramente], me parece que mi exposici´on es m´as simple en la forma y subraya de manera m´as precisa lo que es propiamente el punto central. Y mientras escribo este pr´ologo (20 de marzo de 1872), recibo el interesante trabajo [tratado] Sobre la extensi´on de un teorema de la teor´ıa de las series trigonom´etricas, de G. Cantor (Math. Annalen de Clebsch y Neumann, vol. 5), que agradezco vivamente al agudo [a su penetrante] autor. Seg´un constato despu´es de una r´apida lectura, el axioma del [de su] §2, aparte de la forma externa con que est´a revestido, coincide [concuerda] por completo [completamente] con el que yo m´as abajo se˜nalo en el §3 como la esencia de la continuidad. Sin embargo, en virtud de mi concepci´on del dominio de los n´umeros reales como completo en s´ı, no consigo todav´ıa reconocer [entrever] qu´e utilidad [inter´es] hay que atribuir a la distinci´on [diferenciaci´on], salvo que sea de manera conceptual [sem´anti- ca], de magnitudes num´ericas reales de una especie todav´ıa superior.
Propiedades de los n´umeros racionales.
El desarrollo de la aritm´etica de los n´umeros racionales se presupone cier- tamente aqu´ı, aunque me parece apropiado subrayar, sin discutirlos, algunos puntos principales [momentos claves], s´olo para indicar de antemano el pun- to de vista que voy a adoptar en lo que sigue. Considero a la aritm´etica en su conjunto como una consecuencia necesaria, o al menos natural, del acto aritm´etico m´as simple, el [de] contar, y el contar mismo [la acci´on de contar] no es [siendo] otra cosa que la creaci´on sucesiva de la sucesi´on in- finita de los n´umeros enteros positivos, en la cual cada individuo se [est´a] define [definido] por el que le precede inmediatamente; el acto m´as simple [este acto simpl´ısimo consiste en el] es el paso de un individuo ya creado a aqu´el que est´a a su vez por crear y le sigue inmediatamente. La cadena de estos n´umeros constituye ya en s´ı misma un instrumento extremadamente
resonancia de representaciones geom´etricas, as´ı: b est´a situado entre los dos n´umeros a, c. II. Si a y c son dos n´umeros diferentes, entonces hay siempre infinitos n´umeros b que est´an situados entre a y c. III. Si a es un n´umero determinado, entonces todos los n´umeros del sis- tema R se subdividen en dos clases, A 1 y A 2 , conteniendo cada una de las cuales infinitos [una infinidad de] individuos; la primera clase A 1 comprende todos los n´umeros a 1 que son < a, la segunda clase A 2 comprende todos los n´umeros a 2 , que son > a; el n´umero a mismo puede ser atribuido a voluntad a la primera o a la segunda clase, y es entonces respectivamente el n´umero m´aximo de la primera clase, o el m´ınimo de la segunda. En cualquier caso, la divisi´on del sistema R en dos clases A 1 y A 2 es tal que todo n´umero de la primera clase A 1 es menor que todo n´umero de la segunda clase A 2.
Comparaci´on de los n´umeros racionales con los puntos de una l´ınea recta.
Las propiedades que acabamos de subrayar [poner en evidencia] de los n´umeros racionales recuerdan a las relaciones rec´ıprocas de posici´on que existen entre los puntos de una l´ınea recta L. Si se diferencian [distinguen] los dos sentidos opuestos existentes en ella por “derecha” e “izquierda”, y si p y q son dos puntos diferentes, entonces o bien p est´a situado a la derecha de q, y al mismo tiempo q a la izquierda de p, o bien, inversamente, q est´a situado a la derecha de p, y al mismo tiempo p a la izquierda de q. Un tercer caso es imposible, si p y q son de hecho [realmente] puntos diferentes. Concerniendo a esta diferencia de posici´on, subsisten las siguientes leyes I. Si p est´a situado a la derecha de q, y q a su vez a la derecha de r, entonces p est´a situado tambi´en a la derecha de r; y se dice que q est´a situado entre los puntos p y r. II. Si p y r son dos puntos diferentes, entonces hay siempre infinitos [una infinidad de] puntos q que est´a situados entre p y r. III. Si p es un punto determinado de L, entonces todos los puntos en L se subdividen en dos clases, P 1 y P 2 , conteniendo cada una de las cuales infinitos [una infinidad de] individuos; la primera clase P 1 comprende todos los puntos p 1 que est´an situados a la izquierda de p, y la segunda clase P 2 contiene todos los puntos p 2 , que est´an situados a la derecha de p; el punto p mismo puede atribuirse a voluntad a la primera o a la segunda clase. En cualquier caso la divisi´on de la recta L en dos clases o partes P 1 y P 2 es tal que cada punto de la primera clase P 1 est´a situado a la izquierda de cada punto de la segunda clase P 2. Como es sabido, esta analog´ıa entre los n´umeros racionales y los puntos de una recta se convierte en una verdadera y propia correspondencia, cuando se elige en la recta un determinado punto o, de origen o punto cero, y una determinada unidad de longitud para medir los segmentos [distancias]. Con la ayuda de ´esta ´ultima puede construirse para cada n´umero racional a una longitud correspondiente, y si se transporta ´esta desde el punto o hacia la derecha o hacia a la izquierda sobre la l´ınea, seg´un que a sea positivo o
negativo, se alcanza entonces una extremidad determinada p, que puede ser designada como el punto correspondiente al n´umero a; al n´umero racional 0 le corresponde al punto o. De este modo, a cada n´umero racional a, i.e, a cada individuo en R, corresponde uno y s´olo un punto p, i.e., un individuo en L. Si a los dos n´umeros a y b les corresponden, respectivamente, los dos puntos p y q, y si a > b, entonces p est´a situado a la derecha de q. A las leyes I, II, III, del par´agrafo previo le [les] corresponden completamente [perfectamente] las leyes I, II, III del actual.
Continuidad de la l´ınea recta.
Ahora, sin embargo, es muy importante el hecho de que en la l´ınea L hay infinitos [una infinidad de] puntos que no corresponden a ning´un n´umero ra- cional. En efecto, si el punto p corresponde al n´umero racional a, entonces, como es sabido, la longitud op es conmensurable con la unidad de longitud invariable utilizada para efectuar la construcci´on, i.e., hay una tercera lon- gitud, que se llama una medida com´un, y de la cual estas dos longitudes son m´ultiplos enteros. Pero ya los griegos de la antig¨uedad supieron y de- mostraron que hay longitudes que son inconmensurables con una unidad de longitud dada, p. ej., la diagonal del cuadrado, cuyo lado es la unidad de longitud. Si se transporta una tal longitud sobre la recta desde el punto o, entonces el punto extremo que se obtiene no corresponde a ning´un n´umero racional. Puesto que, adem´as, se puede demostrar f´acilmente que hay infini- tas longitudes que son inconmensurables con la unidad de longitud, entonces podemos afirmar: La recta L es infinitamente m´as rica en individuos pun- tuales que el dominio R de los n´umeros racionales en individuos num´ericos. Si ahora se quiere, y eso es lo que se desea, deducir aritm´eticamente de este modo todos los fen´omenos en la recta, entonces los n´umeros racionales no bastan para ello, y ser´a por ello inevitablemente necesario refinar de manera esencial el instrumento R construido por la creaci´on de los n´umeros racionales, creando nuevos n´umeros tales que el dominio de los n´umeros se convierta en tan completo o, como inmediatamente diremos, tan continuo como la l´ınea recta. Las consideraciones expuestas hasta ahora son tan conocidas y tan co- rrientes, que muchos tendr´an su repetici´on por superflua. Sin embargo, he juzgado necesaria esta recapitulaci´on, para preparar adecuadamente la pre- gunta principal. La hasta ahora usual introducci´on a los n´umeros irracionales alude directamente al concepto de las magnitudes extensivas –el cual sin em- bargo nunca se define rigurosamente– y explica el n´umero como el resultado de la medida de una tal magnitud por una segunda de la misma naturaleza^3. En lugar de ello exijo que la aritm´etica se desarrolle desde s´ı misma. Que tales puntos de contacto con representaciones no aritm´eticas han propor- cionado la ocasi´on inmediata para la ampliaci´on del concepto de n´umero,
(^3) La aparente superioridad que esta definici´on del n´umero extrae de su generalidad
desaparece inmediatamente si se piensa en los n´umeros complejos. A mi parecer, a la inversa, el concepto de la raz´on entre dos magnitudes de la misma naturaleza s´olo puede ser desarrollado claramente cuando ya se han introducido los n´umeros irracionales.
en la creaci´on de nuevos individuos puntuales y deber´ıa realizarse seg´un el principio m´as arriba mencionado.
Creaci´on de los n´umeros irracionales.
Con las ´ultimas palabras ya se ha indicado suficientemente de qu´e modo debe ser completado el dominio discontinuo R de los n´umeros racionales en uno continuo. En el §1 se ha subrayado (III) que cada n´umero racional a determina una divisi´on del sistema R en dos clases A 1 y A 2 tales que cada n´umero a 1 de la primera clase A 1 es menor que cada n´umero a 2 de la segunda clase A 2 ; el n´umero a es, o bien el n´umero m´aximo de la clase A 1 , o bien el n´umero m´ınimo de la clase A 2. Ahora, si se ha dado una partici´on cualquiera del sistema R en dos clases A 1 y A 2 , que s´olo posee la propiedad caracter´ıstica de que cada n´umero a 1 en A 1 es menor que cada n´umero a 2 en A 2 , entonces queremos, por mor de la brevedad, denominar a una tal partici´on una cortadura, y denotarla con (A 1 , A 2 ). Podemos decir entonces que todo n´umero racional a determina una cortadura o, a decir verdad, dos cortaduras, a las que sin embargo no consideramos como esencialmente diferentes; esta cortadura tiene adem´as la propiedad de que o bien entre los n´umeros de la primera clase existe uno m´aximo, o entre los n´umeros de la segunda clase existe uno m´ınimo. Y viceversa, si una cortadura posee tambi´en esta propiedad, entonces est´a determinada por este n´umero racional que es el m´aximo o el m´ınimo. Pero es f´acil convencerse de que tambi´en existen infinitas cortaduras que no pueden ser determinadas por los n´umeros racionales. El ejemplo m´as inmediato es el siguiente. Sea D un n´umero entero positivo, pero que no sea el cuadrado de un n´umero entero, entonces hay un n´umero entero positivo λ tal que
λ^2 < D < (λ + 1)^2.
Si se coloca en la segunda clase A 2 cada n´umero racional positivo a 2 cuyo cuadrado es > D, y en la primera clase A 1 todos los dem´as n´umeros racionales a 1 , entonces esta partici´on constituye una cortadura (A 1 , A 2 ), i.e., cada n´umero a 1 es menor que cada n´umero a 2. Pues si a 1 = 0 o a 1 es un n´umero negativo, entonces a 1 es ya por este motivo menor que cada n´umero a 2 , porque ´este es, de acuerdo con la definici´on, positivo; pero si a 1 es positivo, entonces su cuadrado es ≤ D, y por consiguiente a 1 es menor que cada n´umero positivo a 2 , cuyo cuadrado es > D. Esta cortadura, sin embargo, no est´a determinada por ning´un n´umero racional. Para demostrar esto, debe mostrarse ante todo, que no hay ning´un n´umero racional, cuyo cuadrado sea = D. Aunque esto es conocido desde los primeros elementos de la teor´ıa de los n´umeros, incluiremos de todos modos aqu´ı la siguiente demostraci´on indirecta. Si hay un n´umero racional cuyo cuadrado es = D, entonces hay tambi´en dos n´umeros enteros positivos t y u, que satisfacen la ecuaci´on
t^2 − Du^2 = 0,
y se puede suponer que u es el m´ınimo n´umero entero positivo que posee la propiedad de que su cuadrado al multiplicarse por D se transforma en el cuadrado de un n´umero entero t. Ahora, puesto que evidentemente
λu < t < (λ + 1)u,
entonces el n´umero u′^ = t − λu
ser´a un n´umero entero positivo, y ciertamente menor que u. Si por otra parte se pone que t′^ = Du − λt,
entonces t′^ ser´a un n´umero entero positivo, y se tendr´a que
t′^2 − Du′^2 = (λ^2 − D)(t^2 − Du^2 ) = 0,
lo que est´a en contradicci´on con lo que hab´ıamos supuesto sobre u. Con esto el cuadrado de cada n´umero racional x es, o bien < D, o bien
D. De aqu´ı se sigue f´acilmente que ni en la clase A 1 hay un n´umero m´aximo, ni en la clase A 2 hay un n´umero m´ınimo. Pues si se pone que
y =
x(x^2 + 3D) 3 x^2 + D
entonces
y − x =
2 x(D − x^2 ) 3 x^2 + D e
y^2 − D =
(x^2 − D)^3 (3x^2 + D)^2
Si aqu´ı se toma para x un n´umero positivo de la clase A 1 , entonces x^2 < D, y por consiguiente tendremos que y > x y que y^2 < D, y por lo tanto y pertenece igualmente a la clase A 1. Pero si se toma para x un n´umero de la clase A 2 , entonces x^2 > D, y por consiguiente tendremos que y < x, y > 0 e y^2 > D, por lo tanto y pertenece igualmente a la clase A 2. Por esto, esta cortadura no est´a determinada por ning´un n´umero racional. En esta propiedad, la de que no todas las cortaduras est´an determina- das por n´umeros racionales, consiste la incompletud o discontinuidad del dominio R de todos los n´umeros racionales. Ahora, cada vez que se da una cortadura (A 1 , A 2 ) que no est´a determi- nada por ning´un n´umero racional creamos un nuevo n´umero, un n´umero irracional α, que consideramos como perfectamente definido por esta corta- dura (A 1 , A 2 ); diremos que el n´umero α corresponde a esta cortadura, o que ´el determina esta cortadura. Por lo tanto, de ahora en adelante, a cada corta- dura determinada le corresponde un y s´olo un n´umero determinado, racional o irracional, y consideramos a dos n´umeros como diferentes o desiguales si y s´olo si corresponden a dos cortaduras esencialmente diferentes. Ahora, para obtener una base sobre la que fundamentar la ordenaci´on de todos los n´umeros reales, i.e., de todos los n´umeros racionales e irraciona- les, debemos investigar en primer lugar las relaciones entre dos cortaduras cualesquiera (A 1 , A 2 ) y (B 1 , B 2 ), determinadas por dos n´umeros cualesquie- ra α y β. Es evidente que una cortadura (A 1 , A 2 ) ya est´a completamente dada si una de las dos clases, p.ej., la primera A 1 , es conocida, porque la
denotaci´on de la relaci´on entre α y β; pero esta elecci´on ha sido justificada solamente ahora, a posteriori. Es en investigaciones de este tipo, precisa- mente, donde uno debe poner el m´aximo cuidado para no caer, aunque sea con la mejor buena fe, en el error de efectuar transposiciones ileg´ıtimas de un dominio en otro por una elecci´on precipitada de expresiones tomada de prestado de otras representaciones ya desarrolladas. Ahora volviendo al caso α > β, resulta que el n´umero menor β, si es racional, pertenece sin duda a la clase A 1 ; puesto que hay ciertamente en A 1 un n´umero a′ 1 = b′ 2 que pertenece a la clase B 2 , entonces el n´umero β, sea el n´umero m´aximo en B 1 o el m´ınimo en B 2 , es sin duda ≤ a 1 y por consiguiente est´a contenido en A 1. Igualmente resulta de α > β, que el n´umero mayor α, si es racional, pertenece sin duda a la clase B 2 , porque α ≥ a′ 1. Si se re´unen ambas consideraciones, entonces se obtiene el siguiente resultado: Si una cortadura (A 1 , A 2 ) est´a determinada por el n´umero α, entonces un n´umero racional cualquiera pertenece a la clase A 1 o a la clase A 2 seg´un que sea menor o mayor que α; si el n´umero α mismo es racional, entonces puede pertenecer a una o a la otra clase. De aqu´ı, en fin, se obtiene todav´ıa el siguiente resultado. Si α > β, si por consiguiente hay infinitos n´umeros en A 1 que no est´an contenidos en B 1 , en- tonces hay tambi´en infinitos n´umeros que son al mismo tiempo diferentes de α y de β; cada n´umero racional c que cumple las condiciones es < α, porque est´a contenido en A 1 , y es al mismo tiempo > β, porque est´a contenido en B 2.
Continuidad del dominio de los n´umeros reales.
Como consecuencia de las distinciones ya establecidas, el sistema R de to- dos los n´umeros reales constituye un dominio bien ordenado unidimensional; con esto no se dice otra cosa que el que valen las siguientes leyes. I. Si α > β, y β > γ, entonces tambi´en α > γ. Queremos decir que el n´umero β est´a situado entre los n´umeros α y γ. II. Si α y γ son dos n´umeros diferentes, entonces hay siempre infinitos n´umeros diferentes que est´an situados entre α y γ. III. Si α es un n´umero determinado, entonces todos los n´umeros del siste- ma R se subdividen en dos clases, A 1 y A 2 , cada una de las cuales contiene infinitos individuos; la primera clase A 1 comprende todos los n´umeros α 1 , que son < α, la segunda clase A 2 comprende todos los n´umeros α 2 , que son mayores que α. El n´umero α mismo puede atribuirse a voluntad a la primera o a la segunda clase, y es entonces, respectivamente, o el n´umero m´aximo de la primera clase o el n´umero m´ınimo de la segunda clase. En cualquier caso, la subdivisi´on del sistema R en las dos clases A 1 y A 2 es tal que cada n´umero de la primera clase A 1 es menor que cada n´umero de la segunda clase A 2 , y decimos, que esta divisi´on est´a determinada por el n´umero α. Por mor de la brevedad, y para no cansar al lector, omito las demostra- ciones de aquellos teoremas que se siguen directamente de las definiciones de los par´agrafos previos.
Pero adem´as de estas propiedades el dominio R posee tambi´en la conti- nuidad, i.e., es v´alido el siguiente teorema: IV. Si el sistema R de todos los n´umeros reales se subdivide en dos clases, A 1 y A 2 tales que cada n´umero α 1 de la clase A 1 es menor que cada n´umero α 2 de la clase A 2 , entonces existe un y s´olo un n´umero α por el cual esa divisi´on est´a determinada. Demostraci´on. Por la divisi´on o la cortadura de R en A 1 y A 2 est´a dada al mismo tiempo una cortadura (A 1 , A 2 del sistema R de todos los n´umeros racionales, definida por el hecho de que A 1 contiene a todos los n´umeros racionales de la clase A 1 , y A 2 a todos los dem´as n´umeros racionales, i.e., a todos los n´umeros racionales de la clase A 2. Sea α el n´umero completamente determinado que determina esta cortadura (A 1 , A 2. Ahora, si β es un n´umero cualquiera diferente de α, entonces hay siempre infinitos n´umeros racionales c que est´an situados entre α y β. Si β < α, entonces c < α; luego c pertenece a la clase A 1 y por consiguiente tambi´en a la clase A 1 , y puesto que al mismo tiempo β < c, entonces tambi´en β pertenece a la misma clase A 1 , porque cada n´umero en A 2 es mayor que cada n´umero c en A 1. Pero si β > α, entonces c > α; luego c pertenece a la clase A 2 y por consiguiente tambi´en a la clase A 2 , y puesto que al mismo tiempo β > c, entonces tambi´en β pertenece a la misma clase A 2 , porque cada n´umero en A 1 es menor que cada n´umero c en A 2. Luego cada n´umero β diferente de α pertenece a la clase A 1 o a la clase A 2 , seg´un que sea β < α o β > α; por consiguiente α mismo es, o bien el n´umero m´aximo en A 1 , o bien el n´umero m´ınimo en A 2 , i.e., α es un n´umero, y evidentemente el ´unico, que determina la divisi´on de R en dos clases A 1 y A 2 , que es lo que hab´ıa que demostrar.
C´alculos con los n´umeros reales.
Para reconducir cualquier c´alculo con dos n´umeros reales α, β a los c´alcu- los con n´umeros racionales, s´olo hay que definir la cortadura (C 1 , C 2 ), que de- be corresponder al resultado de c´alculo γ, a partir de las cortaduras (A 1 , A 2 ) y (B 1 , B 2 ) determinadas en el sistema R por los n´umeros α y β. Me limito aqu´ı a desarrollar del ejemplo m´as simple, el de la adici´on. Si c es un n´umero racional cualquiera, entonces se le coloca en la clase C 1 si hay un n´umero a 1 en A 1 y un n´umero b 1 en B 1 tales que su suma sea a 1 + b 1 ≥ c. Todos los dem´as n´umeros racionales c se colocan en la clase C 2. Esta partici´on de todos los n´umeros racionales en las dos clases C 1 y C 2 constituye evidentemente una cortadura, porque cada n´umero c 1 en C 1 es menor que cada n´umero c 2 en C 2. Ahora, si ambos n´umeros α y β son racionales, entonces cada n´umero c 1 contenido en C 1 es ≤ α + β, porque a 1 ≤ α y b 1 ≤ β, luego tambi´en a 1 + b 1 ≤ α + β; adem´as, si C 2 contuviese un n´umero c 2 < α + β, y por lo tanto α + β = c 2 + p, donde p significa un n´umero racional positivo, entonces se tendr´ıa que
c 2 = (α − 12 p) + (β − 12 p),
lo cual est´a en contradicci´on con la definici´on del n´umero c 2 , porque α − 12 p es un n´umero en A 1 , y β − 12 p es un n´umero en B 1 ; por consiguiente cada
intervalo L”. Sin embargo, la terrible pesadez que est´a ligada a la formulaci´on de un tal teorema nos convence de que aqu´ı debe hacerse algo que vaya en ayuda del lenguaje, y esto se alcanzar´a de hecho del modo m´as perfecto, si se introducen los conceptos de magnitudes variables, de funciones y de valores l´ımite, y ser´a ciertamente lo m´as apropiado, fundamentar las definiciones de las operaciones aritm´eticas m´as simples en estos conceptos, lo cual, sin embargo, no puede desarrollarse m´as all´a aqu´ı.
An´alisis infinitesimal.
Para acabar, todav´ıa es necesario [conviene] iluminar la conexi´on [rela- ci´on] que existe entre las consideraciones que hemos hecho hasta aqu´ı y determinados teoremas fundamentales del an´alisis infinitesimal. Se dice que una magnitud variable x, que recorre [toma] sucesivamente valores num´ericos determinados, tiende hacia un valor l´ımite fijo α, si, en el curso del proceso, x se mantiene situado [acaba por situarse] definitivamente entre cualquier par de n´umeros entre los cuales est´e situado α mismo, o, lo que es equivalente, si la diferencia x − α tomada absolutamente [en valor absoluto], queda [desciende] definitivamente por debajo de todo valor dado diferente de cero. Uno de los teoremas m´as importantes dice lo siguiente: “Si una magnitud x crece constantemente, pero no m´as all´a de todo l´ımite, entonces tiende hacia un valor l´ımite”. Lo demuestro del modo siguiente. Seg´un la hip´otesis, hay uno, y por con- siguiente tambi´en infinitos [una infinidad de] n´umeros α 2 , tales que siempre se tiene que x < α 2 [tales que x siempre permanece < α 2 ]. Denoto con A 2 el sistema de todos estos n´umeros α 2 , y con A 1 el sistema de todos los n´umeros α 1 restantes; cada uno de los ´ultimos tiene la propiedad [se caracteriza por el hecho] de que, en el curso del proceso, se obtiene definitivamente que x ≥ α 1 [x se hace definitivamente ≥ α 1 ]; luego cada n´umero α 1 es menor que cada n´umero α 2 , y por consiguiente existe un n´umero α que o bien es el m´aximo en A 1 , o bien es el m´ınimo en A 2 (§5, IV). Lo primero no puede ser el caso [El primer caso queda excluido] porque x nunca deja de crecer, luego α es el n´umero m´ınimo en [de] A 2. Ahora [Pero], sea cual sea el n´umero α 1 que se tome, finalmente se tiene en definitiva que α 1 < x < α, i.e., que x tiende al valor l´ımite α. Este teorema es equivalente al principio de la continuidad, i.e., pierde su validez en cuanto [tan pronto como] se contemplara [considerara aunque s´olo fuera] un s´olo n´umero real en el dominio R como no presente [ausente]; o expresado de otro modo: si este teorema es correcto, entonces tambi´en es correcto el teorema IV en el §5. Otro teorema del an´alisis infinitesimal, igualmente equivalente a ´este [y] que se utiliza a´un m´as frecuentemente [y cuyo uso es todav´ıa m´as frecuente], dice lo siguiente: “Si en el proceso de variaci´on de una magnitud x, se puede siempre [tambi´en] indicar [asignar] para [a] cada [toda] magnitud positiva δ dada un lugar [una posici´on] correspondiente, a partir del cual x var´ıa en una cantidad inferior a δ, entonces x tiende hacia un valor l´ımite”.
Este rec´ıproco del teorema f´acilmente demostrable, de que [seg´un el cual] cada [toda] magnitud variable que tienda hacia un valor l´ımite acaba siem- pre por tener valores de variaci´on menores que cualquier magnitud positiva dada, puede ser deducido tanto del teorema anterior, como directamente [a partir] del principio de la continuidad. Tomo el ´ultimo camino [Adopto la segunda v´ıa]. Sea δ una magnitud positiva dada arbitraria (i.e., δ > 0), entonces, por la hip´otesis, llegar´a un momento a partir del cual x variar´a en una cantidad menor que δ, i.e., que si x posee en ese momento el valor a, entonces ser´a en lo sucesivo siempre x > a − δ y x < a + δ. Dejo de lado ahora de momento [provisionalmente] la hip´otesis inicial y [no] retengo m´as que el hecho [lo] que se acaba de demostrar, a saber que todos los valores posteriores de la variable x est´an situados entre dos valores finitos [y] que se pueden indicar [asignar]. Sobre este hecho, fundamento una doble reparti- ci´on de todos los n´umeros reales. En el sistema A 2 coloco un n´umero α 2 (p. ej., a + δ) si, en el curso del proceso, se tiene definitivamente que x ≤ α 2 ; en el sistema A 1 coloco cada n´umero no contenido en A 2 ; si α 1 es un n´umero tal, entonces, por avanzado que est´e el proceso, tendr´a lugar infinitamente a menudo que x > α 1. Puesto que cada n´umero α 1 es menor que cada n´umero α 2 , entonces hay un n´umero α perfectamente determinado que determina [produce] esta cortadura (A 1 , A 2 ) del sistema R, y que denominar´e el va- lor l´ımite superior de la variable x que permanece constantemente [siempre] finita. Del mismo modo, el comportamiento de la variable x determina [pro- duce] una segunda cortadura (B 1 , B 2 ) del sistema R: un n´umero β 1 (p.ej., a − δ) ser´a colocado en B 1 si, en el curso del proceso, se tiene definitiva- mente que x > β 1 ; todo otro n´umero β 2 a colocar en B 2 , tiene la propiedad de que no se tiene jam´as definitivamente que x ≥ β 2 , por lo tanto siempre se tendr´a que infinitamente a menudo x < β 2 ; el n´umero β que determi- na esta cortadura se llama el valor l´ımite inferior de la variable x. Ambos n´umeros, α y β est´an evidentemente tambi´en caracterizados por la siguiente propiedad: si ε es una magnitud positiva arbitrariamente peque˜na, entonces se tendr´a siempre definitivamente que x < α + ε y x > β − ε, pero jam´as se tendr´a definitivamente ni que x < α − ε ni que x > β + ε. Ahora son posibles dos casos. Si α y β son diferentes entre s´ı, entonces necesariamente α > β, porque siempre se tiene que α 2 ≥ β 1 ; la variable x oscila y, por avanzado que est´e el proceso, sufre [experimenta] siempre (todav´ıa) variaciones cuyo valor es superior a (α − β) − 2 ε, donde ε es una magnitud positiva arbi- trariamente peque˜na. Pero la hip´otesis inicial, a la cual vuelvo [finalmente] ahora, est´a sin embargo en contradicci´on con esta consecuencia; queda por esto s´olo el segundo caso α = β, y puesto que ya ha sido demostrado que, tan peque˜na como [por peque˜na que] sea la magnitud positiva ε, se tiene siempre definitivamente que x < α + ε y x > β − ε, entonces x tiende hacia el valor l´ımite α, que era lo que hab´ıa que demostrar. Estos ejemplos pueden bastar [deber´ıan ser suficientes] para demostrar [hacer ver] la conexi´on [relaci´on] entre el principio de la continuidad y el an´alisis infinitesimal.
[El desarrollo relacionado con este escrito cl´asico es tan conocido que creemos poder renunciar a las explicaciones. Por lo dem´as, remitimos a las
DE LAS CARTAS A R. LIPSCHITZ.
Traducci´on provisional y comentarios por J. Bares y J. Climent.
Brunswick, 29 de abril de 1876.
Me ha producido Vd. con su carta una alegr´ıa muy grande y al mismo tiempo muy inesperada, pues desde hace algunos a˜nos hab´ıa casi perdido la esperanza de que mi exposici´on y concepci´on de una teor´ıa general de los ideales le pudiera interesar a alguien m´as que a m´ı en estos tiempos. Con la excepci´on del Prof. Weber en K¨onigsberg, que como editor de las Obras completas de Riemann, de pr´oxima aparici´on, entr´o en estrecho contacto conmigo, y recientemente, motivado naturalmente por esta circunstancia, me ha dado a conocer su intenci´on de ocuparse de esta teor´ıa, es Vd. el primero que no se limita a manifestar su inter´es en el asunto, sino que lo hace de un modo tan pr´actico, que extraigo de ello la esperanza de no haber trabajado completamente en vano. Cre´ı que incluir esta investigaci´on en la teor´ıa de los n´umeros de Dirichlet ser´ıa el medio m´as seguro para ganar un c´ırculo m´as amplio de matem´aticos para que trabajaran este campo, y yo solo me he convencido poco a poco de que la exposici´on misma tiene, desde luego, la culpa del fracaso de este plan. Debo sospechar que la exposici´on ha amedrentado a los lectores por su excesiva concisi´on y condensaci´on, y por ello he utilizado desde el oto˜no el tiempo libre que he ganado por el cese en mi cargo de director del Polit´ecnico de esta ciudad, para elaborar una exposici´on m´as detallada de la teor´ıa de los ideales, en la que tambi´en he avanzado tanto, que el aut´entico fundamento (del contenido del § 163) se ha conseguido en una forma algo mejorada. La modificaci´on no es, con todo, esencial, y creo tambi´en que no son posibles grandes modificaciones, al menos en el camino emprendido por m´ı; las dificultades que tuve que superar hace seis a˜nos en la construcci´on de esta teor´ıa general y sin excepciones, encuentran a mi juicio su fundamento interno en la circunstancia de que junto a esta teor´ıa, que comprende todos los n´umeros enteros de un cuerpo cualquiera, circulan al mismo tiempo una infinidad de teor´ıas que adolecen de excepciones, que siempre se refieren s´olo a una parte de los n´umeros enteros (en ´ordenes, formas derivadas). Y esta dificultad, por la cual el proceso demostrativo se alarga mucho, la tengo por completamente inevitable. ¡L´astima! pues cada lector creer´a a mitad de camino estar muy pr´oximo a la conclusi´on de la demostraci´on, y luego advertir´a para su disgusto que deben a˜nadirse nuevos recursos. Por lo dem´as llega luego por fin la conclusi´on, pero el camino es largo. Le pido disculpas por no haberle expresado ya desde hace tiempo mi agradecimiento por su participaci´on grata y valiosa; mi retraso, que, me temo, ser´a para Vd. sorprendente y apenas explicable, tiene en parte su causa en la gran cantidad de asuntos y trabajos que tuve que atender justo en ese tiempo, y en parte ante todo en mi indecisi´on sobre el modo en que se pueden plasmar adecuadamente los pensamientos expresados por Vd. As´ı ha sucedido que varias veces ya he empezado a escribirle, pero luego, nuevas dudas en la realizabilidad de mis propuestas, me han llevado a desistir. Tras una ulterior y m´as madura reflexi´on me permito ahora transmitirle mi
punto de vista, con la esperanza de no haberle hecho perder el inter´es que Vd. tom´o en el asunto a causa de mi dejadez. El trabajo mencionado m´as arriba, comenzado este invierno, pero a´un no terminado, que he destinado o para el Borchardt’sche Journal o para los G¨ottinger Abhandlungen, ser´ıa demasiado detallado para el presente fin; por otra parte ser´ıa para m´ı dif´ıcil de conseguir una exposici´on resumida pareci- da a la que Vd. ha elaborado sobre sus interesant´ısimas investigaciones sobre las ecuaciones diferenciales homog´eneas para el Bulletin; Vd. ha conseguido muy felizmente presentar al lector una imagen sin´optica de sus investigacio- nes, y de un modo tan comprensible, que se estar´ıa en todo caso en posici´on de reconstruir a partir de ´el el trabajo original. En mi asunto, sin embargo, en la naturaleza tan exactamente conocida por Vd. de la deducci´on en la teor´ıa de los n´umeros, me parece inevitable la fundamentaci´on efectiva a trav´es de demostraciones completas; sin ella ser´ıa dif´ıcil la transmisi´on de un modo comprensible de los resultados fundamentales solos, y en todo caso no despertar´ıa ning´un inter´es. Tampoco es posible transmitir las demostra- ciones m´as o menos s´olo indicativamente; si la demostraci´on agrada o no, pende en la mayor parte de los casos de un cabello. Aunque entonces el fin a alcanzar lo ten´ıa claro frente a m´ı, no obstante s´olo consegu´ı tras esfuer- zos verdaderamente indecibles, avanzar paso a paso y llenar por fin todos los huecos; ten´ıa mientras realizaba esta tarea la sensaci´on de que pend´ıa de un hilo, con el temor de no conseguir alcanzar el siguiente pelda˜no, y si no hubiera tenido impresa o escrita ante m´ı mi exposici´on de entonces de estas demostraciones, supondr´ıa para m´ı ahora de nuevo un gran esfuerzo componer todos los peque˜nos pasos demostrativos cada uno en su lugar de nuevo, de manera que se alcanzara realmente el objetivo. Por este motivo creo firmemente que s´olo una exposici´on completa de las demostraciones que proporcione una visi´on de conjunto puede interesar al lector por el tema. Si el editor del Bulletin quiere proceder a ello y permitirme incluso, que desa- rrolle algo m´as algunos puntos concretos, y que por el contrario elimine todo lo superficial, entonces el contenido se dispondr´ıa m´as o menos as´ı. Del §159 se mantendr´ıa la parte I, y las partes II y III ser´ıan suprimidas por completo; el §160 se mantendr´ıa con la eliminaci´on de los n´umeros. 5 y 7; el §161 se mantendr´ıa, aunque complet´andolo a´un algo; el §162 se mantendr´ıa esencialmente; el §163 se mantendr´ıa con una exposici´on cambiada, m´as detallada; y el §164 se mantendr´ıa. Con ello se alcanzar´ıa una cierta integridad , que podr´ıa ser satisfactoria, pues se habr´ıan conseguido entonces los verdaderos fundamentos de la teor´ıa. Esto dar´ıa m´as o menos 50 p´aginas de imprenta, quiz´as a´un m´as. En verdad he llevado m´as adelante mis investigaciones, de las que entonces s´olo se public´o una parte, tanto en general como tambi´en en su aplicaci´on a las clases de cuerpos especiales, en la medida en que me lo ha permitido mi muy limitado tiempo en los ´ultimos a˜nos; no se puede prever por lo tanto un aut´entico final de este campo de trabajo. Si se quisiera m´as, podr´ıa proporcionarse una continuaci´on, pero me parece provisionalmente adecuada la limitaci´on anterior, y se podr´ıa dar justificadamente el t´ıtulo El´´ements de la th´eorie des id´eaux a la exposici´on prevista, si este plural de ideal es correcto. Por lo dem´as, ya no estar´ıa en condiciones de elaborar yo mismo
... Estoy muy lejos de tomar a mal las observaciones que Vd. hace sobre mi “Introducci´on” [XLVIII]; por el contrario, me alegra mucho la sincera co- municaci´on de sus dudas y el inter´es en el tema, que se expresa claramente en las mismas. Pero espero tambi´en que Vd. no atribuya a una obstinaci´on tenaz si yo, tras una ocupaci´on prolongada durante veinte a˜nos con estos pensamientos no comparto sus dudas y no puedo decidirme a hacer a´un m´as concesiones admitiendo cambios en esta introducci´on, en la que he es- crito cada palabra s´olo tras la m´as cuidadosa reflexi´on. Mi esfuerzo en la teor´ıa de los n´umeros tiene como fin, apoyar la investigaci´on, no en formas de exposici´on o expresiones ocasionales, sino en simples conceptos funda- mentales, y a trav´es de ello –si bien esta comparaci´on puede sonar quiz´as presuntuosa– conseguir algo parecido en este dominio a lo que Riemann en el dominio de la teor´ıa de funciones, donde no puedo omitir la observaci´on incidental, de que los principios riemannianos no son empleados de manera consecuente por la mayor´ıa de los escritores, p.ej. tambi´en en la m´as re- cientes obras sobre funciones el´ıpticas; casi siempre la simple teor´ıa queda desfigurada por la mezcla de formas de exposici´on innecesarias, que a pesar de todo estrictamente deber´ıan ser s´olo resultado, no medios auxiliares de la teor´ıa. De un modo parecido desfiguro en la introducci´on el concepto de un cuerpo finito Ω porque proporciono una forma de exposici´on en la que est´an contenidos todos los n´umeros del cuerpo y que podr´ıa ser cambiada igual- mente bien por infinitas otras formas de exposici´on, si en lugar del n´umero θ de all´ı se tomaran otros n´umeros del mismo cuerpo como medio de expre- si´on; se necesita manifiestamente ya alguna reflexi´on o incluso una aunque ligera demostraci´on para ver que con ello el contenido total de n´umeros del cuerpo permanece completamente inalterado.Por esto ha de anteponerse ampliamente la definici´on dada en la teor´ıa de los n´umeros §159 [XLVII]: “Un cuerpo finito es aquel que s´olo tiene una cantidad finita de n´umeros independientes entre s´ı”. Pero he hecho esta concesi´on, para tomar prestado lo menos posible de la teor´ıa general de los cuerpos y para enlazar con cosas generalmente conocidas... ........................................................................ ... 3o. Con respecto a mi nota referente a los n´umeros irracionales, escribe Vd..... “Debo dejar sentado ahora, que no niego la correcci´on de su defi- nici´on, pero soy de la opini´on de que ´esta se diferencia s´olo en la forma de la expresi´on pero no en el contenido de la que los antiguos establecieron.” S´olo puedo decir que la definici´on establecida por Euclides V, 5, que cito en lat´ın:
rationem habere inter se magnitudines dicuntur, quae possunt multiplicatae sese mutuo superare^4 ,
y lo que sigue, lo tengo por exactamente tan satisfactorio como su defini- ci´on. Por este motivo querr´ıa que quitara ciertamente la afirmaci´on de que teoremas como
6 no hayan sido demostrados hasta ahora. Pues creo que los lectores franceses en especial tendr´an conmigo el convencimiento de que el libro citado de Euclides contiene los principios que son necesarios y suficientes para la demostraci´on de este teorema. No puedo por lo dem´as
(^4) se dice que unas magnitudes tienen entre s´ı una raz´on, si pueden superarse mutuamente
al ser multiplicadas
cerrar esta observaci´on sin decir lo dif´ıcil que es para m´ı escrib´ırsela. Estas cuestiones tocan, para usar una expresi´on de Jacobi, en lo m´as profundo a un coraz´on anal´ıtico, y s´olo quisiera que no me lo tomara a mal. En este punto fui interrumpido ayer (viernes) por la tarde por una visita, y por eso se ha retrasado mi respuesta. —En primer lugar le pido otra vez que est´e convencido de que en este asunto no soy en modo alguno suscepti- ble; no he pretendido nunca que mi concepci´on de los n´umeros irracionales tenga un valor especial, en otro caso no la habr´ıa retenido para m´ı alrededor de catorce a˜nos; por el contrario, siempre he estado convencido de que todo matem´atico bien formado de nuestro tiempo, que por una vez se propusiera la tarea de resolver este asunto de modo riguroso, tambi´en llegar´ıa con toda seguridad a la meta; al mismo tiempo estoy bastante lejos de hacer un repro- che eventualmente a los matem´aticos que no se plantean esta pregunta en general; cada uno de ellos tendr´a justificadamente el sentimiento inequ´ıvoco de que ´el podr´ıa hacerlo s´olo con que quisiera y se tomara el trabajo de dedicarle tiempo a ello; por esto, aunque no soy en absoluto insensible a la alabanza y la censura, realmente no me sentir´e ofendido en este caso si se me deniega a m´ı mismo el peque˜no m´erito que creo tener en ello. Sin embar- go quiero, puesto que el asunto realmente me interesa mucho, permitirme exponerle los motivos por los que no puedo adherirme a su punto de vista. Presupongo en esto como base, sobre la que es necesario naturalmente ha- berse puesto de acuerdo, la aritm´etica de los n´umeros racionales firmemente fundamentada y nada m´as; en mi escrito se˜nalo, sin ninguna intromisi´on de cosas ajenas, que en el dominio mismo de los n´umeros racionales se puede indicar un fen´omeno (la cortadura), que puede usarse para completar este dominio con una ´unica creaci´on de nuevos n´umeros irracionales, y demuestro que el dominio as´ı generado de todos los n´umeros reales posee la propiedad, en la que veo la esencia de la continuidad (§ 3) (si no se quiere introducir ningunos n´umeros nuevos, no tengo nada en contra; el teorema por m´ı de- mostrado (§5, IV) reza entonces as´ı: el sistema de todas las cortaduras en el dominio de por s´ı discontinuo de los n´umeros racionales constituye una mul- tiplicidad continua); se˜nalo adem´as (§6) que la adici´on de cada dos n´umeros reales es definible con toda precisi´on, y afirmo, que lo mismo vale para las restantes operaciones, y que apoyado en esto se pueden demostrar tambi´en con todo rigor los teoremas en los que consiste el edificio de la aritm´eti- ca. Naturalmente, estas ´ultimas afirmaciones me comprometen, de modo que si alguien dudara a´un de la demostrabilidad de un teorema desde mis principios, yo puedo proporcionarle verdaderamente esta demostraci´on. Al mismo tiempo afirmo que estos teoremas de la aritm´etica en gran parte (en realidad casi todos) hasta ahora no han sido demostrados y para hacer lo m´as patente posible la contradicci´on digo que el teorema
6 no ha sido nunca demostrado hasta ahora. Si alguien quiere contradecirme en esto, querr´a afirmar tambi´en que el teorema ya est´a demostrado, y por lo tanto la carga de la prueba reside ahora en el otro y ´el debe indicarme una demostraci´on realmente publicada de este teorema o de uno que lo implique. Ahora bien, ¿cree Vd. realmente que una tal demostraci´on se encuentra en libro alguno? Naturalmente he examinado en este punto toda una cantidad
