EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICAS I. PRIMERO DE QUÍMICA Y GEOLOGÍA
(Alicante, 28 de enero de 2013)
Nombre, apellidos y DNI:
1. Estudiar el dominio, continuidad y derivabilidad de
,)( xxxxf siendo
xparte
entera del número real
.
x
(1,5 puntos)
2. Sean
m
y
n
enteros positivos,
a
y b números reales, tales que ba
y
.)()()( mn bxaxxf
i) Probar que el número real intermedio
del teorema de Rolle divide al intervalo ],[ ba en la relación
.
n
m(1punto) ii) Razonar que el mínimo absoluto de 3
5
)1()( xxxg en el intervalo ],1,0[
Ise
alcanza en un punto interior de .I Calcularlo. (1 punto)
3. De todas las rectas que pasan por el punto ),4,3( ¿Cuál determina con los ejes de coordenadas un
triángulo de área mínima? Justificar la respuesta. (1,5 Puntos)
4. Calcular los siguientes límites:
i) .
)23(
)1(
62
23
1
xx
xsen
Lim
x (0,75 puntos) ii) .
1
112
33
44 x
xx
xx
Lim
x
(0,75 puntos)
5. a) Hallar los valores de
,
t
tales que .
3
2
)23(
562
022
2
t
dx
xx
xx (1 punto)
b) Calcular .
ln
1
2dx
x
x
e
(1 punto)
6. Hallar el área de la región acotada en el primer cuadrante, limitada por las curvas xyx 4
22 e
.2
2xy (1,5 puntos)
7. Sea .
3
RE Se consideran los subespacios vectoriales de :E
)1,3,3(),2,0,1(),5,3,1(
1H y )1,0,1(),01,1(
2H. Calcular:
i) Unas ecuaciones paramétricas e implícitas de 1
H y de .
2
H (1,5 puntos)
ii) Una base de 21 HH y dimensión de .
1HH ¿Están 1
H y 2
H en suma directa? (1,5 puntos)
8. Sea 33
:RRf una aplicación lineal que respecto de las siguientes bases
)1,0,2(),0,1,1(),1,2,1(
1B y
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(
2B respectivamente de los
espacios vectoriales inicial y final, viene definida del modo siguiente:
),0,1,2()1,2,1(
f ),0,1,0()0,1,1(
f ).0,1,2()1,0,2(
f Se pide,
a) Matriz de
f
en las bases canónicas. (1 punto)
b) Una base del núcleo de
f
y unas ecuaciones implícitas de la imagen de .f (1 punto)
c) Unas ecuaciones implícitas de ),(Sf siendo
.0,),,( 3 zyxRzyxS (1 punto)
9. Sea 33
:RRg un endomorfismo definido como sigue:
).4,1,3()1,0,0(),4,0,5()0,1,0(),2,1,0()0,0,1(
ggg Se pide:
1. Los valores propios o autovalores de
.
g
(1 punto)
2. Estudiar si
g
es diagonalizable. (1 punto)
3. Una base de cada uno de los subespacios propios.o autoespacios. (1 punto)
4. Sabiendo que ,0)(
AP siendo
A
la matriz de
g
en las bases canónicas y )(
P su polinomio
característico, hallar .
1
A (1 punto)
Observaciones:
El examen se valora sobre 20 puntos. La nota del examen es la puntuación obtenida dividida por 2.
No se permite el uso de ningún tipo de calculadora.