Matemática compendio, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Matemática compendio y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ARITMÉTICA

III BIMESTRE

Í n d i c e

• Fracciones Pág
• Adición y Sustracción con Fracciones
• Multiplicación con Fracciones
• División con Fracciones
• Operaciones Combinadas
• Números Decimales
• Adición y Sustracción con Decimales
• Multiplicación y División con Decimales
• Problemas con Decimales

Una fracción es la división de dos números, donde el término llamado numerador indica “cuántas partes se van a tomar” y el término llamado denominador, indica “en cuántas partes iguales ha sido dividido el total”. En el gráfico vemos que el total ha sido dividido en seis partes iguales y de las cuales, solo se está considerando una de ellas; es por eso que la fracción representativa es 1entre 6 o sea: 1/

1. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES:

A. Comparación de términos a) Fracción propia: cuando el numerador es menor que el denominador b) Fracción Impropia: cuando el numerador es mayor que el denominador

Ejercicios:

• Grafica las siguientes fracciones propias e impropias :

11) 12)

• Escribe como número mixto las siguientes fracciones:

11

112

1. (^) 12 2.^108 5

8 3. 10

63 4. 18

95 5.

7

21 6. 25

125 7. 7

19 8. 11

80 9. 11

100 10.

8

32 11. 2

7 12.

• Transforma estos números mixtos a fracción impropia.

a) 5 = b) 4 = c) 4 = d) 9 =

e) 7 = f) 3 = g) 4 = h) 6 =

i) 2 = j) 7 = k) 2 = l) 8 =

B. Reducción de términos Fracción reductible: cuando el numerador y el denominador tienen actores comunes. Fracción Irreductible: cuando el numerador y el denominador no tienen factores que se puedan simplificar.

Ejercicios:

1)^147

98 R.^3

2 2)^637

273 R.^7

3 3)^415

332 R.^5

4 4)^513

285 R.^9

5

5)^441

252 R.^7

4 6)^979

623 R.^11

7 7)^444

370 R.^6

5 8)^5005

2002 R.^5

2

9)^6006

3003 R.^2

1 10)^2338

1503 R.^14

9

2 RELACIÓN DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE FRACCIONES :

¡Ahora aprenderemos como determinar cuándo una fracción es >, <, = que otra fracción!

Ej: Dadas 2 fracciones

5(8) = 40 6(7) = 42

Como 40 < 42

<

Ejercicios:

• Colocar dentro del círculo, el símbolo que corresponda >; <; =

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la menor?

6. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

3. FRACCIONES HOMOGENEAS Y HETEROGENEAS

3. Cuando unos conjuntos de fracciones tienen el mismo denominador se les llama fracciones homogéneas.

3 3 3

1 1

Paso 2:

Se divide

Ejercicios:

a)

b)

c)

d)

f) 2 +

g) = l)

h) = m)

i) = n)

j) = o) =

k) =

SUMA DE FRACCIONES CON NÚMEROS MIXTOS

Resuelve las siguientes operaciones en tu folder:

1. = 2) = 3) =

2. = 5) = 6) =

3. = 8) = 9) =

4. = 11) = 12)

.3 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador

.4 SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Primer Método:

Se procede de igual forma que en la suma.

Segundo Método:

Paso 1: M.C.M. de los denominadores

6 - 4 2

3 - 2 2 M.C.M.(6, 4) = 2 x 2 x 3 = 12

3 - 1 3

1 - 1

Paso 2:

Ejercicios:

a) b)

c) d)

e) f)

RESTA DE FRACCIONES CON NÚMEROS MIXTOS

Resuelve las siguientes operaciones en tu folder:

1. = 2) = 3) =

Ejercicios:

Resuelve los siguientes productos de fracciones:

1. = 2) = 3) = 4) =

2. = 6) = 7) = 8) =

3. = 10) = 11) = 12) =

4. = 14) =

6. DIVISIÓN DE FRACCIONES

Primer Método:

Supongamos que tenemos la siguiente división:

Se invierte la segunda fracción (el divisor) y luego se multiplican las fracciones:

Segundo Método:

Se coloca los términos como una división indicada y luego se hace producto de extremos, el resultado será el numerador de la fracción y producto de medios, el resultado será el denominador de la fracción. Así de esta manera:

4 y 3 extremos 5 y 7 medios

Ejercicios:

Resuelve las siguientes divisiones de fracciones:

a) = b) c)

d) e) = f) =

g) = h) = i) =

j) = k) = l) =

m) = n) = ñ) =

o) = p) = q) =

Sigue practicando:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

k) l) m) n) o)

p) q) r) s) t)

v) w) x) y) z)

OPERACIONES COMBINADAS

Resuelve las siguientes operaciones combinadas

7. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

8. Escribe la fracción irreductible a cada fracción dada:
9. Encuentra la fracción equivalente que falta en cada serie:

9. PROBLEMAS CON FRACCIONES.

1. Ernesto compró las partes de una chacra; después compró las partes de la misma chacra. ¿Qué parte de la chacra compró Ernesto en total?
2. (^) Julio unió galones de pintura blanca con galones de pintura verde. ¿Cuántos galones de pintura obtuvo Julio en total?
3. Ernesto utilizó las partes de su chacra para hacer una casa y las partes para el cultivo.

¿Qué parte de la chacra empleó para el cultivo más que para la casa?

4. Julio utilizó de su pintura para pintar la sala y para pintar la cocina. ¿Qué parte de la pintura empleó para la sala más que para la cocina?
5. Si tengo S/. 240 y gasto de mí dinero. ¿Cuánto me quedará?
6. En una tienda hay dos docenas de bolsas de arroz. Si se vende y se rompe del total de bolsas. ¿Cuántas bolsas quedan en la tienda?
7. Debo recorrer 3 kilómetros, ya avancé kilómetros.

Me falta recorrer ................... kilómetros.

8. Sergio tiene años. Para cumplir 5 años le falta .................
9. Compré 5 chocolates. Comí de chocolate. Me queda .................. chocolates.
10. Para pintar la fachada del colegio se compró galones de pintura blanca, galones de celeste, galón de pintura gris. ¿Cuánta pintura se compró en total?
11. La suma de dos números es y uno de ellos es. ¿Cuál es el otro número?
12. José pintó los de una pared de su casa y su hijo pintó los de la misma pared. ¿Qué porción de pared pintaron entre los dos? ¿Qué porción de pared falta pintar?

HISTORIA DEL TANGRAM.

El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantones "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.

No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época para la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y niños.

A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena.

En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16,000 figuras distintas.

Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

El creador de los números decimales fue el científico Simón Stevin (1548-1620). Nacido en Brujas, ciudad de Bélgica. En 1585 publicó la idea en su obra “De Thiende” que, luego de ser traducida al inglés, alcanzó fama y logró que se adoptara su uso, aunque para ello debieron pasar dos siglos.

Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía:

como

como

como

Al sumar estos números, obtenía

Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.

Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera:

Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales.

(ADAPTADO DE: http://www.numerodecimal.galeon.com/historia.htm)

1. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES

La expresión decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Consideremos la fracción 34/8:

2. FRACCIÓN DECIMAL:

Son fracciones cuyos denominadores son potencias de 10.

3. FRACCIÓN ORDINARIA:

D = n.

4. LECTURA DE DECIMALES:

4,2 = “Cuatro enteros, dos décimos”

1,16 = “Un entero, dieciséis centésimos

2,136 milésimo

centésimo

décimo

Parte entera

5. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DECIMALES:

Ejemplo:

Sumemos: 4,256+0,4561+0,

Primero: colocamos los números uno debajo del otro, pero teniendo cuidado de que las “ comas ” estén alineadas así:

6. MULTIPLICACIÓN DE UN DECIMAL x UN ENTERO

Ejemplo:

7 , 2 3 x

Se multiplica luego escribe la coma, teniendo cuidado que quede el resultado, con la

misma cantidad de cifras decimales que tiene el número decimal que se está

multiplicando.

Ejercicios:

• 4,129 x 8 10,213 x 8
• 2,025 x 4 8,068 x 6
• 0,6881 x 3 12, 0155 x 4
• 5,0582 x 7 0,05432 x 8
• 1,376 x 3 6,11203 x 5

7. MULTIPLICACIÓN DECIMAL Y DECIMAL:

Se coloca la coma en el producto (resultado) de manera tal que quede con la misma

cantidad de cifras decimales como las que hay en total en los 2 números decimales

que se están multiplicando.

Observa el siguiente ejemplo:

4 3 , 6 7 x

5, 4

1 7 4 6 8 +

2 1 8 3 5

2 3 5 ,8 1 8

Ejercicios:

Resolver los siguientes ejercicios:

)A 42,6 x 3,12 D) 121,67 x 7

)B 2,46 x 71 E) 6,63 x 6,

)C 2,431 x 6,231 F) 12,11 x 0,

MULTIPLIC A 4 1,3 0,5 2,5 6 1,