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MATRICES Y DETERMINANTES
Las matrices, importantes en matemática pura y aplicada, constituyen un instrumento fundamental en el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales, forma con que generalmente se presentan los modelos económicos, físicos, etc. Se utilizan también en biología, genética y psicología. Matriz.- Arreglo rectangular de elementos de un campo, dispuestos en filas y columnas. Particularmente, los elementos pueden ser números o funciones Notación.- Representación.- Abreviadamente: O cuando es evidente el orden: Si : Matriz cuadrada de orden , donde los constituyen la diagonal principal de
Observación.- Una matriz no tiene valor numérico, solo es un arreglo de números o funciones. Ejemplos.- Sea el sistema de ecuaciones lineales: : Matriz de los coeficientes de orden 2 : Matriz aumentada del sistema de orden Observación.- Ambas matrices son útiles para investigar si los sistemas de ecuaciones lineales tienen o no solución (son compatibles o incompatibles). Una matriz de orden se llama Matriz Fila o Vector Fila Una matriz de orden se llama Matriz Columna o Vector Columna En general un vector de componentes es un conjunto ordenado de números reales escritos en fila o columna. Notación.- : Vector fila : Vector columna Existe una correspondencia biunívoca entre un vector de componentes y un punto en el espacio n-dimensional. Ejemplos.- y no son iguales y representan diferentes puntos en el espacio tridimensional,
Solución.- Igualando los elementos de ambas matrices, en forma correspondiente: Propiedad.- Suma de matrices.- Sean del mismo orden, donde Ejemplos.- Propiedades.- a) b) Multiplicación de una matriz por un escalar.- Sean y un escalar , el producto de por , denotado por se define por: ó Ejemplo.- Propiedades.-
a) b) (Matriz nula) c) (Matriz opuesta de ) d) e) f) Nota.- Se llama matriz nula a la matriz cuyos elementos son todos ceros Propiedad.- a) b) Diferencia de matrices.- Sean del mismo orden, donde Ejemplo.- Multiplicación de matrices.- Sean las matrices , entonces: donde , es decir: , Esquemáticamente
Si Es decir, se obtienen resultados diferentes, luego Ejemplo.- Dados , se observa que: y que: sin embargo: FORMAS MATRICIALES PARTICULARES: MATRIZ DIAGONAL.- Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros Nota.- Ejemplo.- MATRIZ IDENTIDAD.- (Matriz unidad) Matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos
Propiedad.- MATRIZ ESCALAR.- Matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros y los que si están en ella son cualquier número fijo. Propiedad.- Ejemplo.- MATRIZ TRIANGULAR.- SUPERIOR.- Matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros
Ejemplo.- Si MATRICES SIMÉTRICAS Y ANTISIMÉTRICAS: SIMÉTRICA.- Matriz cuadrada tal que , es decir, Ejemplo.- ANTISIMÉTRICA.- Matriz cuadrada tal que , es decir, Ejemplo.-
Propiedades.- Sean : simétrica, : antisimétrica y : escalar, entonces: a) simétrica b) antisimétrica Propiedades.- matriz cuadrada a) es simétrica b) es antisimétrica c) ; donde : simétrica y : antisimétrica Ejemplo.- Sea MATRIZ IDEMPOTENTE: Matriz cuadrada tal que Ejemplo.- Es idempotente pues MATRIZ INVOLUTIVA: Matriz cuadrada tal que Ejemplo.- Es involutiva pues
Ejm.- Sea , hallar Sol.- Supongamos que Como es la inversa de , siempre que Ejm.- Sea , hallar Sol.-
Supongamos que b) POR OPERACIONES FILA O COLUMNA ELEMENTALES.- OPERACIONES ELEMENTALES.- En toda matriz se pueden realizar las siguientes operaciones elementales:
- intercambiar la fila “ ”por la fila “ ”
Ejemplo.- Hallar sabiendo que Solución.- Ejemplo.- Hallar sabiendo que Solución.-
Verificación: Ejemplo.- Hallar sabiendo que Sol.-
Ejemplo.- INVERSIÓN.- Si en una permutación un entero precede a otro menor a el Ejemplo.- TRANSPOSICIÓN.- Intercambio de dos números en una permutación. Cuando los números que se intercambian son adyacentes, la Transposición se llama Adyacente. Ejemplo.- En la permutación: DETERMINANTE.- El determinante de una matriz de orden denotado , es el número que se obtiene de los “2 ” elementos que contiene del modo siguiente: para todas las permutaciones posibles de El signo o se asigna a cada término según la permutación sea par o impar respectivamente. Ejemplo.- Para : Ejemplo.-
Para cada término de la suma algebraica se ha seleccionado 2 elementos tal que cada fila y cada columna esté representado exactamente una sola vez. Formamos el producto de estos elementos manteniendo los subíndices fila en orden natural Ejemplo.- Para Ejemplo.- Calcular: Ejemplo.- Resolver: Solución.- Ejemplo.- (Determinante de una Matriz de Vandermonde) Calcular: Ejemplo.- (Determinante de una Matriz de Vandermonde)
