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1.1 Derivada
- Hallar la derivada de:
a. 3e
Se sabe que 𝑒 ≅ 2. 7183 → 𝑦 = 3 𝑒 = 8. 1548
′
b. 2e
x
Si 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑔(𝑥) → 𝑓
′
′
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 "c" 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ( 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎)
En este caso:
𝑥
Además, se sabe que si 𝑔
𝑥
′
𝑥
Con esto, se tiene que:
𝑥
′
𝑥
c. x
3
𝑛
′
𝑛− 1
3
′
3 − 1
′
2
d.
Según la regla de la cadena: 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓
[
)]
′
′
[
)]
′
En este caso:{
[
]
′
′
′
′
′
e. Sen(2x)
Según la regla de la cadena: 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓
[
)]
′
[
)]
′
En este caso:{
[
]
= sin( 2 𝑥)
𝑦 = sin( 2 𝑥)
′
= (sin( 2 𝑥))′. ( 2 𝑥)′
′
= cos( 2 𝑥). 2. 1
′
= 2 cos( 2 𝑥)
- La derivada de la función: 𝑓( ) =
Aplicando la regla de la cadena:
2
3
𝑓
′
(𝑥) = (√( 2 𝑥
2
− 3 𝑥 + 1 )
3
)
′
. (( 2 𝑥
2
− 3 𝑥 + 1 )
3
)
′
. ( 2 𝑥
2
− 3 𝑥 + 1 )′
✓ Es importante recordar que:
Esto lo aplicaremos para ( 2 𝑥
2
− 3 𝑥 + 1 )′
′
( 𝑥
)
1
2
√
( 2 𝑥
2
− 3 𝑥+ 1 )
3
2
3 − 1
2 − 1
′
2
3
2
2
′
2
2
2
3
′
𝑥. cos(𝑥). ln(𝑥) − sin (𝑥)
𝑥. ln
2
- La segunda derivada de 𝑦 = sen(2e
x
) es:
Aplicando la regla de la cadena
𝑦 = sin
𝑥
′
= (sin( 2 𝑒
𝑥
′
𝑥
′
′
= cos
𝑥
𝑥
′
′
= cos( 2 𝑒
𝑥
𝑥
′
𝑥
. cos
𝑥
Para hallar la segunda derivada, volvemos a derivar la primera
derivada.
En este caso se tiene un producto de funciones, entonces usamos la
regla del producto:
′
′
′′
𝑥
′
. cos( 2 𝑒
𝑥
𝑥
. (cos( 2 𝑒
𝑥
′
Aplicamos la regla de la cadena para (cos( 2 𝑒
𝑥
′
′′
𝑥
. cos
𝑥
𝑥
− sin
𝑥
𝑥
′
′′
𝑥
. cos( 2 𝑒
𝑥
𝑥
. (− sin( 2 𝑒
𝑥
𝑥
′′
𝑥
. cos( 2 𝑒
𝑥
2 𝑥
. sin( 2 𝑒
𝑥
′′
𝑥
. (cos
𝑥
𝑥
. sin
𝑥
- (TAA 2019). La segunda derivada de la función 𝑦 = 𝑥cos(𝑥) es:
Aplicamos la regla del producto:
′
′
′
′
. cos
cos
′
′
= 1. cos(𝑥) + 𝑥. (− sin(𝑥))
′
= cos(𝑥) − 𝑥. sin(𝑥)
Volvemos a derivar, sabiendo que:
′′
cos
′
− (𝑥. sin
′′
= − sin(𝑥) − [(𝑥)
′
. sin(𝑥) + 𝑥. (sin(𝑥))
′
]
′′
= − sin(𝑥) − [ 1. sin(𝑥) + 𝑥. cos(𝑥)]
′′
= − sin(𝑥) − [sin(𝑥) + 𝑥. cos (𝑥)]
′′
= − sin(𝑥) − sin(𝑥) − 𝑥. cos(𝑥)
′′
= − 2 sin(𝑥) − 𝑥. cos (𝑥)
- ( TAA 2020). La primera derivada de la expresión 𝑦 = −3e
5x
es:
Sabemos que:
′
′
Siendo “c” una constante (numero cualquiera)
5 𝑥
′
5 𝑥
′
Aplicamos la regla de la cadena para
5 𝑥
′
′
5 𝑥
′
′
′
5 𝑥
′
′
5 𝑥
′
5 𝑥
- ( TAA 2022). La derivada de la función implícita 𝑥
3
3
Derivamos ambos miembros de la igualdad, teniendo en cuenta que:
3
3
3
3
3
′
3
′
′
Al llegar a este punto, debemos tener en cuenta que “y” siempre es una
función de “x” , es decir, 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Por lo tanto, al tener 𝑦
3
debemos saber que estamos teniendo una
función de 𝑥 elevada al cubo, por lo que para derivar debemos tener
en cuenta la regla de la cadena (“La derivada de una función
compuesta 𝑓[𝑔(𝑥)] es la derivada de la función exterior evaluada en
la función interna, por la derivada de la función interna, o sea:
[
)]
′
[
)]
′
En este caso tenemos que: {
𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑦
3
También, tenemos que tener en cuenta que la derivada de y es y’
3 − 1
3 − 1
′
2
2
′
Sacamos factor común 3 en el lado izquierdo de la igualdad
2
2
′
Dividimos ambos miembros de la igualdad entre 3
2
2
′
2
2
′
Pasamos restando el 1 al lado izquierdo y pasamos sumando 𝑦
2
′
al
lado derecho
2
2
′
Dividimos ambos miembros de la igualdad entre 𝑦
2
2
2
2
′
2
2
2
′
Con lo cual
′
2
2
Podemos dejar la derivada en función a 𝑥 despejando 𝑦 de la
expresión original
3
3
Pasamos restando 3 𝑥 al lado izquierdo y pasamos sumando 𝑦
3
al
lado derecho
3
3
Extremos raíz cubica a ambos lados de la igualdad
3
3
3
3
Con lo cual: 𝑦 = √𝑥
3
3
Entonces, reemplazando “y” en la derivada:
′
2
2
2
3
3
2
′
2
3
3
2
- ( TAA 2023). Si y = ln(x) + e
2x
, hallar la tercera derivada de la
función y.
Sabemos que
′
′
′
′
ln
′
2 𝑥
′
′
2 𝑥
′
′
′
2 𝑥
′
2 𝑥
Volvemos a derivar
′′
′
2 𝑥
Debemos recordar que:
1
𝑥
− 1
′′
− 1
′
2 𝑥
′′
− 1 − 1
2 𝑥
′′
− 2
2 𝑥
Derivamos una ultima vez para hallar la tercera derivada
′′′
− 2
′
2 𝑥
Recordemos que: −𝑥
− 2
− 2
′′′
− 2
′
2 𝑥
′
′′′
− 2 − 1
2 𝑥
′′′
− 3
2 𝑥
′′′
− 3
2 𝑥
Pero, 2. 𝑥
− 3
1
𝑥
3
2
𝑥
3
′′′
3
2 𝑥
- (TAA 2024). Determinar f’(x) sabiendo que f(x) = ln(cos(x)) :
Según la regla de la cadena: 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓
[
)]
′
[
)]
′
En este caso:{
𝑓[𝑔(𝑥)] = ln (cos (𝑥))
𝑦 = ln
cos
′
= (ln(cos(𝑥)))
′
. (cos(𝑥))
′
′
cos(𝑥)
− sin
′
−sin (𝑥)
cos (𝑥)
′
sin
cos (𝑥)
Recordemos que:
sin (𝑥)
cos (𝑥)
= tan(𝑥)
′
= − tan(𝑥)
Por lo tanto:
′
(𝑥) = −tan (𝑥)
