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N´umeros complejos
Antonio Garv´ın
1 Complejos
Los n´umeros complejos son una ampliaci´on de los reales. Son expresiones de la forma a + bi con a y b n´umeros reales y donde i cumple la condici´on i^2 = −1. Representamos a los complejos por la letra C. Geometricamente podemos pensar los complejos como puntos del plano. Los representaremos como flechas partiendo del origen y con extremo en el punto. Se acostumbra a utilizar distintas notaciones para los elementos de C z ∈ C, z = (a, b) esta es la forma cartesiana. Llamando i = (0, 1) y 1 = (1, 0), tenemos (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a · 1 + b · i = a + bi, esta es la forma bin´omica. Desde un punto de vista m´as geom´etrico se pueden dar dos representa- ciones m´as:
&%
'$ I
r ··
a
b a^ +^ bi
α
La forma polar r(α y la exponencial reiα. En estas dos r > 0 y α ∈ [0, 2 π) representan la longitud del complejo medida desde el origen y el ´angulo medido en el sentido habitual, esto es, desde el semieje positivo horizontal y contrario a las agujas del reloj, considerando el complejo como una flecha que parte del origen. Para pasar de la forma bin´omica a la polar, tenemos como dato (a, b) y buscamos r(α. Tenemos por un lado que r =
a^2 + b^2 como aplicaci´on de Pit´agoras, y por otro que tag α = (^) ab. Por tanto α es el n´umero entre 0 y 2 π que se corresponde con arctag ba que es un n´umero entre −π/2 y π/2. La igualdad α = arctag ba se da unicamente cuando estamos en el primer cuadrante. En el segundo cuadrante α = π + arctag (^) ab. En el tercero
α = π + arctag (^) ab. En el cuarto cuadrante α = 2π + arctag ba. El cuadrante lo determina el signo de a y b. Observemos que 0 no tiene representaci´on polar. Por su parte para pasar de la forma polar a la cartesiana, ahora tenemos como dato r(α y buscamos (a, b). Se tiene que a = r cos α y b = r sen α. Para multiplicar complejos lo hacemos como si fueran polinomios y despu´es usamos la relaci´on i^2 = −1. As´ı
(a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + dbi^2 = (ac − db) + (ad + cb)i
Una pregunta que surge es si podemos expresar el cociente ac++dibi en la forma A + Bi multiplicando como polinominos y usando la relaci´on i^2 = −1. Por ejemplo (^1) i = (^1) i··ii = (^) −i 1 = −i = 0 + (−1)i. En general
a + bi c + di
(a + bi)(c − di) (c + di)(c − di)
(ac + bd) + (bc − ad)i c^2 + d^2 = A + Bi
A =
ac + bd c^2 + d^2
B =
bc − ad c^2 + d^2 Resumiendo podemos definir los n´umeros complejos C, como el conjunto
C = {a + bi/a, b ∈ R; i^2 = − 1 }
R est´a contenido en C, sin m´as que considerar
R ↪→ C, x 7 → x + 0i
y tenemos estructura de suma (C, +) y de producto (C.·). El cociente est´a definido si z 6 = 0.
1.1 Definiciones:
Si z = a + bi, a se denomina la parte real, a = Re(z). b la parte imaginaria b = Im(z). A | z |=
a^2 + b^2 se denomina el m´odulo de z. En forma polar r(α, r es el m´odulo y α se denomina el argumento. Si z = a + bi, ¯z = a − bi se denomina el conjugado de z. El modulo de un complejo tiene las siguientes propiedades
- | z |≥ 0
- | z |= 0 ⇐⇒ z = 0
- | z 1 + z 2 |≤| z 1 | + | z 2 |
1.2 El cuerpo de los n´umeros complejos
Analicemos las propiedades de la operaci´on de suma. Existe un elemento neutro, 0 = 0+0i. Cada complejo z = a+bi posee un opuesto, −z = −a−bi. La operaci´on es asociativa, (z 1 +z 2 )+z 3 = z 1 +(z 2 +z 3 ). Adem´as la operaci´on es conmutativa, z 1 + z 2 = z 2 + z 1. Esto hace de (C, +) un grupo abeliano. Por otro lado si quitamos el 0, (C∗, ·) tambi´en es un grupo abeliano. El neutro es el 1 = 1 + 0i. Cada z = a + bi no nulo posee inverso 1 z
a a^2 + b^2
b a^2 + b^2
). La operaci´on es asociativa, (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 )
y conmutativa, z 1 z 2 = z 2 z 1. Como adem´as se verifica la distributividad del producto respecto de la suma
z(z 1 + z 2 ) = zz 1 + zz 2
Decimos que (C, +, ·) es un cuerpo, es el cuerpo de los n´umeros complejos. Los n´umeros reales tambi´en son un cuerpo, entonces ¿qu´e ventaja tienen los complejos? En los n´umeros reales no hay raices de n´umeros negativos, pero en los complejos si. Por ejemplo
− 4 ∈/ R, es decir no existe un x ∈ R tal que x^2 = −4. Pero observemos que
√ −4 =
4 = 2i = 0 + 2i ∈ C
Es decir en C al tener
−1 = i, tenemos todas las raices de n´umeros nega- tivos.
1.3 Teorema fundamental del ´algebra:
Los complejos se introducen para dar sentido a las raices de n´umeros nega- tivos, o si se quiere para dar sentido a
−1. Es decir para que la ecuaci´on x^2 + 1 = 0 tenga soluci´on. Siendo m´as precisos
{x ∈ R/x^2 + 1 = 0} = ∅
mientras que {x ∈ C/x^2 + 1 = 0} = {i, −i} Lo curioso, o incluso sorprendente es que introduciendo unicamente la raiz i, del polinomio x^2 + 1, resulta que tenemos las raices de cualquier polinomio, incluso si los coeficientes del polinomio son complejos, esto es lo que afirma el teorema fundamental del ´algebra.
Cualquier polinomio de grado n con coeficientes en C tiene todas sus raices en C.
p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn; ai ∈ C
p(x) = an(x − z 1 )(x − z 2 ) · · · (x − zn)
z 1 , z 2 , · · · , zn son las n raices complejas (pudiendo repetirse) del polinomio.
1.4 Ejemplo:
Si me dan dos raices, por ejemplo 1 y −1 puedo encontrar un polinomio que las tenga solo a ellas por raices p(x) = x^2 − 1 = (x + 1)(x − 1). No es ´unico ya que por ejemplo p(x) = 2x^2 − 2 = 2(x + 1)(x − 1) tambi´en las tiene a ellas por ´unicas raices.
− 1 , − 1 p(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)
− 1 , − 1 p(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)(x + 1)
p(x) = x^2 + 1 no se descompone en R, o lo que es lo mismo no tiene raices reales. i, −i p(x) = x^2 + 1 = (x + i)(x − i) −i, −i p(x) = x^2 + 2ix − 1 = (x + i)(x + i)
En el caso anterior nos aparecen coeficientes complejos
1.5 Ejemplo:
En este ejemplo nos planteamos el problema al reves, en lugar de buscar el polinomio a partir de las raices, buscamos las raices a partir del polinomio.
x^2 + ix + 1 = 0
x =
−i ±
−i ±
5 i 2
√5+ √^2 i 5 − 1 2 i
x^2 + ix + 1 = (x −
i)(x + −
i)
Analicemos un par de ejemplos m´as
La descomposici´on compleja es:
x^4 +16 =
x−(
2 i)
x−(−
2 i)
x−(−
2 i)
x−(
2 i)
de donde obtenemos la descomposici´on real
x^4 + 16 = (x^2 − 2
2 x + 4)(x^2 + 2
2 x + 4)
En general para encontrar las raices n-´esimas del complejo seiβ^ , es decir, para resolver la ecuaci´on xn^ = seiβ
repetimos el argumento anterior y obtenemos que las n soluciones de la forma reiα^ se corresponden a r = n
s y a α = β/n, (β +2π)/n, (β +4π)/n, · · · , (β + (n − 1)2π)/n. Es decir las soluciones son
√ ns ( β+2nkπ^ ,^ k^ = 0,^1 ,^ · · ·^ ,^ (n^ −^ 1)
Por ´ultimo y sin entrar en mas detalles, al igual que hemos relacionado a traves de la igualdad reiα^ = r(cos α + i sen α), los complejos (su forma exponencial) con las razones trigonom´etricas, indicando por ejemplo como obtener el seno y coseno de la suma, queremos tambi´en indicar la siguiente relaci´on (inmediata de comprobar)
cos α = eiα^ + e−iα 2 sen α = eiα^ − e−iα 2 i
Que nos indica otra relaci´on con las funciones hiperb´olicas. Se podr´ıa decir que en cierto sentido las trigonom´etricas son a la exponencial compleja, como las hiperb´olicas a la exponencial real. En cualquier caso es otra forma de recordar la definici´on de las hiperb´olicas.
