Matematica financiera, Ejercicios de Contabilidad Financiera

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Matemáticas

financieras

con ecuaciones de diferencia finita

QUINTA EDICIÓN

JAIME A. GARCÍA

Director del Departamento de Matemáticas Universidad Colegio Mayor de Nuestra Señora del Rosario

Colombia • Argentina • Bolivia • Brasil • Costa Rica • Chile • Ecuador El Salvador • España • Guatemala • Honduras • México • Nicaragua • Panamá Paraguay • Perú • Puerto Rico • República Dominicana • Uruguay • Venezuela

Índice

Dedicado a:

Jaime Andrés

Martha Catalina

Juan Daniel

y mis alumnos

Prólogo

La quinta edición de Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita aparece gracias al estímulo y motivación recibidos de mis alumnos de pregrado y posgrado tanto de la Universidad del Rosario como de todas aquellas otras universidades de Colombia y

del exterior donde utilizan este libro como texto para asignaturas de

Matemáticas financieras o de Ingeniería económica. El libro debe mucho también a los comentarios, recomendaciones y sugerencias de mis colegas de labores académicas en esta asignatura, quienes en forma amable, desinteresada y muy profesional han hecho sus aportes para el mejoramiento continuo del trabajo, así como al interés de la editorial Pearson Educación de Colombia, que ha querido ampliarlo y mejorarlo.

Objetivo

El objetivo de este libro es servir de apoyo a todos aquellos estudiantes de las ciencias económicas y administrativas que quieran conocer y manejar el valor del dinero en el tiempo. Resulta necesario el estudio y aplicación a este tema de las ecuaciones de diferencia finita con el fin de poder resolver aquellos problemas financieros para los cuales no se tiene una fórmula preestablecida; con la ayuda de estas ecuaciones el estudiante logrará estimar el resultado que más se ajuste a la solución del pro- blema bajo condiciones y respuestas financieras. Así, se busca que, una vez finalizada la asignatura correspondiente, el estudiante sea capaz de solucionar problemas más allá de los tradicionales, para los cuales o ya se tiene la fórmula correspondiente o pueden ser resueltos con un programa de la calculadora financiera. De manera similar, dado el adelanto tecnológico y el uso obligatorio que debe hacerse en esta asignatura de la calculadora financiera o de la computadora, no se incluyen las tablas de factores financieros, porque esos valores se pueden obtener directamente con el apoyo de la tecnología; ade- más, se requiere que el estudiante adquiera gran habilidad en el manejo de la máquina, de tal manera que el tiempo para cálculos sea mínimo y, en cambio, sea mayor el que se dedique a entender, plan- tear e interpretar el problema. Ahora bien: como con el tema expuesto en cada capítulo se busca que el estudiante llegue a dominarlo con propiedad y seguridad, para los problemas propuestos al final solo se ofrecen las res- puestas de unos pocos de ellos, los numerados con los múltiplos de tres, de tal manera que el alumno vaya adquiriendo confianza en sus conocimientos y capacidades más que en la concordancia con sus resultados numéricos.

Contenido

El contenido del libro se divide en tres partes:

PARTE PRIMERA: ALGUNOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

CAPÍTULOS 1 Y 2

• Comprender los temas sobre funciones exponencial, logarítmica, progresiones y ecuacio- nes de diferencia finita.
• Como las matemáticas financieras requieren de conceptos cuánticos previos, en esta sec- ción se revisan los temas que el estudiante necesitará para el desarrollo de los capítulos centrales del libro. Estos temas son los correspondientes a funciones exponenciales y logarítmicas, su álgebra y sus aplicaciones, así como las ecuaciones de diferencia finita de primer orden.

OBJETIVOS

Al fi nalizar el estudio de esta parte el alumno estará en capacidad de: a) Conocer sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. b) Utilizar las propiedades de estas funciones. c) Manejar la calculadora para estas funciones en cualquier base. d) Identificar una progresión aritmética y una geométrica. e) Plantear y resolver una ecuación de diferencia finita de primer orden f) Aplicar estas ecuaciones a los problemas financieros.

Matemáticas financieras

OBJETIVOS

Al fi nalizar el estudio de esta sección el lector estará en capacidad de: a) Diseñar y manejar sistemas de amortización de deudas y la proyección de saldos. b) Calcular e interpretar el índice de valor presente neto del flujo de caja de una opción de inversión. c) Calcular e interpretar el índice promedio financiero o costo anual uniforme equivalente del flujo de caja de un proyecto. d) Determinar e interpretar los índices de tasa interna de retorno del flujo de caja de un proyec- to de inversión, la tasa de rentabilidad verdadera y el beneficio/costo.

RESUMEN

En esta parte se estudian temas de aplicación vistos en la sección dos, como son los correspondientes a sistemas de financiación, amortización de deudas, proyección de saldos, refinanciación de deudas y una breve presentación de lo que fue el sistema UPAC. Asimismo, se explica el concepto de cálculo e interpretación del valor presente neto (VPN) del flujo de caja de una inversión y el promedio financiero de pérdida o ganancia en una inversión, también conocido como costo anual uniforme equivalente. La sección termina con la presentación, definición, cálculo e interpretación de la tasa interna de retorno (TIR) para una inversión, la tasa de rentabilidad verdadera (TRV) y el beneficio/costo (B/C). Como complemento, el lector encuentra una serie de problemas resueltos que le permiten revi- sar y reafi rmar sus conocimientos sobre los temas vistos en esta parte. Con las tres partes anteriores el estudiante estará en capacidad de enfrentar cualquier problema de matemáticas fi nancieras y de abordar un costo de evaluación fi nanciera de proyectos.

Sobre los problemas

Al final de la teoría de cada capítulo de las tres partes se presentan algunos problemas resueltos con el objetivo de que el estudiante pueda ver y entender la aplicación de los conceptos estudiados en el capítulo, con la advertencia de no memorizar procedimientos para resolver problemas.

Los capítulos de las partes primera y segunda tienen también al final una sección de autoevalua- ción compuesta por problemas y preguntas con múltiples posibilidades de respuestas, y cuyo objetivo es que el estudiante ponga a prueba su conocimiento de los conceptos teóricos vistos en el capítulo y obtenga la suficiente competencia para resolver los problemas de fin de capítulo.

Los problemas de fin de capítulo de las partes primera y segunda están distribuidos en dos cla- ses: la I y la II. Los problemas de la clase I, o básica, son los que contienen los elementos mínimos necesarios que debe manejar un estudiante de un curso básico de Matemáticas financieras. Los pro- blemas de la clase II, o intermedia, son aquellos que, junto con los primeros, se deben manejar en un curso más avanzado o de posgrado en la materia de Matemáticas financieras. Muchos de ellos deben ser resueltos con ecuaciones de diferencia finita, o requieren para su solución del conocimiento de te- mas matemáticos más avanzados, o deben ser consultados en otras materias para poder resolverlos, de tal manera que sea el profesor de la asignatura correspondiente quien determine los temas, conte- nidos, enfoques y clases de problemas que deben desarrollarse dependiendo del objetivo y nivel de la asignatura. Esta clasificación no se encuentra en la parte tercera, porque quien la estudie debe tener todo el conocimiento de los temas anteriores y al mejor nivel, dado que se trata de temas relacionados con la evaluación fi nanciera de proyectos.

En el caso de los problemas de fin de capítulo, tanto para los de la clase I como para los de la clase II, se presentan solo las respuestas de aquellos numerados con un múltiplo de tres, con el fin de que el profesor resuelva uno que no tenga respuesta; luego el alumno se ejercita con el que tiene res- puesta, y con estos dos ejercicios se espera que el estudiante esté en capacidad de resolver por sí solo

Matemáticas financieras

el otro que no tenga respuesta y, así, adquirir la competencia necesaria para resolver los problemas de la vida práctica en los que las respuestas no se conocen de antemano.

Por último, al final del volumen se incluye un formulario que contiene las expresiones clásicas de matemáticas financieras tratadas a lo largo del libro y que deben ser consultadas en el momento de resolver un problema. El alumno debe participar haciendo la anotación sobre la aplicación de cada una de esas fórmulas.

Metodología para la resolución de problemas

En todo campo del saber, y específicamente en las matemáticas financieras, un alto porcentaje del trabajo consiste en el manejo de problemas. Según Albert Einstein, “un problema es una situación interesante”; por tanto, su resolución requiere procedimientos y metodologías adecuados.

Aquí proponemos el camino sugerido por el ilustre físico, autor de la teoría de la relatividad, que nos lleva a lograr éxito en la solución de problemas. Los pasos que deben seguirse son los siguientes:

a) Entender el problema b) Plantear el problema c) Resolver el problema d) Interpretar resultados

a) Entender el problema: se refiere a la etapa crítica en todo problema, pues para ello no se cuenta ni con reglas ni con modelos que permitan a la persona entender el problema. Hay, sí, proce- dimientos que hacen posible un buen acercamiento a él, como, entre otros, una buena lectura (de ahí la expresión “comprensión de lectura”), concentración en lo que se lee, no preocuparse en ese momento por el cómo se va a resolver el problema y un conocimiento de cada uno de los términos que intervienen en el enunciado del problema.

b) Plantear el problema: corresponde al paso que debe darse una vez entendido el enunciado del problema. Consiste en interrelacionar las proposiciones que conforman el problema en términos de ecuaciones, desigualdades o cualquier otra expresión matemática que sustituya a la proposi- ción o proposiciones del enunciado. Si el problema ha sido entendido, el planteamiento no debe ofrecer mayor dificultad.

c) Resolver el problema: consiste en ejecutar las operaciones matemáticas propias para hallar el valor de la variable o variables involucradas en el problema y expresadas en su planteamiento. Aquí desempeña un papel importante el manejo de la tecnología computacional que permite resolver las operaciones planteadas y dar solución a la pregunta del problema.

d) Interpretar resultados: todo problema contiene una pregunta que, por lo general, se presenta con una variable. Una vez resuelto el problema, o hallado el valor o valores de la variable, debe no solamente informarse sobre este valor numérico sino que también se debe interpretar financie- ramente ese valor, indicando lo que signifi ca de acuerdo con el enunciado del problema.

Recordemos que esta metodología se debe aplicar a lo largo del desarrollo de los temas de este libro, pues ella capacita al estudiante para llegar a entender, plantear, resolver e interpretar problemas relacionados con el tema.

El adecuado uso de la tecnología disponible en el momento hará que el estudiante de hoy, profesio- nal del mañana, se caracterice por ser una persona competente para entender, plantear e interpretar pro- blemas relacionados con el valor del dinero a lo largo del tiempo, lo que sería imposible con el solo uso de la tecnología o de modelos preestablecidos. Esto es lo que caracteriza al buen profesional, y particu- larmente al de las finanzas, cuando pone al servicio del problema en estudio su capacidad analítica más que la misma mecánica u operativa, sin que con ello se quiera afirmar que esta última no sea importante.

Prólogo

C

A

P

Í

T

U L O

El propósito de este capítulo es presentar los elementos básicos de las funciones logarítmica y exponencial, necesarios para las operaciones financieras que se realizarán en capítulos posteriores.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

Al terminar el capítulo el lector deberá estar en capacidad de:

- Conocer y manejar las propiedades de las funciones logarítmica _y exponencial.

• Resolver problemas en los que intervengan estas funciones.
• Identificar, en un problema, cuándo se debe utilizar una u otra_ _de las funciones.
• Manejar los conceptos y el álgebra de una progresión aritmética_ y de una progresión geométrica para su aplicación posterior en los temas de interés simple e interés compuesto respectivamente.

Funciones exponencial y

logarítmica y progresiones

1.1 Introducción

A pesar de que la mayoría de calculadoras contienen en sus programas y comandos las funciones exponencial y logarítmica, es conveniente revisar los conceptos básicos de estas, debido a la continua explicación que de ellas se hará a lo largo de los ejercicios y problemas. Otro tanto ocurrirá respecto de las progresiones, en especial las geométricas, por su aplicación en las operaciones financieras con interés compuesto. El objetivo de este capítulo es que el lector maneje y aplique los conceptos matemáticos anterio- res en todos aquellos casos que así lo exijan, y que esté capacitado para complementar el trabajo de las calculadoras en aquellos asuntos que estas no ejecutan, como las propiedades de estas funciones, que son de tanta importancia en el planteamiento y desarrollo de un problema.

1.2 Función exponencial

DEFINICIÓN 1.

Dado un número real positivo b, se llama función exponencial en la base b a la función expresada como f(x) = b x.

En este caso la variable independiente x se llama exponente, y la constante b, base. El dominio de la función exponencial es (− ∞, ∞), y el recorrido es (0, ∞). Las propiedades de la función exponencial son las siguientes: para b > 0, a > 0 y todo m y n, números reales. i) b m^ > 0 ii) bm^ bn^ = bm+n iii) b−n^ = 1/bn iv) bm/ bn^ = bm−n^ (1-1) v) (bm) n^ = b mn vi) a m^ b m^ = (ab)m vii) am^ / b m^ = (a/b)m

Hay dos bases de gran aplicación: cuando b = e = 2,718281828 y cuado b = 10. Las funciones res- pectivas se denotan ex^ y 10 x, como aparecen en las calculadoras. La fórmula general de la función exponencial es y = Abax , donde A y a son constantes y b es la base. La mayoría de las veces no se conoce la base de la función exponencial, como cuando dados al- gunos datos o valores de la función se requiere hacer una regresión para hallar una función estimada; en estos casos la función toma la forma y = Ab x, donde A es la constante coeficiente y b la base de la exponencial. En otros casos, cuando tampoco se especifica la base pero se dice que una determinada función crece o decrece exponencialmente, se supone que la base es b = e, y entonces la función toma la for- ma y = ℜ eax , donde ℜ y a son constantes.

EJEMPLO 1.

Las ganancias de una empresa en 1998 fueron $ 500 millones, y en el 2005, $ 630 millones. Si las ga- nancias de esa empresa crecen exponencialmente, estimar las ganancias para el 2008.

Matemáticas financieras 1